IU - User contributions [en]

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:48:48Z

I.konyukhov: /* Краткая характеристика дисциплины */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В. [mailto:i.konyukhov@innopolis.ru i.konyukhov@innopolis.ru] [https://t.me/ivankonyukhov @ivankonyukhov]

== Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Учебные материалы дополнены интерактивными презентациями с исходными кодами программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib, позволяющими визуализировать изучаемые концепции. Материалы курса оформлены в виде конспектов лекций, заданий для практик и интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

'''Рабочая программа дисциплины:''' [https://eduwiki.innopolis.university/index.php?title=BSc:_AnalyticGeometry РПД]

== Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== Методические материалы ==

=== Учебно-методическое обеспечение дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с. [http://umnov.ru/AG+LA%20Umnov.pdf Умнов А.Е.]
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с. [https://e.lanbook.com/book/72907015 Беклемишев Д.В.-1]
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. [https://e.lanbook.com/book/341228 Беклемишев Д.В.-2]

Список дополнительной литературы:
#Орланд П. Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с. [https://www.piter.com/product/matematicheskie-algoritmy-dlya-programmistov-3d-grafika-mashinnoe-obuchenie-i-modelirovanie-na-python Орланд П.]
#Криволапов С.Я. Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с. [https://book.ru/book/943665 Криволапов С.Я.]

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code. [https://code.visualstudio.com/ MS VS Code]
#Anaconda environment [https://www.anaconda.com/download Anaconda]
#Jupyter Notebooks [https://code.visualstudio.com/docs/datascience/jupyter-notebooks Jupyter Notebooks in VS Code]

=== Учебные материалы ===

{| class="wikitable" style="width:50%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:15%" | Учебная неделя
| style="width:35%" | Лекция
| style="width:10%" | Практика
| style="width:30%" | Видео
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [https://drive.google.com/file/d/1IeWJzEu3H9gphiDGlFHz2_-yeKQjk3Pj/view?usp=sharing Лекция]&emsp;[https://docs.google.com/presentation/d/1PoetG3czuY-JNsirfOcsjkNWVI00Rjdw/edit?usp=sharing&ouid=107244508634734157304&rtpof=true&sd=true Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 3
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 4
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 5
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 6
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 7
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 8
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Промежуточный экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 9
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 10
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 11
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 12
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 13
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 14
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 15
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 16
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Итоговый экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|}

=== Оценочные материалы ===

==== Материалы для тестов и экзаменов ====
{| class="wikitable" style="width:40%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:50%" | Тип задания
| style="width:50%" | Материалы
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Промежуточный экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Итоговый экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|}

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке [%]
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:48:04Z

I.konyukhov: /* Краткая характеристика дисциплины */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В. [mailto:i.konyukhov@innopolis.ru i.konyukhov@innopolis.ru] [https://t.me/ivankonyukhov @ivankonyukhov]

== Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Учебные материалы дополнены интерактивными презентациями с исходными кодами программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib, позволяющими визуализировать изучаемые концепции. Материалы курса оформлены в виде конспектов лекций, заданий для практик и интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

Рабочая программа дисциплины: [https://eduwiki.innopolis.university/index.php?title=BSc:_AnalyticGeometry РПД]

== Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== Методические материалы ==

=== Учебно-методическое обеспечение дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с. [http://umnov.ru/AG+LA%20Umnov.pdf Умнов А.Е.]
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с. [https://e.lanbook.com/book/72907015 Беклемишев Д.В.-1]
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. [https://e.lanbook.com/book/341228 Беклемишев Д.В.-2]

Список дополнительной литературы:
#Орланд П. Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с. [https://www.piter.com/product/matematicheskie-algoritmy-dlya-programmistov-3d-grafika-mashinnoe-obuchenie-i-modelirovanie-na-python Орланд П.]
#Криволапов С.Я. Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с. [https://book.ru/book/943665 Криволапов С.Я.]

