BSc: MathematicalAnalysis I

Название дисциплины

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: __________________

Направленность (профиль) образовательной программы: (Указывается направленность (профиль) образовательной программы

Программу разработал(а): О.М.Киселев

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области математического анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины студенты осваивают теорию пределов, дифференцирование, теорию интегрирования функций одной переменной.

Особенностью курса является большее, чем в стандартных курсах анализа, исследование методов аппроксимации, функциональных рядов и их свойствам, связанным с последовательными приближениями, основанными свойствах сжимающих отображений, в конечном итоге — теореме Банаха о неподвижной точке.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является усвоение студентами основных принципов аналитического исследования пределов, производных и интегралов функций одной переменной.

Задачами дисциплины являются приобретение студентами навыков исследования естественнонаучных задач методами математического анализа. Знакомство с методами теории пределов, дифференцирования и интегрирования функций вещественной переменной. Научить студентов использовать ряд важнейших конструктивных методов математического анализа в приложениях. В частности -- теорему об обратной функции, метод сжимающих отображений и теорему о неподвижной точке.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: после прохождения курса у студентов должны быть сформированы систематические знания теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функции действительной переменной, элементов численных методов.

Умения: сформированы умения вычисления пределов, производных для явно и неявно заданных функций, вычисления интегралов с помощью подстановок и интегрирования по частям. Умения исследования свойств обратных функций, свойств последовательных отображений, анализа особых точек и интегрирования несобственных интегралов. После прохождения курса студенты должны уметь интерполировать табличную функцию полиномами, вычислять численно производную и интегралы по значениям функций в нескольких точках, оценивать погрешность численных аппроксимаций производных и интегралов.

Навыки (владения): сформировано владение навыками формализации задач естественных наук в задачи, исследуемые с помощью методов математического анализа вещественной переменной. После окончания курса студентами должны быть получены навыки использования систем (библиотек) компьютерной алгебры, применяемых для исследования задач математического анализа функции вещественной переменной.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Свойства вещественных чисел.	Счетность и плотность множества рациональных чисел. Иррациональные числа и дедекиндовы сечения. Теорема Кантора о несчетности множества вещественных чисел.
2.	Пределы последовательностей.	Предел последовательности. Свойства пределов последовательностей. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Теорема Бернулли о втором замечательном пределе.
3.	Свойства непрерывных функций и теорема об обратной функции.	Определение функции вещественной переменной. Представление функций в неявной и параметрической форме. Определение непрерывной функции. Свойства непрерывных функций. Теорема об обратной функции. Правила замены переменной при вычислении предела. Асимптотические свойства функций.
4.	Производная и ее свойства.	Определение производной. Дифференциал. Геометрический смысл производной. Первый замечательный предел. Вычисление производной функции, заданной в параметрической и неявной форме. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Использование производной в приложениях математического анализа.
5.	Первообразная и интеграл.	Определение первообразной. Определение и свойства неопределенного интеграла. Использование неопределенного интеграла в приложениях математического анализа. Интегральные суммы Дарбу и определенный интеграл Римана. Геометрический смысл определенного интеграла. Основная теорема анализа и формула Ньютона-Лейбница.
6.	Несобственные интегралы.	Определение несобственного интеграла. Несобственные интегралы с особенностью в конечной точке. Интегралы по неограниченному промежутку. Гамма-функция. Несобственные интегралы от осциллирующих функций.
7.	Элементы теории аппроксимации. Метод сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке.	Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов) (Указываются ВСЕ задания для практических занятий по разделам дисциплины подробно в соответствии с темами)
1.
2.
3.
4.
5.
...

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

(К формам текущего контроля можно отнести собеседование, коллоквиум, тест, контрольную работу, лабораторную работу, эссе, реферат и иные творческие работы.)

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля (выберите соответствующие формы контроля)	Материалы текущего контроля (Указываются ВСЕ ЗАДАНИЯ/ВОПРОСЫ текущего контроля успеваемости обучающихся по разделам дисциплины подробно в соответствии с требованиями)
1.		Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Тестирование (письменное или компьютерное); Эссе; Доклад; Защита проекта; Коллоквиум; Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях	Например: Устный / письменный опрос: - - - ... Тематика групповых проектов: - - - ... Темы докладов: - - - ... Тематика эссе: - - - ... Задания, в том числе, для групповых проектов: - - - ... Тестирование (письменное или компьютерное): - - - ... Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта. Другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях - - - ...
2.		Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Тестирование (письменное или компьютерное); Эссе; Доклад; Защита проекта; Коллоквиум; Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях
3.		Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Тестирование (письменное или компьютерное); Эссе; Доклад; Защита проекта; Коллоквиум; Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях
4.		Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Тестирование (письменное или компьютерное); Эссе; Доклад; Защита проекта; Коллоквиум; Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях
5.		Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Тестирование (письменное или компьютерное); Эссе; Доклад; Защита проекта; Коллоквиум; Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях
...

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
...

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

(Указываются ВСЕ ЗАДАНИЯ/ВОПРОСЫ для промежуточной аттестации.)

1.
2.
3.
...
48.
49.
50.
...

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

Список дополнительной литературы:

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

(Указываются рекомендации для обучающихся, которые раскрывают суть их работы при различных видах деятельности в рамках освоения дисциплины. Данные рекомендации должны охватывать работу с лекционным материалом, подготовку и работу во время проведения семинарских занятий, самостоятельную работу, подготовку к текущему контролю и промежуточной аттестации)

(Выберите соответствующие виды учебных занятий, которые используются при изучении Вашей дисциплины)

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

(Указываются все используемые преподавателем методы и технологии обучения)

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Например:

1.	Информационно – коммуникационная технология
2.	Технология развития критического мышления	Основные методические приемы развития критического мышления Прием «Кластер» Таблица Учебно-мозговой штурм Интеллектуальная разминка Зигзаг, зигзаг -2 Прием «Инсерт» Эссе Приём «Корзина идей» Приём «Составление синквейнов» Метод контрольных вопросов Приём «Знаю../Хочу узнать…/Узнал…» Круги по воде Ролевой проект Да – нет Приём «Чтение с остановками» Приём «Взаимоопрос» Приём «Перепутанные логические цепочки» Приём «Перекрёстная дискуссия»
3.	Проектная технология
4.	Технология проблемного обучения
5.	Кейс – технология	К методам кейс-технологий, активизирующим учебный процесс, относятся: метод ситуационного анализа (Метод анализа конкретных ситуаций, ситуационные задачи и упражнения; кейс-стадии) метод инцидента; метод ситуационно-ролевых игр; метод разбора деловой корреспонденции; игровое проектирование; метод дискуссии.
6.	Технология интегрированного обучения
7.	Педагогика сотрудничества
8.	Технологии уровневой дифференциации
9.	Групповая технология
10.	Традиционные технологии (классно-урочная система)
11.	Здоровьесберегающие технологии
12.	Игровая технология
13.	Модульная технология
14.	Технология мастерских
	и др.