BSc: DifferentialAndPartialDifferentialEquations - Revision history

M.sokolovskii: Changes requested by @ivankonyukhov on Aug 22, 2025

2025-08-27T15:05:30Z

Changes requested by @ivankonyukhov on Aug 22, 2025

V.matiukhin at 13:18, 6 April 2024

2024-04-06T13:18:27Z

← Older revision		Revision as of 13:18, 6 April 2024
Line 146:		Line 146:
	:3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.</b>		:3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.</b>
	:4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.</b>		:4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.</b>
−	\|}
−

	=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===		=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===

V.matiukhin at 13:17, 6 April 2024

2024-04-06T13:17:41Z

← Older revision		Revision as of 13:17, 6 April 2024
Line 55:		Line 55:
	\| style="text-align:center;" \| Тема 11. \|\| Специальные типы систем ОДУ. \|\| Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры. Принцип наименьшего действия. <br>		\| style="text-align:center;" \| Тема 11. \|\| Специальные типы систем ОДУ. \|\| Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры. Принцип наименьшего действия. <br>
	\|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"		\|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−	\| style="text-align:center;" \| Тема 12. \|\| Сингулярные возмущения и релаксационные колебания. \|\| Системы вида <math>\varepsilon dt\overrightarrow{X}^\varepsilon = \vec{g}(\vec{X}^\varepsilon, \vec{Y}^\varepsilon, \varepsilon)</math>, <math>dt\overrightarrow{Y}^\varepsilon = \vec{f}(\vec{X}^\varepsilon, \vec{Y}^\varepsilon, \varepsilon)</math>, где <math>0 < \varepsilon \ll 1</math>.Поверхность вырождения: устойчивые и неустойчивые участки. Фазовый портрет. Чередование быстрых и медленных движений. Периодические режимы. Уравнение Ван дер Поля. <br>	+	\| style="text-align:center;" \| Тема 12. \|\| Сингулярные возмущения и релаксационные колебания. \|\| Системы вида <math>\varepsilon d_t\overrightarrow{X}^\varepsilon = \vec{g}(\vec{X}^\varepsilon, \vec{Y}^\varepsilon, \varepsilon)</math>, <math>d_t\overrightarrow{Y}^\varepsilon = \vec{f}(\vec{X}^\varepsilon, \vec{Y}^\varepsilon, \varepsilon)</math>, где <math>0 < \varepsilon \ll 1</math>.Поверхность вырождения: устойчивые и неустойчивые участки. Фазовый портрет. Чередование быстрых и медленных движений. Периодические режимы. Уравнение Ван дер Поля. <br>
	\|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"		\|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
	\| style="text-align:center;" \| Тема 13. \|\| Конечно-разностные уравнения и системы. \|\| Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры. <br>		\| style="text-align:center;" \| Тема 13. \|\| Конечно-разностные уравнения и системы. \|\| Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры. <br>

V.matiukhin at 13:16, 6 April 2024

2024-04-06T13:16:52Z

← Older revision		Revision as of 13:16, 6 April 2024
Line 135:		Line 135:
	<math>H(x_1, x_2, p_1, p_2) = \frac{1}{2}c(\vec{x})\|p\|^2 - \frac{1}{2}c^{-1}(\vec{x})</math> Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость <x_1,x_2>, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство <0,0,p_1,p_2>. Предположим, что среда «слоистая»: <math>		<math>H(x_1, x_2, p_1, p_2) = \frac{1}{2}c(\vec{x})\|p\|^2 - \frac{1}{2}c^{-1}(\vec{x})</math> Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость <x_1,x_2>, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство <0,0,p_1,p_2>. Предположим, что среда «слоистая»: <math>
	c = f(x2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \|x2\| > 1 \\ 1 + Y\sin{\pi x_2} & \text{if } \|x_2\| < 1 \end{cases}		c = f(x2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \|x2\| > 1 \\ 1 + Y\sin{\pi x_2} & \text{if } \|x_2\| < 1 \end{cases}
−	</math>. Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол <math>\alpha = \left\|\arctan{\frac{p1(0)}{p2(0)}}\right\|</math>, при котором лучи не покидают волновод <math>\|x_2\| < 1</math>.	+	</math>. Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол <math>\alpha = \left\|\arctan{\frac{p_1(0)}{p_2(0)}}\right\|</math>, при котором лучи не покидают волновод <math>\|x_2\| < 1</math>.


