BSc: B1.O.13 MFAI 2024 Probability Theory

Теория вероятностей

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а):

1. Краткая характеристика дисциплины

В курс включены все базовые определения и утверждения теории вероятностей от колмогоровской аксиоматики до многомерных предельных теорем. Курс предназначен для математиков и предполагает знание основ теории меры, комбинаторики и математического анализа.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является освоение основных современных методов теории вероятностей.

Задачами дисциплины являются

• освоение студентами базовых знаний (понятий, концепций, методов и моделей) в теории вероятностей;

• приобретение теоретических знаний и практических умений и навыков в теории вероятностей;

• оказание консультаций и помощи студентам в проведении собственных теоретических исследований в теории вероятностей.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания, включая фундаментальные понятия, законы теории вероятностей; современные проблемы соответствующих разделов теории вероятностей; понятия, аксиомы, методы доказательств и доказательства основных теорем в разделах, входящих в базовую часть цикл; основные свойства соответствующих математических объектов; аналитические и численные подходы и методы для решения типовых прикладных задач теории вероятностей.

Умения: сформированы умения понять поставленную задачу; использовать свои знания для решения фундаментальных и прикладных задач; оценивать корректность постановок задач; строго доказывать или опровергать утверждение; самостоятельно находить алгоритмы решения задач, в том числе и нестандартных, и проводить их анализ; самостоятельно видеть следствия полученных результатов; точно представить математические знания в теории вероятностей в устной и письменной форме.

Навыки (владения): сформировано владение навыками освоения большого объема информации и решения задач ( в том числе, сложных); навыками самостоятельной работы и освоения новых дисциплин;