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code. [https://code.visualstudio.com/ MS VS Code]
#Anaconda environment [https://www.anaconda.com/download Anaconda]
#Jupyter Notebooks [https://code.visualstudio.com/docs/datascience/jupyter-notebooks Jupyter Notebooks in VS Code]

=== Учебные материалы ===

{| class="wikitable" style="width:50%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:15%" | Учебная неделя
| style="width:35%" | Лекция
| style="width:10%" | Практика
| style="width:30%" | Видео
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [https://drive.google.com/file/d/1IeWJzEu3H9gphiDGlFHz2_-yeKQjk3Pj/view?usp=sharing Лекция]&emsp;[https://docs.google.com/presentation/d/1PoetG3czuY-JNsirfOcsjkNWVI00Rjdw/edit?usp=sharing&ouid=107244508634734157304&rtpof=true&sd=true Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 3
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 4
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 5
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 6
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 7
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 8
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Промежуточный экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 9
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 10
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 11
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 12
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 13
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 14
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 15
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 16
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Итоговый экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|}

=== Оценочные материалы ===

==== Материалы для тестов и экзаменов ====
{| class="wikitable" style="width:40%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:50%" | Тип задания
| style="width:50%" | Материалы
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Промежуточный экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Итоговый экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|}

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке [%]
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:37:34Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В. [mailto:i.konyukhov@innopolis.ru i.konyukhov@innopolis.ru] [https://t.me/ivankonyukhov @ivankonyukhov]

== Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Учебные материалы дополнены интерактивными презентациями с исходными кодами программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib, позволяющими визуализировать изучаемые концепции. Материалы курса оформлены в виде конспектов лекций, заданий для практик и интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== Методические материалы ==

=== Учебно-методическое обеспечение дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с. [http://umnov.ru/AG+LA%20Umnov.pdf Умнов А.Е.]
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с. [https://e.lanbook.com/book/72907015 Беклемишев Д.В.-1]
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. [https://e.lanbook.com/book/341228 Беклемишев Д.В.-2]

Список дополнительной литературы:
#Орланд П. Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с. [https://www.piter.com/product/matematicheskie-algoritmy-dlya-programmistov-3d-grafika-mashinnoe-obuchenie-i-modelirovanie-na-python Орланд П.]
#Криволапов С.Я. Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с. [https://book.ru/book/943665 Криволапов С.Я.]

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code. [https://code.visualstudio.com/ MS VS Code]
#Anaconda environment [https://www.anaconda.com/download Anaconda]
#Jupyter Notebooks [https://code.visualstudio.com/docs/datascience/jupyter-notebooks Jupyter Notebooks in VS Code]

=== Учебные материалы ===

{| class="wikitable" style="width:50%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:15%" | Учебная неделя
| style="width:35%" | Лекция
| style="width:10%" | Практика
| style="width:30%" | Видео
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [https://drive.google.com/file/d/1IeWJzEu3H9gphiDGlFHz2_-yeKQjk3Pj/view?usp=sharing Лекция]&emsp;[https://docs.google.com/presentation/d/1PoetG3czuY-JNsirfOcsjkNWVI00Rjdw/edit?usp=sharing&ouid=107244508634734157304&rtpof=true&sd=true Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 3
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 4
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 5
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 6
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 7
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 8
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Промежуточный экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 9
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 10
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 11
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 12
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 13
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 14
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 15
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Лекция]&emsp;[Шаблон лекции]&emsp;[Notebook]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Практика]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Видео лекции]&emsp;[Видео практики]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Неделя 16
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Итоговый экзамен]
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | -
|}

=== Оценочные материалы ===

==== Материалы для тестов и экзаменов ====
{| class="wikitable" style="width:40%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:50%" | Тип задания
| style="width:50%" | Материалы
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 1
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Промежуточный экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тест 2
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Итоговый экзамен
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | [Тест]&emsp;[Исходники]&emsp;[Решения]
|}

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке [%]
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:23:41Z

I.konyukhov: /* Контроль успеваемости студентов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:23:08Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:22:18Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:21:55Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:17:50Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:14:56Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:12:22Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:09:52Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:09:33Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:08:40Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:08:15Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:07:36Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:07:09Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T08:00:14Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:59:52Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:59:16Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:57:00Z

I.konyukhov: /* Материалы для тестов и экзаменов */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:56:46Z