Line 142:		Line 142:
	:Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.</b>		:Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.</b>
	:Несколько тысяч задач имеется в тексте книг: </b>		:Несколько тысяч задач имеется в тексте книг: </b>
−	1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.	+	:1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002. </b>
−	2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016.</b>	+	:2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016.</b>
−	3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.</b>	+	:3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.</b>
−	4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.</b>	+	:4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.</b>
	\|}		\|}

Line 282:		Line 282:
	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Устный/письменный опрос		\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Устный/письменный опрос
	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.		\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Реферат
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты.<br>Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Эссе
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
	\|-		\|-
	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Подготовка к промежуточной аттестации		\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Подготовка к промежуточной аттестации
	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей.<br>Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.		\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей.<br>Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Практические (лабораторные) занятия
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
	\|-		\|-
	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Самостоятельная работа		\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Самостоятельная работа
	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.		\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Видеопрезентация
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Доклад
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Дискуссия
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
	\|-		\|-
	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Контрольная работа		\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Контрольная работа
	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.		\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Тестирование (устное/письменное)
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
−	\|-
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Индивидуальная работа
−	\| style="vertical-align:middle; text-align:left;" \| При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
	\|-		\|-
	\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Разработка отдельных частей кода		\| style="vertical-align:middle; text-align:center;" \| Разработка отдельных частей кода

V.matiukhin at 13:15, 6 April 2024

2024-04-06T13:15:18Z

← Older revision		Revision as of 13:15, 6 April 2024
Line 128:		Line 128:
	:47.Для уравнения маятника с трением <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Yx = 0</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.		:47.Для уравнения маятника с трением <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Yx = 0</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.
	:48. То же для начальных данных в круге <math>(x - Y)^2 + \dot{x}^2 < \frac{Y}{2}</math>. Приложить распечатку программы.		:48. То же для начальных данных в круге <math>(x - Y)^2 + \dot{x}^2 < \frac{Y}{2}</math>. Приложить распечатку программы.
−	:49.Для уравнения <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Y(x + \varepsilon \sin{x}) = 0</math>, зависящего от параметра<math>\varepsilon</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для \|t\|< 1 решения при <math>\varepsilon==0,~~_0,~~01,~~_0,~~02</math>. Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая <math>\varepsilon \rightarrow 0</math>. Для тех же значений <math>\varepsilon==0,_0,01,_0,02</math>. вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.	+	:49.Для уравнения <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Y(x + \varepsilon \sin{x}) = 0</math>, зависящего от параметра<math>\varepsilon</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для \|t\|< 1 решения при <math>\varepsilon=0, 0.01, 0.02</math>. Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая <math>\varepsilon \rightarrow 0</math>. Для тех же значений <math>\varepsilon==0,_0,01,_0,02</math>. вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.
	:50. Для уравнения второго порядка <math>x'' + x' + Y(1 + a\sin{\omega t})x = 0</math> численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров <math>a, \quad \omega</math> след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 53.		:50. Для уравнения второго порядка <math>x'' + x' + Y(1 + a\sin{\omega t})x = 0</math> численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров <math>a, \quad \omega</math> след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 53.
	:51.Для уравнения <math>\ddot{x} + Yx = f(t)</math> методом вариации постоянных получить общее решение.		:51.Для уравнения <math>\ddot{x} + Yx = f(t)</math> методом вариации постоянных получить общее решение.
Line 134:		Line 134:
	:53. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом		:53. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом
	<math>H(x_1, x_2, p_1, p_2) = \frac{1}{2}c(\vec{x})\|p\|^2 - \frac{1}{2}c^{-1}(\vec{x})</math> Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость <x_1,x_2>, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство <0,0,p_1,p_2>. Предположим, что среда «слоистая»: <math>		<math>H(x_1, x_2, p_1, p_2) = \frac{1}{2}c(\vec{x})\|p\|^2 - \frac{1}{2}c^{-1}(\vec{x})</math> Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость <x_1,x_2>, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство <0,0,p_1,p_2>. Предположим, что среда «слоистая»: <math>
−	c = f(x2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \|x2\| > 1 \\ 1 + Y\sin{\pi x2} & \text{if } \|x2\| < 1 \end{cases}	+	c = f(x2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \|x2\| > 1 \\ 1 + Y\sin{\pi x_2} & \text{if } \|x_2\| < 1 \end{cases}
−	</math>. Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол <math>\alpha = \left\|\arctan{\frac{p1(0)}{p2(0)}}\right\|</math>, при котором лучи не покидают волновод \|x_2\|<1.	+	</math>. Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол <math>\alpha = \left\|\arctan{\frac{p1(0)}{p2(0)}}\right\|</math>, при котором лучи не покидают волновод <math>\|x_2\| < 1</math>.

V.matiukhin at 13:12, 6 April 2024

2024-04-06T13:12:25Z

← Older revision		Revision as of 13:12, 6 April 2024
Line 121:		Line 121:
	:40.Для уравнения пружинного маятника с трением <math>\ddot{x} + \text{sign}(\dot{x}) + Yx = 0</math> с начальным условием <Y,Y> определить число колебаний до остановки.		:40.Для уравнения пружинного маятника с трением <math>\ddot{x} + \text{sign}(\dot{x}) + Yx = 0</math> с начальным условием <Y,Y> определить число колебаний до остановки.
	:41. Методом Ньютона исследовать уравнение <math>\sin{z} = Yz, \quad z \in \mathbb{C}</math>		:41. Методом Ньютона исследовать уравнение <math>\sin{z} = Yz, \quad z \in \mathbb{C}</math>
		+	:42.Рассмотрим линейный дифференциальный оператор <math>(x^2 + 3x - Y)\frac{d^2}{dx^2} + (2x - 7)\frac{d}{dx}</math>. Докажите, что он оставляет инвариантным подпространство многочленов степени не выше 10. Вычислить матрицу этого оператора в базисе, составленном из этих 11 мономов. Вычислить спектр этого оператора. То же для многочленов степени не выше 12.
−
		+	:43.Для дифф. уравнения Бесселя степени 2: <math>r^{-1}\frac{d}{dr}r\frac{d}{dr}u + (Y-4r^{-2})u = 0</math> построить решение, ограниченное в нуле. При малых r строить разложением в ряд Ньютона, а потом при некотором <math>r = \varepsilon</math> использовать полученные <math>u(\varepsilon), \quad u'(\varepsilon)</math>в качестве начальных данных для метода Рунге - Кутты, каковым интегрировать до 10/\sqrt Y. Оценить зависимость погрешности от числа членов ряда Ньютона, выбора <math>\varepsilon</math> и шага схемы. Применить метод Ричардсона для повышения точности.
−
		+	:44.Для сетки {-Y,0,1,2,3} построить многочлен степени 5, который во всех узлах обращается в нуль, а первая производная которого в левой точке равна 1. То же для правой точки. Построить графики.
		+	:45.На единичной окружности <math>x \in [0, 2\pi)</math>задана равномерная сетка из Y+10 точек. Значения сеточной функции равны значениям функции sin(x). Вычислить в точках сетки первую и вторую производные по компактной схеме и сравнить с истинным результатом. Построить графики.
		+	:46.На маятник сбоку дует ветер. Поэтому уравнение для его колебаний принимает вид: <math>\ddot{x} + A\sin{x} + B\cos{x} = 0</math>. Нужно a) Объяснить физический смысл В; b) Построить фазовый портрет и проинтегрировать уравнение при А=1, В=Y. c)При этих же значениях параметров определить зависимость периода от амплитуды и сравнить со случаем В=0.
		+	:47.Для уравнения маятника с трением <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Yx = 0</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.
		+	:48. То же для начальных данных в круге <math>(x - Y)^2 + \dot{x}^2 < \frac{Y}{2}</math>. Приложить распечатку программы.
		+	:49.Для уравнения <math>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + Y(x + \varepsilon \sin{x}) = 0</math>, зависящего от параметра<math>\varepsilon</math> рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для \|t\|< 1 решения при <math>\varepsilon==0,_0,01,_0,02</math>. Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая <math>\varepsilon \rightarrow 0</math>. Для тех же значений <math>\varepsilon==0,_0,01,_0,02</math>. вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.
		+	:50. Для уравнения второго порядка <math>x'' + x' + Y(1 + a\sin{\omega t})x = 0</math> численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров <math>a, \quad \omega</math> след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 53.
		+	:51.Для уравнения <math>\ddot{x} + Yx = f(t)</math> методом вариации постоянных получить общее решение.
		+	:52.Шарик с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести без трения движется под действием силы тяжести по желобу, имеющему форму параболы, причем z(0)=1, z(Y)=0. Требуется с помощью численных экспериментов определить, какая из парабол обеспечивает наименьшее время для достижения конечной точки.
		+	:53. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом
		+	<math>H(x_1, x_2, p_1, p_2) = \frac{1}{2}c(\vec{x})\|p\|^2 - \frac{1}{2}c^{-1}(\vec{x})</math> Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость <x_1,x_2>, описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство <0,0,p_1,p_2>. Предположим, что среда «слоистая»: <math>
		+	c = f(x2) = \begin{cases} 1 & \text{if } \|x2\| > 1 \\ 1 + Y\sin{\pi x2} & \text{if } \|x2\| < 1 \end{cases}
		+	</math>. Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол <math>\alpha = \left\|\arctan{\frac{p1(0)}{p2(0)}}\right\|</math>, при котором лучи не покидают волновод \|x_2\|<1.

V.matiukhin at 13:03, 6 April 2024

2024-04-06T13:03:00Z

← Older revision		Revision as of 13:03, 6 April 2024
Line 111:		Line 111:
	:30.Для уравнений химической кинетики построить графики зависимости решения от времени при <math>\nu = 1, \quad \mu = 2, \quad k1 = 10, \quad k2 = Y, \quad n1(0) = 5, \quad n2(0) = 7</math>.</b>		:30.Для уравнений химической кинетики построить графики зависимости решения от времени при <math>\nu = 1, \quad \mu = 2, \quad k1 = 10, \quad k2 = Y, \quad n1(0) = 5, \quad n2(0) = 7</math>.</b>
	:31.Для многочлена <math>P(x) = x^3 + \alpha x^2 + Yx</math> определить значения <math>\alpha_</math>, при которых имеется вырожденная стационарная точка. Как различаются многочлены со значениями <math>\alpha</math> по разные стороны от <math>\alpha_</math>? Построить графики для примеров.		:31.Для многочлена <math>P(x) = x^3 + \alpha x^2 + Yx</math> определить значения <math>\alpha_</math>, при которых имеется вырожденная стационарная точка. Как различаются многочлены со значениями <math>\alpha</math> по разные стороны от <math>\alpha_</math>? Построить графики для примеров.
		+	:32.Параметрическим называется резонанс вследствие изменения коэффициентов уравнения. Для уравнения второго порядка <math>x'' + x' + Y(1 + a\sin{\omega t})x = 0</math> численным экспериментом определить, при каких значениях параметров <math>a, \omega</math> теряется устойчивость состояния покоя ? Указать границы областей параметров, где ПР наблюдается. Для нескольких вариантов параметров построить графики решения.
		+	:33.Пусть каждая пара бессмертных кроликов на первом месяце не рожает, на втором месяце рожает (Y+1) пару, а потом каждый месяц по одной. Найти характеристические числа соответствующего уравнения (график характеристического многочлена построить). Оценить численность популяции спустя много месяцев и сравнить с результатом, полученным прямым вычислением (построить график разности). Вначале была 1 пара, только что родившаяся.
		+	:34.Для системы уравнений Лотки - Вольтерры с параметрами из задачи 31 определить погрешность (изменение первого интеграла в конечный момент времени по отношению к начальному) в зависимости от периода и шага разностной схемы Рунге - Кутты 4-го порядка с постоянным шагом. Время интегрирования – 100 периодов.
		+	:35.Использовать экстраполяционный метод Ричардсона для уменьшения этой погрешности. В каком диапазоне шагов метод неэффективен и почему?
		+	:36.Привести пример линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой начало координат асимптотически устойчиво и существуют решения, модуль которых сначала растет, а потом убывает. Привести графики компонент и модуля таких решений. Возможно ли, чтобы все решения системы с асимптотически устойчивой стационарной точкой обладали таким свойством немонотонности?
		+	:37.Пусть <math>f(x, y) = \sin{x} + \cos{(x + Yy)}</math>. С помощью леммы Морса исследовать поведение функции в окрестности стационарных (критических) точек. Нарисовать изолинии f.
		+	:38.Пусть<math>f(x, y, z) = \sin{x} + \cos{(x + Yy)} + \sin{(x + Yy + Y^2z)}</math> Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек.
		+	:39.Исследовать системы <math>\dot{x} = y \pm Yy^2, \quad \dot{y} = -x \pm x^2</math> методом разделения переменных. Устойчивы ли стационарные точки этих систем? Сопоставить с исследованием устойчивости методом Ляпунова.
		+	:40.Для уравнения пружинного маятника с трением <math>\ddot{x} + \text{sign}(\dot{x}) + Yx = 0</math> с начальным условием <Y,Y> определить число колебаний до остановки.
		+	:41. Методом Ньютона исследовать уравнение <math>\sin{z} = Yz, \quad z \in \mathbb{C}</math>
		+
		+
		+
		+
	\|}		\|}
−	'''Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:'''	+	'''Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:'''</b>
−	Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.</b>	+	:Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.</b>
−	Несколько тысяч задач имеется в тексте книг: </b>	+	:Несколько тысяч задач имеется в тексте книг: </b>
	1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.		1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.
	2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016.</b>		2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016.</b>

V.matiukhin at 12:56, 6 April 2024

2024-04-06T12:56:03Z

V.matiukhin at 12:53, 6 April 2024

2024-04-06T12:53:13Z

← Older revision		Revision as of 12:53, 6 April 2024
Line 75:		Line 75:
	'''Задания для практических занятий:</b>'''		'''Задания для практических занятий:</b>'''
	{\|		{\|
−	*1.Доказать, что в некоторой точке на интервале (-1;1) производная функции <math>f(x) = (1 - x^2)^{100}</math> равна 1.	+	:1.Доказать, что в некоторой точке на интервале (-1;1) производная функции <math>f(x) = (1 - x^2)^{100}</math> равна 1.
	</b>		</b>
−	*2.Как повлияет на пропускную способность трубы со стационарным ламинарным течением жидкости а) удвоение перепада давления на концах трубы; б) удвоение диаметра трубы?	+	:2.Как повлияет на пропускную способность трубы со стационарным ламинарным течением жидкости а) удвоение перепада давления на концах трубы; б) удвоение диаметра трубы?
	</b>		</b>
−	*3.Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями?	+	:3.Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями?
	</b>		</b>
	4.Лестница прислоняется к трубе, как показано пунктиром на рисунке. Радиус трубы равен 1. Нижний конец лестницы находится в точке x=1+k/10. Определить координаты точки касания лестницы и трубы. Здесь k – номер студента в списке.</b>		4.Лестница прислоняется к трубе, как показано пунктиром на рисунке. Радиус трубы равен 1. Нижний конец лестницы находится в точке x=1+k/10. Определить координаты точки касания лестницы и трубы. Здесь k – номер студента в списке.</b>

V.matiukhin at 12:52, 6 April 2024

2024-04-06T12:52:46Z

← Older revision		Revision as of 12:52, 6 April 2024
Line 75:		Line 75:
	'''Задания для практических занятий:</b>'''		'''Задания для практических занятий:</b>'''
	{\|		{\|
−	1.Доказать, что в некоторой точке на интервале (-1;1) производная функции <math>f(x) = (1 - x^2)^{100}</math> равна 1.	+	*1.Доказать, что в некоторой точке на интервале (-1;1) производная функции <math>f(x) = (1 - x^2)^{100}</math> равна 1.
	</b>		</b>
−	2.Как повлияет на пропускную способность трубы со стационарным ламинарным течением жидкости а) удвоение перепада давления на концах трубы; б) удвоение диаметра трубы?	+	*2.Как повлияет на пропускную способность трубы со стационарным ламинарным течением жидкости а) удвоение перепада давления на концах трубы; б) удвоение диаметра трубы?
	</b>		</b>
−	3.Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями?	+	*3.Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями?
	</b>		</b>
	4.Лестница прислоняется к трубе, как показано пунктиром на рисунке. Радиус трубы равен 1. Нижний конец лестницы находится в точке x=1+k/10. Определить координаты точки касания лестницы и трубы. Здесь k – номер студента в списке.</b>		4.Лестница прислоняется к трубе, как показано пунктиром на рисунке. Радиус трубы равен 1. Нижний конец лестницы находится в точке x=1+k/10. Определить координаты точки касания лестницы и трубы. Здесь k – номер студента в списке.</b>