культурой постановки, анализа и решения математических и прикладных задач, требующих для своего решения использования математических подходов и методов; предметным языком дискретной математики и навыками грамотного описания решения задач и представления полученных результатов.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Свойства вероятности при таком определении. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече, задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Порядковые статистики. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Случайное блуждание. Симметричное случайное блуждание. Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность распределения. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания. Математическое ожидание функции от случайной величины. Неравенства Маркова и Чебышёва. Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Множество из $n$ шаров случайно раскладывают по $m$ ящикам. Найдите вероятность того, что все ящики непустые, если шары различимы. В группе 25 студентов. Считаем, что день рождения каждого студента случаен (пусть в году 365 дней). Найдите вероятность того, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадают. Некоторые жители города N считают трамвайный билет ``счастливым``, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить ``счастливый`` билет. На шахматной доске размера $n\times n$ случайно размещают $n$ ладей. Найдите вероятности следующих событий: $A=\{$ладьи не бьют друг друга$\}$; $B=\{$ладьи не бьют друг друга, и на главной диагонали нет никаких фигур$\}$. В карточной игре покер игрок получает 5 карт из колоды в 52 карты. Задача игрока --- собрать наиболее сильную комбинацию карт. Комбинации бывают следующие: пара --- две карты одного номинала; две пары --- две карты одного номинала, две карты --- другого; тройка --- три карты одного номинала; стрит --- пять последовательных по номиналу карт (предполагается, что за тузом по номиналу следует двойка); флэш --- все карты одной масти; три+два --- три карты одного номинала, две карты --- другого; каре --- четыре карты одного номинала; стрит-флэш --- пять последовательных по номиналу карт одной масти; ройал-флэш --- туз, король, дама, валет и десятка одной и той же масти. Найдите вероятность получения каждой из перечисленных комбинаций при случайной сдаче карт. Вычислите вероятность того, что не выпадет ни одна из вышеперечисленных комбинаций. В веб-поиске при решении различных задач машинного обучения часто используется статистический метод, который называется бутстрэппинг. Суть состоит в следующем. Предположим, что у нас есть $N$ веб-страниц. Мы хотим узнать, насколько наш алгоритм устойчив. Для этого выбираются случайно $N$ страниц (некоторые могут совпадать) большое количество раз (в этом случае говорят, что генерируется $M$ выборок размера $N$). Если выбор производится упорядоченно, то найдите вероятность того, что первая страница встречается в одной такой выборке $k$ раз, а вторая --- $r$ раз.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Случайная точка $A$ имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найдите вероятность того, что расстояние от точки $A$ до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит $x.$ На $n$-мерной сфере случайно выбрана $n+1$ точка. Найдите вероятность того, что их выпуклая оболочка не содержит центра сферы. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более, чем 1, можно составить треугольник. В круге радиуса $R$ случайно проводится хорда. Обозначим через $\xi$ ее длину. Найдите вероятность Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}\left(\xi>\sqrt{3}R\right)} , если середина хорды равномерно распределена в круге; направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению; один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности. Случайная точка $A$ имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найдите вероятности следующих событий: расстояние от точки $A$ до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит $x$; расстояние от точки $A$ до любой стороны прямоугольника не превосходит $x$; расстояние от точки $A$ до ближайшей стороны прямоугольника меньше, чем расстояние от $A$ до ближайшей диагонали.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Брошено 3 игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала ``шестерка при условии, что на первой кости выпала ``шестерка. Мимо магазина пончиков проходят юноши с частотой 0.6, девушки -- с частотой 0.3, преподаватели -- с частотой 0.1. Юноши покупают пончик с вероятностью 0.4, девушки -- с вероятностью 0.9, преподаватели -- с вероятностью 0.2. Известно, что последний человек купил пончик. Найдите условную вероятность того, что пончик приобрел преподаватель. Брошено 3 игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала ``шестерка при условии, что по крайней мере на одной кости выпала ``шестерка; по крайней мере на двух костях выпало равное количество очков. В одном ящике содержится 1 белый шар и 2 черных шара, а в другом ящике --- 2 белых шара и 3 черных шара. В третий ящик кладут два шара, случайно выбранных из первого ящика, и два шара, случайно выбранных из второго ящика. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из третьего ящика шар будет белым; при выборе без возвращения двух шаров из третьего ящика один из них будет будет белым, а второй --- черным. Из урны, содержащей $a$ белых и $b$ черных шаров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти вероятность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары извлекаются по схеме равновероятного выбора с возвращением; по схеме равновероятного выбора без возвращения. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства $P(B|A)+P(B|{\overline {A}})=1,$ $P(B|A)+P({\overline {B}}|{\overline {A}})=1$ неверны. Группа из 15 человек сдает экзамен по теории вероятностей. В программе 31 билет, пять из которых студенты считают халявными. Каким по очереди нужно заходить в аудиторию, чтобы с наибольшей вероятностью вытянуть халявный билет? Во время испытаний аппарата на макаронной фабрике было установлено, что вероятность его взрыва при отсутствии помех равна 0,01, при перегреве --- 0,05, при вибрации --- 0,1, при вибрации и перегреве --- 0,2. Найти вероятность взрыва на макаронной фабрике при работе в жарких странах (вероятность перегрева равна 0,2, вероятность вибрации --- 0,1, вероятность перегрева и вибрации вместе --- 0.02). Из совокупности всех подмножеств множества $S=\{1,2,...,N\}$ по схеме выбора с возвращением выбираются множества $A_{1}$ и $A_{2}.$ Найти условную вероятность того, что множества $A_{1}$ и $A_{2}$ состоят из $l_{1}$ и $l_{2}$ элементов соответственно при условии, что они не пересекаются. Из ящика, содержащего черные и белые шары, извлекаются шары. Пусть событие $A_{k}$ означает, что на $k$-м шаге извлечен белый шар. Докажите, что события $A_{1},\ldots ,A_{n}$ независимы в совокупности, если выбор шаров производится с возвращением; зависимы, если выбор шаров производится без возвращения. Два игрока проводят серию независимых испытаний. В каждом испытании игрок $A$ подбрасывает 3 игральные кости, а игрок $B$ --- 2 кости одновременно с игроком $A$ и независимо от него. Эти испытания они проводят последовательно до первого выпадения ``шестерки хотя бы на одной из костей. Найдите вероятности следующих событий ${\cal {C}}=\{$впервые ``шестерка выпала у игрока $B$, а не у $A\}$; ${\cal {D}}=\{$впервые ``шестерка выпала одновременно у $A$ и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\}} . Пусть $A,B,C$ --- попарно независимые равновероятные события, причем $A\cap B\cap C=\varnothing$. Найдите максимально возможное значение Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(A)} . Дано множество Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} из $n$ элементов. Из него случайно и независимо выбираются три подмножества Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A, B, C} . Каждое случайное подмножество формируется следующим образом: каждый элемент множества Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} независимо от других с вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} включается в подмножество, а с вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-p)} --- не включается (этот процесс повторяется три раза, сначала для множества $A$, затем для $B$ и, наконец, для $C$). Найдите вероятность события Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=\{A\cap B\subseteq C\subseteq A\cup B\}} . Пользователь социальной сети каждый день просматривает стену одного из своих 7 друзей с вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_i, \; i=1,\ldots,7,} Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} --- номер первой недели, за которую он просмотрит стены всех семерых своих друзей. Найти вероятность того, что в понедельник $\nu$-той недели он просмотрит стену первого своего друга. Ребра полного графа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_n} на $n$ вершинах независимо друг от друга раскрашиваются с равной вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac 1k} в любой из $k$ цветов. Пусть $V$ --- множество вершин графа $K_{n}$, а $S\subset V$. Обозначим через Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_S} следующее событие: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_S=\{} все ребра Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_n} , обе вершины которых принадлежат Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , покрашены в один и тот же цветFailed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \}} . При каких условиях на взаимное расположение подмножеств $S,T\subset V$ события Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_S} и $A_{T}$ независимы?
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Пусть $\{S_{n},\;n\in \mathbb {N} \}$ -- простейшее случайное блуждание на прямой. Найти Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(S_n=x).} Пусть на плоскости заданы целочисленные точки $A=(a,\alpha )$ и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = (b, \beta),} причем Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b > a \geq 0,} $\alpha >0,$ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta > 0.} Тогда число путей из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A' = (a, -\alpha)} в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = (b, \beta)} равно числу путей из $A$ в $B,$ которые касаются нулевого уровня или пересекают его (иными словами, прямую $(\cdot ,0)$). (Лемма о баллотировке) Пусть $x,n\in \mathbb {N} .$ Тогда доля путей из $(0,0)$ в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n, x),} которые не пересекают нулевой уровень, от общего числа путей из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0)} в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n, x)} составляет ${\frac {x}{n}}.$ Найти вероятность того, что симметричное случайное блуждание никогда не возвратится в 0. Иными словами, найти Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}{\sf P}(S_2\neq0,\ldots,S_{2n}\neq0).} Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (S_n; n \in \mathbb{N})} --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя принцип отражения, докажите, что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}\left(\max\limits_{k\leq n} S_k\geq N; S_n<N\right) = {\sf P}(S_n>N). } Пусть $(S_{n};n\in \mathbb {N} )$ --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 3, найдите распределение случайной величины $M_{n}=\max \limits _{k\leq n}S_{k}$ и найдите асимптотику Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf E}M_n} при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\rightarrow\infty.} Пусть $(S_{n};n\in \mathbb {N} )$ --- случайное блуждание с вероятностью шага вправо $p$ и шага влево Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p + q = 1.} Докажите, что для Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \leq N} выполнено Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}\left(\max\limits_{k\leq n} S_k\geq N; S_n=m\right) = C_n^u p^{v}q^{n-v}, } где $v=(n+m)/2,u=v-N.$ Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (S_n, n \in \mathbb{N})} --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 3, докажите равенство Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}\left(\max\limits_{k\leq n} S_k= N; S_n=m\right) = {\sf P}(S_n = 2N-m) - {\sf P}(S_n = 2N-m+2). } Пусть случайное блуждание $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i},$ где $\xi _{i},\;i=1,\ldots ,n,$ независимы в совокупности и Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(\xi_i = a)=p,\; {\sf P}(\xi_i=-b)=1-p,} Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b\in \mathbb{N}.} Найти Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(S_n = x).}
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Случайно бросаются два Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} -гранных кубика, на гранях которых написаны числа от 1 до $M$. Опишите вероятностное пространство, события в котором соответствуют всем возможным исходам в таком эксперименте. Найдите вероятность события $A_{i}=\{$сумма чисел, выпавших на кубиках, равна $i\}$, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=2, 3, \ldots,2M} . Из множества $N$ объектов выбирается случайное подмножество. Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что это случайное подмножество имеет четную мощность. По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел ${1,\ldots ,N},$ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N\geq4,} выбираются числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y.} Что больше: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_2 = {\sf P}(X^2-Y^2 \text{ делится на } 2)} или Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_3 = {\sf P}(X^2-Y^2 \text{ делится на } 3)?} Прежде чем сравнить вероятности, опишите вероятностное пространство и события, вероятности которых надо сравнить, в терминах этого вероятностного пространства. Из совокупности всех подмножеств множества натуральных чисел ${1,\ldots ,N}$ по схеме выбора с возвращением выбираются два множества Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1} и $A_{2}.$ Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1\cap A_2 = \varnothing} . По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел $\{1,2,...,N\}$ выбираются числа $\xi$ и $\eta .$ Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что $\xi$ и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta} взаимно просты. Можно ли пару операций Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\cup, \overline{A}\}} в определении алгебры заменить на $\{\vartriangle ,/\};$ $\{A\cup {\overline {B}},{\overline {A}}\};$ $\{\cup ,\cap \};$ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\overline{A\cap B}\}?} Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{B}_1} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{B}_2} --- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma-} алгебры подмножеств пространства $\Omega .$ Будут ли Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma-} алгебрами системы множеств Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{B}_1 \cap \mathfrak{B}_2;} Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{B}_1 \cup \mathfrak{B}_2?} Пусть Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},{\sf P})} --- вероятностное пространство. Последовательность вложенных сигма-алгебр ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}$ называется потоком или фильтрацией. Верно ли, что система множеств $\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}$ является $\sigma$-алгеброй? Поток сигма-алгебр, определенный в задаче 8, моделирует поток информации. Пусть один человек загадывает случайное число из $[0,1]$, а второй пытается его угадать. В каждый момент времени второй человек, обладая знанием о том, что число принадлежит некоторому интервалу, делит этот интервал пополам, а первый человек говорит, в каком из интервалов лежит загаданное им число. Таким образом, с каждым моментом времени мы все больше узнаем информации о случайном числе. Опишите поток сигма-алгебр в этой задаче.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Пусть $F(x)$ --- функция распределения, соответствующая распределению вероятностей Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}} . Доказать равенство Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}((a,b])=F(b)-F(a)} для любых Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty<a<b<\infty} . Пусть $F(x)$ --- функция распределения, соответствующая распределению вероятностей Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} . Доказать равенства: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}([a,b])=F(b)-F(a-)} ; Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}((a,b))=F(b-)-F(a)} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}([a,b))=F(b-)-F(a-)} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(\{x\})=F(x)-F(x-)} . Показать, что каждая из функций Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_1(x,y)=I(x+y\geq 0),} Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_2(x,y)=[x+y],} где $[\cdot ]$ --- целая часть числа, является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не является функцией распределения в $\mathbb {R} ^{2}$. Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_1,\ldots,\lambda_n} --- неотрицательные числа, $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1$. Пусть, кроме того, Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}_1,\ldots,{\sf P}_n} --- распределения вероятностей на $(\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k}))$, а $F_{1},\ldots ,F_{n}$ --- соответствующие им функции распределения. Верно ли, что функция Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_1F_1+\ldots+\lambda_nF_n} является функцией распределения? Если да, то для какого распределения вероятностей? Пусть $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ --- неотрицательные числа, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_1+\ldots+\lambda_n=1} . Пусть, кроме того, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}_1,\ldots,{\sf P}_n} --- абсолютно непрерывные распределения вероятностей на $(\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k}))$, а $p_{1},\ldots ,p_{n}$ --- соответствующие плотности. Верно ли, что функция $\lambda _{1}p_{1}+\ldots +\lambda _{n}p_{n}$ является плотностью? Если да, то для какого распределения вероятностей? Плотность абсолютно непрерывного распределения Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} , заданного на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))} , равна Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)} . Найти функцию распределения, если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=\frac{\theta}{\pi(\theta^2+(x-x_0)^2)}} (распределение Коши с параметром $\theta$ и смещением $x_{0}$); Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=\frac{1}{b-a}I(a\leq x\leq b)} (равномерное распределение на $[a,b]$); Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=k(x-1)^{k-1}I(1\leq x\leq 2)} , $k\in \mathbb {N}$; $p(x)=xe^{-x}I(x>0)$ (гамма-распределение с параметрами 1, 2). Пусть Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} --- дискретное распределение вероятностей на $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle p(x)={\sf P}(\{x\})} . Найти функцию распределения, соответствующую распределению вероятностей Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P},} если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=\frac{1}{2N}I(x\in\{1,\ldots,N\}\cup\{2N+1,\ldots,3N\})} (равномерное распределение на множестве Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1,\ldots,N\}\cup\{2N+1,\ldots,3N\}} ). Найти Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(2\mathbb{Z}_+)} , где $2\mathbb {Z} _{+}$ --- множество неотрицательных четных чисел, если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}I(x\in\mathbb{Z}_+)} , где $\lambda >0$ (пуассоновское распределение с параметром $\lambda$). Найти функцию распределения, соответствующую распределению вероятностей Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} , и Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(2\mathbb{Z}_+),} если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=p(1-p)^{x-1}I(x\in\mathbb{N})} , где $p\in (0,1)$ (геометрическое распределение с параметром $p$). Метеорологическая станция при прогнозе температуры исходит из предположения, что распределение температуры --- экспоненциальное с параметром 1 и со смещением $\theta$, причем величина $\theta$ зависит от месяца, в который составляется прогноз. Пусть $\theta _{1}=0$ --- смещение температуры в апреле, а $\theta _{2}=5$ --- в мае. Найти вероятность того, что суммарная температура при одном измерении в апреле и одном в мае не превзойдет числа $c=15$, если измерения будут производиться независимо. Пусть Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} --- вероятностная мера на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{R}^3,\mathcal{B}(\mathbb{R}^3))} , определенная равенством Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}={\sf P}_1\times{\sf P}_2\times{\sf P}_3} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}_1} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}_2} --- равномерные распределения на $[0,1]$, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}_3} --- экспоненциальное распределение с параметром Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda>0} . Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(\{(x,y,z):\,\,x+y+z\leq 3\})} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(\{(x,y,z):\,\,x-y+z\geq 0\})} ; Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(\{(x,y,z):\,\,1/2\leq xy\leq 3z\})} . Стрелок в тире стреляет в ``четверть круга, то есть в область Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=\{(x,y):x^2+y^2<1,x>0,y>0\}} . Распределение вероятности попадания Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}} --- равномерное в области $D$. Иными словами, плотность такого распределения равна $p(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}/4}}I((x,y)\in D)$. Найдите функцию распределения и плотность маргинального распределения вероятностей Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}_1,} равной проекции Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} по первой координате; вероятность попадания стрелка в квадрат $[0,3/4]\times [0,3/4]$; вероятность попадания в отрезок $[1/2,3/4]$ по оси $y$. Пусть Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}} --- вероятностная мера на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{R}^2,\mathcal{B}(\mathbb{R}^2))} , определенная равенством Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}={\sf P}_1\times{\sf P}_2} , где Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}_1} --- экспоненциальное распределение с параметром $\lambda _{1}>0$, Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}_2} --- пуассоновское распределение с параметром Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_2>0} . Найдите Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(\{(x,y):\,\,x+y\leq 1\})} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(\{(x,y):\,\,x/y\geq 2\})} . Если $|\xi |$ является ${\mathcal {F}}$--измеримой, то верно ли, что $\xi$ также ${\mathcal {F}}$--измерима? Пусть $\xi ,\eta$ --- две случайные величины, заданные на $(\Omega ,{\mathcal {F}})$. Пусть, кроме того, $A\in {\mathcal {F}}$. Докажите, что функция $\zeta (\omega )=\xi (\omega )I(\omega \in A)+\eta (\omega )I(\omega \in {\overline {A}})$ также является случайной величиной. Пусть $\xi ,\eta$ --- две случайные величины, заданные на $(\Omega ,{\mathcal {F}})$. Докажите, что $\{\xi =\eta \}\in {\mathcal {F}}$ (по определению $\{\xi =\eta \}=\{\omega :\,\,\xi (\omega )=\eta (\omega )\}$). Случайная величина $\xi$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Найдите плотности распределения случайных величин Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi^k} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in\mathbb{N}} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\lambda}\ln\xi} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\xi\}} , где $\{\cdot \}$ --- дробная доля, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-e^{-\alpha\xi}} . Случайная величина $\xi$ имеет стандартное распределение Коши. Найдите плотности распределения случайных величин Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\xi^2}{1+\xi^2}} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{1+\xi^2}} , ${\frac {2\xi }{1-\xi ^{2}}}$, ${\frac {1}{\xi }}$. Случайная величина Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} равномерно распределена на интервале Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty<a<b<\infty} . Найдите плотность распределения случайной величины $\xi ^{2}$. Плотность распределения случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна ${\frac {1}{\pi ^{2}/4}}I(x^{2}+y^{2}<1,x>0,y>0)$. Найдите плотности случайных величин Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi,\eta,\xi+\eta} . Вебграфом Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} называется ориентированный граф, вершины которого Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,\ldots,N} соответствуют страницам в Интернете, а ребра --- ссылкам. Один из самых известных факторов поиска называется PageRank. %Он основывается на модели поведения пользователя, %которая называется случайным блужданием. Идея PageRank основывается на следующей модели поведения пользователя. В каждый момент времени $n\in \mathbb {N}$ пользователь либо переходит по ссылке с вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.85} (равновероятно по каждой ссылке), либо выбирает произвольную страницу с вероятностью $0.15$ (равновероятно каждую страницу). %По %всем ссылкам пользователь переходит равновероятно (т.е. с %вероятностью Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/M} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} --- количество исходящих с текущей %страницы ссылок), случайную страницу также выбирает равновероятно %(т.е. с вероятностью $1/N$). В момент времени $n=0$ пользователь выбирает каждую страницу с вероятностью $1/N$. Пусть $\xi _{1}$ --- номер страницы, на которой пользователь оказался в момент времени $1$, $\xi _{2}$ --- в момент времени Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} . Если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} --- ориентированный простой цикл или полный граф с петлями, то придумайте вероятностное пространство и задайте на нем случайный вектор Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\xi_1,\xi_2)} . Найдите его распределение. Пусть $\xi$ --- случайная величина с непрерывной функцией распределения $F$. Каково распределение случайной величины Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(\xi)} ? Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ --- бесконечная схема Бернулли, причем Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf P}(\xi_i = 1) = {\sf P}(\xi_i=0)=1/2} для любого $i\in \mathbb {N}$. Придумайте вероятностное пространство с заданными на нем случайными величинами Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_1,\xi_2,\ldots} и функцию $f:\mathbb {R} ^{\infty }\rightarrow \mathbb {R}$ такую, что Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(f(\xi_1,\xi_2,\ldots)=1)=1/3} .
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Пусть $R_{n}=\{1,2,\ldots ,n\}$. Случайная величина Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} равна количеству элементов Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_n} , остающихся на своих местах при случайной перестановке. Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf E}\xi} и Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf D}\xi} . Случайная величина Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} имеет пуассоновское распределение с параметром Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} . Найдите Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf E}\xi,{\sf D}\xi} . Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} --- номер веб-страницы, выбранный пользователем случайно из выдачи, в которой показано $M$ страниц (все страницы пользователь выбирает равновероятно). Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf E}\xi} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf D}\xi} . Экипаж космического корабля, состоящий из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} космонавтов, отправился на освоение планет. Космонавты случайно высаживаются на $m$ планетах. Случайная величина $\xi$ равна количеству планет, на которые никто не высадился при таком случайном размещении. Найдите Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf E}\xi} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf D}\xi} , если (а) планеты неразличимы, (b) планеты различимы. Рассматривается модель случайного графа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(n,p)} . Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf E}X} , если $X$ --- количество треугольников (циклов длины 3) в случайном графе; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} --- количество циклов длины Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} в случайном графе; $X$ --- количество клик (подграфов, являющихся полными графами) мощности $k$ в случайном графе. Рассматривается модель случайного графа $G(n,p)$. Найдите Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf D}X} , если $X$ --- количество треугольников (циклов длины 3) в случайном графе; $X$ --- количество клик (подграфов, являющихся полными графами) мощности $k$ в случайном графе. Пользователь 10 раз вводил поисковый запрос. Считается, что интервалы времени между $i$-ым и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i+1} -ым запросом равны Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_i} минут, $i\in \{0,\ldots ,9\}$, где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_0,\ldots,\xi_9} --- независимые случайные величины, распределенные экспоненциально с параметром 1. Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} --- количество запросов, введенных в течение первых 5 минут. Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sf E}X} и Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf D}X} . Дана случайная величина Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} . Найдите математическое ожидание и дисперсию Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} , если она имеет биномиальное распределение с параметрами $(n,p)$; геометрическое распределение с параметром Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} (т.е. Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf P}(\xi=k)=p(1-p)^{k-1}} , $k=1,2,\ldots$); нормальное распределение с параметрами Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,\sigma^2)} ; равномерное распределение на отрезке Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} ; гамма-распределение с параметрами $(\alpha ,\lambda )$; бета-распределение с параметрами Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\alpha,\beta)} . Случайная величина Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} имеет стандартное нормальное распределение. Вычислите Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf E}\xi^k} и Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf E}\vert\xi\vert^k} для $k\in {\mathbb {N} }$. Вычислить те же характеристики, если $\xi \sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. В случайном графе Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(n,p)} при определенных условиях число вхождений фиксированного подграфа имеет распределение, близкое к пуассоновскому. При доказательстве этого факта вычисляют факториальные моменты случайных величин (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -ым факториальным моментом случайной величины Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} называется Failed to parse (unknown function "\sf"): {\displaystyle {\sf E}\xi(\xi-1)\ldots(\xi-k+1)} ). Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi\sim \Pois(\lambda)} . Найдите $k$-ый факториальный момент случайной величины Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} .

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности. Свойства вероятности при таком определении. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Геометрические вероятности и их свойства. Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече. Задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе. Порядковые статистики. Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова. Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность аспределения. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой. Понятие о сингулярном распределении. Теорема Лебега о разложении произвольной функции распределения (б/д). Распределение функций от случайных величин.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания. Математическое ожидание функции от случайной величины. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания. Моменты. Дисперсия. Вычисление моментов для распределений из п. 7. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Классическое (комбинаторное) определение вероятности. Свойства вероятности при таком определении.
2. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности. 3. Геометрические вероятности и их свойства.
4. Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече. 5. Задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана. 6. Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.
7. Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий.
8. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. 9. Закон больших чисел для схемы Бернулли.
10. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
11.Понятие о случайном блуждании и случайном графе. Порядковые статистики.
12.Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
13. Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.
14. Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
15. Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.
16. Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства.
17. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность распределения.
18. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение.
19. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.
20. Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой.
21. Понятие о сингулярном распределении. Теорема Лебега о разложении произвольной функции распределения (б/д).
22. Распределение функций от случайных величин.
23. Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания.
24.Математическое ожидание функции от случайной величины.
25. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.
26. Моменты. Дисперсия. Вычисление моментов для распределений из п. 7.
27. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

1. Основы теории вероятностей: учебное пособие / Жуковский М. Е., Родионов И. В. - МФТИ - 2015 - 82 с.

2. Райгородский, А. М. Комбинаторика и теория вероятностей: Учебное пособие/А.М.Райгородский - Долгопрудный: Интеллект, 2013. - 104 с.

3. Вероятность [Текст] : в 2 т. Т. 1 : Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы : учебник для вузов / А. Н. Ширяев .— 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Изд-во МЦНМО, 2007, 2011 .— 552 с.

4. Курс теории вероятностей [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. П. Чистяков .— 7-е изд., испр. — М : Дрофа, 2007 .— 253 с.

Дополнительная литература

1. Задачи по теории вероятностей [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. Н. Ширяев .— М. : МЦНМО, 2006 .— 416 с.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Информационно – коммуникационная технология, Педагогика сотрудничества, Традиционные технологии, Модульная технология