I.konyukhov: /* Система оценивания */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:51:54Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:51:01Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:49:48Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:48:12Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:46:18Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:45:05Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:44:23Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:44:09Z

I.konyukhov: /* Методические материалы */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:39:25Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:37:57Z

I.konyukhov: /* Учебно-методическое обеспечение */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:37:38Z

I.konyukhov: /* Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:37:10Z

I.konyukhov: /* Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:31:20Z

I.konyukhov: /* Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:29:17Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:27:39Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:15:51Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:14:45Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:14:24Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-10T07:13:44Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Материалы курса. */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-09T10:14:48Z

I.konyukhov: /* Аналитическая геометрия и линейная алгебра */

BSc: AnalyticGeometry MFAI Materials

2025-02-09T10:14:25Z

I.konyukhov: Created page with "= Аналитическая геометрия и линейная алгебра = : '''Квалификация выпускника''': бакалавр : '''Направ..."

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T17:25:39Z

I.konyukhov: /* Система оценивания */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

'''!!! Для допуска к экзамену студент должен посетить не менее 50% занятий. !!!'''

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

==== Пересдача ====
Пересдача курса будет проводиться в виде экзамена (письменного или устного) после окончания семестра, в котором читается дисциплина.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T17:24:56Z

I.konyukhov: /* Система оценивания */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

**!!! Для допуска к экзамену студент должен посетить не менее 50% занятий. !!!**

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

==== Пересдача ====
Пересдача курса будет проводиться в виде экзамена (письменного или устного) после окончания семестра, в котором читается дисциплина.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T17:24:42Z

I.konyukhov: /* Система оценивания */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

*!!! Для допуска к экзамену студент должен посетить не менее 50% занятий. !!!*

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

==== Пересдача ====
Пересдача курса будет проводиться в виде экзамена (письменного или устного) после окончания семестра, в котором читается дисциплина.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T16:28:04Z

I.konyukhov: /* Рекомендации для студентов */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

==== Пересдача ====
Пересдача курса будет проводиться в виде экзамена (письменного или устного) после окончания семестра, в котором читается дисциплина.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T16:25:37Z

I.konyukhov: /* Контроль успеваемости студентов */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

==== Контроль успеваемости студентов ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

=== Рекомендации для студентов ===
* Посещение занятий - ключ к успеху в этом курсе.
* Изучите лекционные материалы перед началом занятий, чтобы освежить свои знания.
* Чтение рекомендуемой литературы является обязательным и поможет вам глубже понять материал.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T16:25:27Z

I.konyukhov: /* Диапазоны оценок на курсе */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

==== Диапазоны оценок на курсе ====
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

=== Контроль успеваемости студентов ===
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

=== Рекомендации для студентов ===
* Посещение занятий - ключ к успеху в этом курсе.
* Изучите лекционные материалы перед началом занятий, чтобы освежить свои знания.
* Чтение рекомендуемой литературы является обязательным и поможет вам глубже понять материал.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T16:23:44Z

I.konyukhov: /* Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции */

= Аналитическая геометрия и линейная алгебра =
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
: '''Программу разработал(а)''': Конюхов И.В.

== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
: '''Целью освоения дисциплины''' является:
*формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
*формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

: '''Задачами дисциплины''' являются:
*формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
*формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
*формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
*формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
: '''Знания:'''
*основных определений векторной алгебры;
*видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
*скалярного, векторного, смешанного произведения;
*уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
*канонические уравнения кривых второго порядка;
*канонические уравнения поверхностей второго порядка.

: '''Умения:'''
*решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
*использовать векторную алгебру для решения задач;
*использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
*определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
*исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

: '''Навыки (владения):'''
*математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
*записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

== 3. Структура и содержание дисциплины ==
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и копланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и копланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство.
Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и копланарности векторов.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.
|}

== 4. Методические и оценочные материалы ==
===Задания для практических занятий:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
# Оцените значение <math display="inline">|\textbf{a}|^2-2\sqrt3\textbf{a}\cdot\textbf{b}-7|\textbf{b}|^2</math>, если дано <math display="inline">|\textbf{a}|=4</math>, <math display="inline">|\textbf{b}|=1</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{a},\,\textbf{b})=150^{\circ}</math>.
# Докажите, что вектора <math display="inline">\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})-\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b})</math> и <math display="inline">\textbf{a}</math> перпендикулярны друг-другу.
# Основания <math display="inline">AD</math> и <math display="inline">BC</math> трапеции <math display="inline">ABCD</math> соотносятся как <math display="inline">4:1</math>. Диагонали трапеции пересекаются в точке <math display="inline">M</math>, а дополнения сторон <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">CD</math> пересекаются в точке <math display="inline">P</math>. Рассмотрим базис с началом в точке <math display="inline">A</math> и векторами <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math> в качестве базисных векторов. Найдите координаты точек <math display="inline">M</math> и <math display="inline">P</math> в этом базисе.
# Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани (центроид треугольника является точкой пересечения всех его медиан), называется медианой этого тетраэдра. Используя векторную алгебру, докажите, что все четыре медианы любого тетраэдра сходятся в точке, которая делит эти медианы в соотношении <math display="inline">3:1</math>, причем более длинные сегменты находятся на стороне вершины тетраэдра.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
# Найти <math display="inline">A+B</math> и <math display="inline">2A-3B+I</math>.
# Найдите произведения <math display="inline">AB</math> и <math display="inline">BA</math> (и поэтому убедитесь, что, в общем случае, <math display="inline">AB\neq BA</math> для матриц).
# Найдите обратные матрицы для заданных.
# Найдите определители данных матриц.
# Точка <math display="inline">M</math> является центроидом грани <math display="inline">BCD</math> тетраэдра <math display="inline">ABCD</math>. Старая система координат задается <math display="inline">A</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{AD}</math>, а новая система координат задается <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MB}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MC}</math>, <math display="inline">\overrightarrow{MA}</math>. Найдите координаты точки в старой системе координат с учетом ее координат <math display="inline">x'</math>, <math display="inline">y'</math>, <math display="inline">z'</math> в новой.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
# Найти векторное произведение 
(a) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(2;-5;-3)</math>; 
(b) векторов <math display="inline">\textbf{a}(3;-2;\,1)</math> и <math display="inline">\textbf{c}(-18;\,12;-6)</math>. 
# Треугольник строится на векторах <math display="inline">\textbf{a}(2;4;-1)</math> и <math display="inline">\textbf{b}(-2;1;1)</math>. 
(а) Найдите площадь этого треугольника. 
(б) Найдите высоты этого треугольника. 
# Найдите смешанное произведение <math display="inline">\textbf{a}(1;\,2;-1)</math>, <math display="inline">\textbf{b}(7;3;-5)</math>, <math display="inline">\textbf{c}(3;\,4;-3)</math>.
# Известно, что базисные векторы <math display="inline">\textbf{e}_1</math>, <math display="inline">\textbf{e}_2</math>, <math display="inline">\textbf{e}_3</math> имеют длины <math display="inline">1</math>, <math display="inline">2</math>, <math display="inline">2\sqrt2</math> соответственно, и <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2)=120^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_1,\textbf{e}_3)=135^{\circ}</math>, <math display="inline">\angle(\textbf{e}_2,\textbf{e}_3)=45^{\circ}</math>. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах с координатами <math display="inline">(-1;\,0;\,2)</math>, <math display="inline">(1;\,1\,4)</math> и <math display="inline">(-2;\,1;\,1)</math> в этом базисе.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
# Две прямые задаются уравнениями <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math> и <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, и при этом <math display="inline">\textbf{a}\cdot\textbf{n}\neq0</math>. Найдите вектор положения точки пересечения этих линий.
# Найдите расстояние от точки <math display="inline">M_0</math> с вектором положения <math display="inline">\textbf{r}_0</math> до линии, определенной уравнением 
(a) <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>; 
(b) <math display="inline">\textbf{r}\cdot\textbf{n}=A</math>. 
# Диагонали ромба пересекаются в точке <math display="inline">M(1;\,2)</math>, причем самая длинная из них параллельна горизонтальной оси. Сторона ромба равна <math display="inline">2</math>, а его тупой угол равен <math display="inline">120^{\circ}</math>. Составьте уравнения сторон этого ромба.
# Составьте уравнения прямых, проходящих через точку <math display="inline">A(2;-4)</math> и образующих углы <math display="inline">60^{\circ}</math> с линией <math display="inline">\frac{1-2x}3=\frac{3+2y}{-2}</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
# Докажите, что кривая, заданная <math display="inline">34x^2+24xy+41y^2-44x+58y+1=0</math>, является эллипсом. Найдите большую и малую оси этого эллипса, его эксцентриситет, координаты его центра и фокусов. Найдите уравнения осей этого эллипса.
# Определите типы кривых, задаваемых следующими уравнениями. Для каждой из кривых найдите ее каноническую систему координат (т.е. укажите координаты начала координат и новые базисные векторы в исходной системе координат) и ее каноническое уравнение. 
(a) <math display="inline">9x^2-16y^2-6x+8y-144=0</math>; 
(b) <math display="inline">9x^2+4y^2+6x-4y-2=0</math>; 
(c) <math display="inline">12x^2-12x-32y-29=0</math>; 
(d) <math display="inline">xy+2x+y=0</math>; 
# Найдите уравнения прямых, касательных к кривой <math display="inline">6xy+8y^2-12x-26y+11=0</math>, которые 
(a) параллельно линии <math display="inline">6x+17y-4=0</math>; 
(b) перпендикулярно линии <math display="inline">41x-24y+3=0</math>; 
(c) параллельно линии <math display="inline">y=2</math>.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
# Для каждого значения параметра <math display="inline">a</math> определите типы поверхностей, задаваемых уравнениями:
(a) <math display="inline">x^2+y^2-z^2=a</math>; 
(b) <math display="inline">x^2+a\left(y^2+z^2\right)=1</math>; 
(c) <math display="inline">x^2+ay^2=az</math>; 
(d) <math display="inline">x^2+ay^2=az+1</math>.
# Найдите векторное уравнение правого круглого конуса с вершиной <math display="inline">M_0\left(\textbf{r}_0\right)</math> и осью <math display="inline">\textbf{r}=\textbf{r}_0+\textbf{a}t</math>, если известно, что образующие этого конуса образуют угол <math display="inline">\alpha</math> с его осью.
# Найдите уравнение цилиндра с радиусом <math display="inline">\sqrt2</math>, который имеет ось <math display="inline">x=1+t</math>, <math display="inline">y=2+t</math>, <math display="inline">z=3+t</math>.
# Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, проходит через точку <math display="inline">M(3;\,1;\,1)</math> и обведите <math display="inline">x^2+y^2+z^2=9</math>, <math display="inline">x-z=0</math>. Найдите уравнение этого эллипсоида.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
# Даны три точки <math display="inline">P(3;-4)</math>, <math display="inline">Q(1;-2)</math>, <math display="inline">R(1;-3)</math> на сторонах параллелограмма <math display="inline">ABCD</math>. Найти координаты вершин параллелограмма, если <math display="inline">\mu(ABP)=-2</math>, <math display="inline">\mu(BCQ)=5</math>, <math display="inline">\mu(CDR)=1/2</math>.
# Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы: <math display="inline">A_4: M_1(1;1;0;-2), M_2(-2;0;0;1), M_3(1;2;0;-1), q_1(3;-3;1;0), q_2(4;-2;4;0)</math>.
# Выяснить, являются ли данные формулы формулами движения плоскости. Определить вид движения: <math display="inline">x'=y-1</math>; <math display="inline">y'=x+1</math>, его инвариантные точки и инвариантные прямые, образы и прообразы точек <math display="inline">M(0;0)</math> и <math display="inline">N(-2;3)</math>, а также образы и прообразы прямых <math display="inline">y=0</math> и <math display="inline">x-y+5=0</math>.
# Составить формулы гомотетии, зная, что прямая <math display="inline">5x-5y-2=0</math> переходит в прямую <math display="inline">x-y-1=0</math>, а прямые <math display="inline">2x+y+1=0</math> и <math display="inline">12x+8y+7=0</math> инвариантны.
|}

===Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:5%" | № п/п
| style="width:20%" | Наименование раздела дисциплины
| style="width:25%" | Форма текущего контроля 
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля 
|-
| style="text-align:center;" | 1.
| Векторная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное) 
- Какие вектора называются коллинеарными? 
- Как проверить, являются ли вектора копланарными? 
- Что такое базис векторного пространства?
|-
| style="text-align:center;" | 2.
| Матричная алгебра
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- В чем разница между матрицами и определителями? 
- Матрицы A и C имеют размеры m х n и p х q соответственно, и известно, что произведение ABC существует. Каковы возможные размеры B и ABC? 
- Как определить ранг матрицы? 
- В чем смысл обратной матрицы? 
- Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3.
| Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как выполнить сдвиг вектора? 
- Как выполнить поворот вектора? 
- Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения? 
- Как определить, являются ли векторы линейно зависимыми? 
- Каком геометрический смысл векторного произведения?
|-
| style="text-align:center;" | 4.
| Прямые и плоскости
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Как представить линию в векторной форме? 
- Каков результат пересечения двух плоскостей в векторном виде? 
- Как вывести формулу для расстояния от точки до линии? 
- Как геометрически интерпретировать расстояние между линиями? 
- Перечислите все возможные взаимные положения прямых в пространстве. 
- В чем разница между общей и нормальной формами уравнений плоскости? 
- Как переписать уравнение плоскости в векторной форме? 
- Что такое нормаль к плоскости? 
- Как интерпретировать векторное произведение двух векторов? 
- В чем смысл смешанного произведения трех векторов?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5.
| Кривые второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Сформулируйте каноническое уравнение данной кривой. 
- Какие ортогональные преобразования координат вы знаете? 
- Как выполнить преобразование системы координат? 
- Как представить кривую в пространстве?
|-
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6.
| Поверхности второго порядка
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Каков тип квадрической поверхности, заданной определенным уравнением? 
- Как составить уравнение поверхности вращения? 
- В чем разница между директрисой и образующей? 
- Как представить квадратичную поверхность в векторной форме?
|-
| style="text-align:center;" | 7.
| Преобразования на плоскости и в пространстве
| Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта
| Тестирование (письменное или компьютерное): 
- Что такое линейное преобразование? 
- Что такое аффинное преобразование? 
- Что такое гомотетия? 
- Как записать отражение через прямую?
|}

===Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:===
{| class="wikitable" style="width:70%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| style="width:10%" | № п/п
| style="width:30%" | Наименование раздела дисциплины (модуля)
| style="width:60%" | Вопросы
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 1. || Векторная алгебра ||
- Операции над векторами 
- Задание базиса векторного пространства 
- Проверка коллинеарности векторов 
- Проверка копланарности векторов
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 2. || Матричная алгебра ||
- Операции над матрицами. 
- Обратные матрицы. 
- Системы линейных уравнений и их решение в матричной форме. 
- Смена базиса и координат.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 3. || Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве ||
- Векторные пространства. Основные концепции. 
- Скалярное произведение как операция над векторами. 
- Базис векторного пространства и его свойства.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 4. || Прямые и плоскости ||
- Прямые на плоскости и в пространстве. Уравнения прямых. 
- Расстояние от точки до прямой. 
- Расстояние между двумя параллельными прямыми. 
- Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. 
- Плоскости в пространстве. Уравнения плоскости. 
- Расстояние от точки до плоскости, от линии до плоскости. 
- Проекция вектора на плоскость. 
- Векторное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация. 
- Смешанное произведение, его свойства и геометрическая интерпретация.
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 5. || Кривые второго порядка ||
- Определите тип заданной кривой с использованием метода инварианта. 
- Составьте каноническое уравнение данной кривой. 
- Определите каноническую систему координат для заданной кривой. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 6. || Поверхности второго порядка ||
- Определите тип квадратичной поверхности, заданной определенным уравнением. 
- Составьте уравнение поверхности вращения с заданными директрисой и образующей. 
- Представьте заданное уравнение квадратичной поверхности в векторной форме. 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| style="text-align:center;" | 7. || Преобразования на плоскости и в пространстве ||
- Запишите преобразование поворота. 
- Проверьте линейность преобразования. 
- Запишите преобразование на плоскости, отражающее точку зеркально относительно заданной прямой. 
- Найдите преобразование, обратное заданному. 
- Найдите преобразование, обратное группе преобразований
|}

===Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:===

# Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства операций.
# Линейная зависимость векторов. Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов (с доказательством).
# Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
# Теорема о координатах линейной комбинации векторов (с доказательством).
# Скалярное произведение векторов. Определение, свойства.
# Скалярное произведение векторов в координатах ортонормированного базиса (вывод).
# Проекция вектора на прямую.
# Векторное произведение. Определение, свойства.
# Смешанное произведение. Определение, свойства.
# Координаты точки. Декартова система координат на плоскости.
# Полярная система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат.
# Преобразование координат. Параллельный перенос ПДСК на плоскости.
# Преобразование координат. Поворот ПДСК на плоскости.
# Координаты середины отрезка (вывод).
# Условие коллинеарности трёх точек (вывод).
# Расстояние между двумя точками (вывод).
# Деление отрезка в данном отношении.
# Задание прямой двумя точками.
# Параметрическое уравнение прямой.
# Задание прямой точкой и вектором нормали.
# Уравнение прямой в отрезках.
# Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
# Исследование общего уравнения прямой.
# Взаимное расположение двух прямых на плоскости – параллельность, совпадение, пересечение.
# Угол между прямыми на плоскости.
# Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.
# Способы задания плоскости.
# Исследование общего уравнения плоскости.
# Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
# Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве (плоскости имеют одну общую точку; пересекаются по одной прямой; две плоскости параллельны, третья их пересекает; плоскости параллельны; совпадающие плоскости).
# Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
# Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
# Метрические задачи в пространстве (расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми).
# Эллипс. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Гипербола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Парабола. Определение, вывод уравнения, свойства.
# Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
# Эллипсоид.
# Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид.
# Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
# Линейные преобразования. Примеры. Свойства.
# Аффинные отображения. Уравнения аффинных отображений. Изоморфизм аффинных пространств.
# Группа аффинных преобразований аффинного пространства. Инвариант группы аффинных преобразований.

=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
Список основной литературы:
#Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
#Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
#Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:
#Орланд П.Математические алгоритмы для программистов. 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python . — СПб.: Питер, 2023. — 752 с.
#Криволапов С.Я.Математика на Python : учебник / С.Я. Криволапов, М.Б. Хрипуноова. — Москва: КНОРУС, 2022. — 456 с.

Необходимое программное обеспечение:
#Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
#Jupyter Notebooks

=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===

{| class="wikitable" style="width:80%;"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
| style="width:20%" | Вид учебных занятий/деятельности
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практические (лабораторные) занятия
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Разработка отдельных частей кода
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
|-
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
|}

=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
{| class="wikitable"
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
| Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии
|}

=== Система оценивания ===

=== Диапазоны оценок на курсе ===
{| class="wikitable"
|+
|-
! Оценка !! Диапазон !! Описание
|-
| A. Отлично || 90-100 || -
|-
| B. Хорошо || 75-89 || -
|-
| C. Удовлетворительно || 60-74 || -
|-
| D. Неудовлетворительно || 0-59 || -
|}

=== Контроль успеваемости студентов ===
{| class="wikitable"
|+
|-
! Текущий контроль !! Вес в итоговой оценке (в процентах)
|-
| Посещаемость || 10
|-
| Промежуточный экзамен || 30
|-
| Тесты || 30 (15 за каждый)
|-
| Итоговый экзамен || 30
|}

=== Рекомендации для студентов ===
* Посещение занятий - ключ к успеху в этом курсе.
* Изучите лекционные материалы перед началом занятий, чтобы освежить свои знания.
* Чтение рекомендуемой литературы является обязательным и поможет вам глубже понять материал.

BSc: AnalyticGeometry

2024-08-26T15:59:52Z

I.konyukhov: /* Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины */