BSc: MathematicalAnalysis II

«Математический анализ» (второй семестр)

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): О.М.Киселев

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области математического анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины рассматриваются пределы функций нескольких переменных, частные производные и многомерные интегралы, а также элементы теории векторных полей.

Здесь наряду со стандартными разделами, необходимыми для курса математического анализа, важное внимание уделяется методам оптимизации, от задач оптимизации с ограничениями, приводящих к функции Лагранжа, до построения регрессий методом наименьших квадратов и различных вариантов методов спуска.

Важную роль в предлагаемом курсе занимает исследование дифференцируемых многообразий, геометрии касательных подпространств. Кроме того в курсе уделяется существенное внимание приложениям анализа – преобразованию Фурье и преобразованию Радона. Рассматривается дискретное преобразование Фурье, которое является важным для дисциплин, изучаемых на старших курсах. .

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является обучение студентов методам исследования свойств функций многих переменных. В частности, пределов и частных производных, дифференцируемых многообразий, многомерных интегралов и теории векторных полей.

Задачами дисциплины являются приобретение студентами навыков исследования естественнонаучных задач методами математического анализа. А именно, применение теоретических знаний в приложениях математического анализа в частности, для анализа кривых, (траекторий) в пространстве, приемов интегрирования для исследования геометрических свойств физических тел, понятия градиента для методов оптимизации, теории аппроксимации степенными рядами и рядами Фурье.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: после прохождения курса у студентов должны быть сформированы систематические знания теории пределов функций нескольких переменных, свойств частных производных, свойств дифференцируемых многообразий, методов оптимизации, многомерных интегралов и теории векторных полей.

Умения: сформированы умения сформированы умения вычисления пределов и частных производных функций нескольких переменных, применения частных производных для построения крат дифференцируемых многообразий, поиска минимумов функций с заданными ограничениями, вычисления многомерных интегралов с помощью формул Грина и Остроградского -Гаусса.

Навыки (владения): в результате прохождения курса формируются навыки формализации задач естественных наук в задачи, исследуемых с помощью методов математического анализа нескольких вещественных вещественной переменных. Студенты должны научиться использовать градиенты функций в алгоритмах минимизации, использовать степенные и тригонометрические ряды и оценивать остатки при использовании частичных сумм таких рядов. После окончания курса у студентов должны быть получены навыки использования систем (библиотек) компьютерной алгебры, применяемых для исследования задач математического анализа.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Ряды.	Сумма бесконечного ряда. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда. Степенные ряды и ряды Фурье.
2.	Многомерный анализ.	Предел функций нескольких переменных. Частные производные. Производная сложной функции. Градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций многих переменных. Экстремальные задачи на многообразиях и функция Лагранжа.
3.	Кратные интегралы.	Двойной интеграл и повторный интеграл. Двойной интеграл по криволинейной поверхности. Интегралы в полярных координатах, подстановки в двойных интегралах. Интегралы в цилиндрических и сферических координатах Применение двойных и тройных интегралов.
4.	Векторный анализ.	Криволинейные интегралы. Полные дифференциалы. Теорема Грина. Теорема о циркуляции и теорема Стокса. Теорема о потоке и дивергенции.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Числовые ряды	Найти сумму ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }\left(f_{n}-f_{n+1}\right)$ Найти сумму ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$ Найти сумму ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}}$ Найти сумму геометрической прогрессии: $S=1+q+q^{2}+q^{3}+\dots +q^{n}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}.$ Исследовать сходимость ряда $S_{1}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k\log(k)}}$ Исследовать сходимость ряда $S_{2}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k\log ^{2}(k)}}$ Исследовать сходимость ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n^{3}+3n}}.$ Исследовать сходимость ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+3}{n^{3}+3n}}.$ Пусть$\{x_{n}\}$ -- член последовательности Фибоначчи: $x_{0}=0,\,x_{1}=1$ и $x_{n+1}=x_{n-1}+x_{n},\,n>1$, доказать, что ряд $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}}}$ сходится. Определить сходимость ряда, используя интегральный признак сходимости $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{2}}}$ Определить сходимость ряда, используя интегральный признак сходимости $\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}e^{-n}.$ Определить тип сходимости ряда:$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.$ Изменить порядок суммирования так, чтобы сумма ряда $S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ равнялась: $1.{\tilde {S}}=1;\qquad$$2.{\tilde {S}}=-1;\qquad$ $3.{\tilde {S}}=0$. Определить тип сходимости ряда:$S=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}{\frac {1}{(2n+1)!}};$, Определить тип сходимости ряда:$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}$ Возьмем интервал $[0,1]$. Удалим четверть интервала из центральной части: $(3/8,5/8)$. В результате получим множество $[0,3/8]\cup [5/8,1]$. Затем удалим четвертые часть из центральных частей полученных интервалов. В результате получим $[0,5/32]\cup [7/32,3/8]\cup [5/8,25/32]\cup [27/32,1].$ Повторяя такой процесс неограниченное число раз получим «жирное» канторово множество. Определить общую длину удалённых частей. Найти суммарную длину множества рациональных чисел на интервале $[0,1]$. Определить сходимость или расходимость ряда: Определить сходимость или расходимость ряда:$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n}{\log ^{n}(n)}};$ Определить сходимость или расходимость ряда:$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n!)^{n}}{(n^{n})^{2}}};$ Определить сходимость или расходимость ряда:$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {3n}{2n+2}}\right)^{n};$ Определить сходимость или расходимость ряда:$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{\log(n)}};$ Определить сходимость или расходимость ряда:$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\log \left({\frac {2+(-1)^{n}}{2-(-1)^{n}}}\right).$ Определить сходимость или расходимость ряда, используя признак Даламбера: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}\,n!}{(2n-1)!!}}$, где $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot$ ... $\cdot (2n-1)$. Определить сходимость или расходимость ряда, используя признак Даламбера: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{2n}\,(n!)^{4}}{(3n)!\,(n+1)!}}$ Оценить остаток для частичной суммы ряда $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}};$ Оценить остаток для частичной суммы ряда $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}{\frac {1}{(2n+1)!}};$ Оценить остаток для частичной суммы ряда $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n\log(n)}}.$ $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n\log ^{2}(n)}}.$ Используя признак сходимости Коши, исследовать сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n+1}{2n+5}}\right)^{n}$ Используя признак сходимости Коши, исследовать сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4{\sqrt {n}}+1}{2n+5}}\right)^{n}.$
2.	Степенные ряды	Указать интервал сходимости ряда: $F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}.$ Указать интервал сходимости ряда: $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}$ Указать интервал сходимости ряда: $H(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.$ Указать интервал сходимости ряда: $P(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ Указать интервал сходимости ряда: $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{(2n+1)}}{(2n+1)!}}.$ Используя метод сравнения исследовать сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n}}\left({\frac {2}{5}}\right)^{n}$ Для степенного ряда $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{3^{n}(n^{2}+1)}}$ 1. Определить радиус сходимости. $R$, 2. Определить интервал сходимости$I$. Используя метод сравнения исследовать сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n)}{n{\sqrt {n}}}}$, Для степенного ряда $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-2)^{n}}{n^{2}+1}}$ 1. Определить радиус сходимости. $R$, 2. Определить интервал сходимости$I$. Получить формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x,y)=e^{x}\cos(y)$ в окрестности точки$(0,0).$ Получить формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x,y)=(x+y)^{2}\sin(y)$ в окрестности точки $(1,0).$ Получить формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x,y)=(x-2y+3)^{2}+(y-2x+1)^{2}$ в окрестности точки $(1,1).$ Получить формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x,y)=e^{x}\ln(1+y)$ в окрестности начало координат. Получить формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x,y)=e^{x}\sin(y)$ в окрестности точки $(1,\pi /2)$. Построить степенной ряд для интеграла и исследовать сходимость полученного ряда $\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt.$ Построить степенной ряд для интеграла и исследовать сходимость полученного ряда $\int _{0}^{x}\sin(t^{2})dt.$ Построить степенной ряд для интеграла и исследовать сходимость полученного ряда $\int _{1}^{x}{\frac {e^{-t}}{t}}dt.$ Построить степенной ряд для интеграла и исследовать сходимость полученного ряда $\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{1+t}}dt,\,\,x>0.$ Вычислить коэффициенты степенного ряда: $f(x)={\frac {1}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}.$ Вычислить коэффициенты степенного ряда:$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}.$ Вычислить коэффициенты степенного ряда:$f(x)={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}}.$ Построить стенной ряд для решения дифференциального уравнения и указать интервал сходимости ${\frac {du}{dt}}=tu.$ Построить стенной ряд для решения дифференциального уравнения и указать интервал сходимости ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\omega ^{2}u.$ Построить стенной ряд для решения дифференциального уравнения и указать интервал сходимости ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=tu.$ Построить стенной ряд для решения дифференциального уравнения $y'+2y=0,\quad {\text{в виде}}\quad y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ Построить стенной ряд для решения дифференциального уравнения $y'-2xy=0,\quad {\text{в виде спенного ряда}}\quad y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
3.	Ряды Фурье	Разложите функцию в ряд по косинусам или синусам $f(x)=\left\{{\begin{array}{c}-\cos(x),\,x\in [-\pi ,0);\\\cos(x),\,x\in [0,\pi ).\end{array}}\right.$ Разложите функцию в ряд по косинусам или синусам $f(x)=\left\{{\begin{array}{c}-\sin(x),\,x\in [-\pi ,0);\\\sin(x),\,x\in [0,\pi ).\end{array}}\right.$ Построить ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ на интервале $x\in [-1,1)$. Докажите утверждение: если $f(x)=-f(-x)$, на интервале $x\in [-\pi ,\pi )$, тогда ряд Фурье этой функции содержит только синусы. Докажите утверждение: если $f(x)=f(-x)$, на интервале $x\in [-\pi ,\pi )$, тогда ряд Фурье для такой функции содержит только косинусы. Построить ряд Фурье для функции $f(t)=\pi ^{2}-t^{2}$ на интервале $I=\left(-\pi ,\pi \right]$ Построить ряд Фурье для функции $f(t)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}t(4\pi -t)$ на интервале $I=\left[0,2\pi \right)$ Построить ряд Фурье для функции: $f(x)=\left\{{\begin{array}{c}1,\,x\in [0,\pi );\\0,\,x\in [\pi ,2\pi ).\end{array}}\right.$ Построить ряд Фурье для функции:$f(x)=(x-\pi ),\,\,x\in [0,2\pi ).$ Построить ряд Фурье для функции$f(x)=x^{2},\,\,x\in [-\pi ,\pi ).$ Найти сумму ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}.$ Используя ряд Фурье для функции $f(x)=x^{2},\,\,x\in [-\pi ,\pi )$ найти сумму ряда $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$
4.	Пределы функций нескольких переменных.	Найти предел функции, если он существует. $\lim _{x_{2}\to 0}\lim _{x_{1}^{2}\to 0}{\frac {x_{1}}{\sin(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}},$, Найти предел функции, если он существует. $\lim _{x_{1}\to 0}\lim _{x_{2}\to 0}{\frac {x_{1}^{2}}{\sin(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}.$, Найти предел функции, если он существует. $\lim _{||X||\to 0}{\frac {x_{1}^{2}}{\sin(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}.$, Найти предел функции, если он существует. $\lim _{||X||\to 0}{\frac {x_{1}^{3}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}.$
5.	Частные производные	Найти частные производные ${\frac {\partial }{\partial x}},\,\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,\,f(x,y)=\sin(xy^{2}).$ Найти частные производные ${\frac {\partial }{\partial x}},\,\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,\,f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},$ Найти частные производные ${\frac {\partial }{\partial x}},\,\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,\,f(x,y)=\cos \left({\frac {x}{y}}\right).$ Найти частные производные ${\frac {\partial }{\partial x}},\,\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,\,f(x,y)={\sqrt {1+x^{2}-y^{2}}}.$ Найти градиент функции $f(x,y)=\log(1+x^{2}+y^{2})$ в точке $(1,2)$. Найти градиент функции $f(x,y,z)=3x^{2}-4y^{3}+\sin(zy)$ в точке $(1,2,\pi )$., Найти градиент функции $f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}\sin(2\pi (x+y))$ в точке $(1,-3).$, Найти приближенное значение функции $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ at в точке $(9.3,12.5).$, Период колебаний груза, подвешенного на пружинке, масса которого известна с погрешностью: $0.1\pm 0.01$ кг, измерен с помощью часов с погрешностью $T=0.2\pm 0.01$с. Найдите погрешность определения коэффициента упругости пружинки $k$, если период колебаний определяется по формуле $T=2\pi {\sqrt {m/k}}.$. Найти производную функции $f(x,y)=\log(1+x^{2}+y^{2})$ в точке $()1,2)$ в направлении вектора ${\vec {a}}=(-2,1)$. Найти производную функции $f(x,y,z)=3x^{2}-4y^{3}+\sin(zy)$ в точке $(1,2,\pi )$ в направлении вектора ${\vec {a}}=(1,-1,2).$ Найти производную функции $f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}\sin(2\pi (x+y))$ в точке $(1,-3)$ в направлении вектора ${\vec {a}}=(2,-1).$
6.	Касательная плоскость и точки экстремума	Получить уравнение касательной плоскости поверхности $f=x^{2}-y^{3}$ в точке $A=(3,1,8).$, Получить уравнение касательной плоскости поверхности $z-4x^{2}-9y^{2}=0$ в точке $A=(1,1,13).$, Найти экстремальную точку функции $f=4x^{2}+2yx+2$. Определить тип экстремальной точки. Найти экстремальную точку функции $f=x^{3}-{\frac {2}{3}}y^{3}+2xy.$ . Определить тип экстремальной точки. Найти точки экстремумов функции $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy+1$ и классифицировать эти точки. Найти точки экстремумов функции $f(x,y)=x^{3}y-3xy^{3}+8y$ и классифицировать эти точки.
7.	Метод наименьших квадратов и линейные регрессии.	Получить формулу прямой, аппроксимирующей последовательность точек $(0,1),(1,2),(2,3),(4,7)$., Определить формулу параболы $y=x^{2}+bx+c$, аппроксимирующей набор точек $(0,1),(1,2),(2,3),(-1,-3)$., Получить формулу прямой, аппроксимирующей последовательность точек ${\begin{array}{cccccc}x&1&3&5&7&10&12\\\hline y&4&5&6&5&8&7\end{array}}$, Получить формулу прямой, аппроксимирующей последовательность точек ${\begin{array}{cccccc}x&5&10&15&20&25&30\\\hline y&16&25&32&33&38&36\end{array}}$
8.	Дифференцируемые многообразия и особенности отображений	Построить атлас многообразия $x^{2}+y^{2}-1=0.$ Построить атлас многообразия$z^{2}=x^{2}+y^{2}.$ Построить атлас многообразия $x^{2}+4y^{2}+9z^{2}=1.$ Вычислить якобиан отображения $y_{1}=x_{1}^{2},\,\,y_{2}=x_{2}.$ Вычислить якобиан отображения $y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\,\,y_{2}=x_{2}.$ Вычислить якобиан отображения $x=r\cos(\phi ),\,\,y=r^{2}\sin(\phi ).$ Вычислить якобиан отображения $u=x,\,\,v={\frac {x}{y}}.$ Получить формулу Тейлора второго порядка для дифференцируемого многообразия в окрестности заданной точки $2x_{1}^{3}+(x_{2}-x_{3}+1)^{2}-(x_{3}-1)(x_{2}+1)=0.$, $x_{1}=-1,\,x_{2}=0,\,x_{3}=0.$ Получить формулу Тейлора второго порядка для дифференцируемого многообразия $x_{1}^{2}+x_{2}^{3}-x_{3}+{\frac {1}{x_{4}+1}}=0,\,\,x_{1}-x_{2}+x_{3}^{2}=0$ в окрестности точки$x_{1}=0,\,\,x_{2}=0,x_{3},0,x_{4}=-2.$
9.	Экстремальные задачи на многообразиях и функция Лагранжа	Найти минимум и максимум функции $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$ на эллипсе ${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}=1$. Найти минимум функции $f(x,y)=4x-y+5$ на окружности $x^{2}+y^{2}=9$. Найти минимальное расстояние от точки $(-1,1,0)$ до плоскости $z=x-2y+4$. Найти минимум функции $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ на пересечении $x^{2}+y^{2}=1$ и $x+y+z=1$. Найти минимум функции $f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ на пересечении $x+y+z+w=10$ и $x-y+z+3w=6$.
10.	Кратные интегралы	Найти площадь множества ${\mathcal {D}}:\,x\geq 0,\,x\leq y,\,y\leq 2$. Найти площадь множества ${\mathcal {D}}:\,x\geq 0,\,x\leq y,\,y\leq 2$. Найти площадь множества ${\mathcal {D}}:\,y=x^{2},\,y=x+2$. Найти площадь множества${\mathcal {D}}:\,4x^{2}+y^{2}=4$, Вычислить интеграл $I=\int _{0}^{3}\int _{0}^{2}(x^{2}+y)dxdy$ Вычислить интеграл $I=\int _{0}^{3}\int _{0}^{2}(x^{2}+y)dxdy$ Найти площадь на плоскости $z=2x+3y-2$, при $0<x<2,\,\,0<y<3$. Вывести формулу для площади поверхности эллипсоида ${\frac {1}{4}}x^{2}+4y^{2}+z^{2}=1$. Вычислить тройной интеграл $\iiint _{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dV,$ где $V$ -- параллелепипед, определенный неравенствами:$0\leq x\leq 1,\,\,0\leq y\leq 2,\,\,0\leq z\leq 3$ Пусть $D$ область определенная $0\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 1-x$, и $0\leq z\leq 1-x-y$.Вычислить тройной интеграл по этой области от функции $f(x,y,z)=xyz$. Вычислить двойной интеграл от $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ по области, ограниченной окружностью $x^{2}+y^{2}=4$. Вычислить тройной интеграл: $\iiint _{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dV,$ где $V$ -- внутренность цилиндра $x^{2}+y^{2}=1$ между плоскостями $z=0$ и $z=2$ Вычислить интеграл $\iiint _{x^{2}+y^{2}+z^{2}<4}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dx\,dy\,dz.$ Переписать интеграл после замены переменных $\int _{0}^{1}\int _{y}^{3-2y}(x+y)e^{x-y}dxdy$ $u=x+y,\,\,v=x-y\,\,x={\frac {u+v}{2}},\,\,y={\frac {u-v}{2}}.$ Вычислить интеграл $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-y}\int _{y}^{1-x+y}(xe^{x+y-z})dz\,dx\,dy$ Вычислить двойной интеграл $e^{-x^{2}-y^{2}}$ на плоскости $xy$-plane:$\iint _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy$ Вычислить двойной интеграл от $1/(x^{2}+y^{2})$ по области вне единичного круга с центром в начале координат:$\iint _{x^{2}+y^{2}>1}{\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}dxdy$ Вычислить двойной интеграл от $1/(1+x^{2}+y^{2})$ по области над прямой $y=0$: $\iint _{D}{\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}}}dA,$ Указать область значений параметра k для интеграла от $e^{-x-y}$ по области $y=|k\cdot x|$: $\iint _{D}e^{-x-y}dxdy,$ при $k>0$ для которых интеграл существует. Определить значения параметра $k$ для которых сходится интеграл $\iint _{\mathbb {R} ^{2}}1/(1+x^{2}+y^{2})^{k}.$ Определить положительные значения $k>0$, для которых существует интеграл$\iint _{\mathcal {D}}{\frac {1}{(1-x^{2}+y^{2})^{k}}}dx\,dy.$ при ${\mathcal {D}}:\,x^{2}+y^{2}<1.$ Вычислить интеграл $\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)^{2}}}dx\,dy\,\,dz.$ Вычислить интеграл: $\iiiint _{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}-1}}}dx\,dy\,dz.$ Вычислить интеграл $\iiiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)^{2}}}dx\,dy\,dz.$ Вычислить интеграл $\iiiint _{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}-1}}}dx$
11.	Векторный анализ	Найти интеграл $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ вдоль кривой $C$ на сегменте кривой от $(0,0)$ до $(1,1)$. Найти интеграл от скалярного поля $f(x,y)=y^{2}$ вдоль сегмента циклоиды $C$, заданного параметрически: $x=a(t-\sin t),\quad y=a(1-\cos t),$ где $a$ -- радиус образующей окружности Найдите центр масс тонкой проволоки на сегменте окружности $C$ радиуса $r$ с центром в начале координат от точки $(r,0)$ до точки $(-r,0)$, с равномерной линейной плотностью $\lambda$. Найти интеграл от векторного поля ${\vec {F}}(x,y)=\langle x+y,2x\rangle$ вдоль прямоугольника $R$ с вершинами t $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$, $(0,1))$, при движении против часовой стрелки. Найти интеграл векторного поля ${\vec {F}}(x,y)=\langle y,x\rangle$ вдоль дуги параболы $C$: $y=x^{2}$ от $(0,0)$ до $(1,1)$, Найти интеграл векторного поля ${\vec {F}}(x,y)=\langle y,x\rangle$ вдоль дуги окружности $C$ радиуса $r$ с центром в начале координат от точки $(r,0)$ до точки $(0,r)$ при движении против часовой стрелки. Используя формулу Грина вычислить интеграл: $\oint _{C}(x^{2}+y^{2})\,dx-xy\,dy$ где $C$ -- граница области в плоскости $xy$, ограниченной эллипсом: ${\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1.$ Используя формулу Грина вычислить интеграл: $\int _{C}(-x^{2}y)\,dx+(xy^{2})\,dy$ где $C$ -- граница единичной окружности с центром в начале координат. Найти дивергенцию векторного поля $\mathbf {F} (x,y,z)=(y^{2},xz,yz)$. Найти ротор векторного поля $\mathbf {F} (x,y,z)=(y^{2}-z^{2},x^{2}-z^{2},x^{2}-y^{2})$. Выяснить потенциально ли векторное поле $yz{\vec {\mathbf {i} }}+xz{\vec {\mathbf {j} }}+xy{\vec {\mathbf {k} }}$. Найти дивергенцию и ротор векторного поля вращающегося тела с угловой скоростью ${\boldsymbol {\omega }}=\omega {\vec {\mathbf {k} }}$ (где ${\vec {\mathbf {k} }}$ -- единичный вектор вдоль оси $z$. Пусть $S$ -- часть плоскости $z=x+y$, которая лежит над квадратом $0\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 1$. Пусть $\mathbf {F} (x,y,z)=(x^{2},y^{2},z^{2})$ -- векторное поле. Вычислите поверхностный интеграл $\iint _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$ где $\cdot$ означает скалярное произведение, и $d\mathbf {S}$ -- бесконечно малый элемент поверхности. Пусть $S$ -- часть цилиндра $x^{2}+y^{2}=1$, которая лежит между плоскостями $z=0$ и $z=2$. Пусть $\mathbf {F} (x,y,z)=(x,y,z)$ -- векторное поле. Посчитайте поверхностный интеграл $\iint _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} .$ Пусть $\mathbf {F} (x,y,z)=x{\vec {\mathbf {i} }}+y{\vec {\mathbf {j} }}+z{\vec {\mathbf {k} }}$ -- векторное поле и пусть $S$ -- поверхность единичной сферы с центром в начале координат. Вычислите поверхностный интеграл:$\iint _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Пределы последовательностей и функций. Отношения порядка и непрерывные функции.	Устный опрос, Домашние работы, Письменный тест	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Тестирование (письменное или компьютерное): 1. Две задачи из разделов «Числовые ряды» которые могут быть исследованы с помощью признаков Даламбера и Коши. 2. Две задачи из раздела «знакопеременные ряды», для решения первой может быть использован признак Лейбница, для второй — теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов Коллоквиум	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: 1. Степенные ряды для исследования на сходимость рядов и почленно продифференцированных рядов. 2. Задачи разложении в ряд Тейлора элементарных функций и комбинаций элементарных функций. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье для гладких периодических функций. 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 5. Вычисление коэффициентов рядов Фурье разрывных функций.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: предел функции двух переменных; частные производные и производные по направлению; Геометрический смысл частных производных и дифференцируемые многообразия; экстремальные точки и условия максима или минимума; Задачи минимизации на многообразиях — функция Ланранжа.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит четыре задачи из раздела: Криволинейные интегралы и двумерные интегралы и формула Грина; двумерные и трехмерные интегралы и формула Остроградского-Гаусса; вычисление дивергенции и вычисление ротора для заданных векторных полей.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Числовые ряды, абсолютно сходящиеся ряды, условно сходящиеся ряды.	1. Определение сходящегося ряда. Определение ряда, сходящегося абсолютно. Определение ряда, сходящегося условно. 2. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости. Геометрический ряд и его использование как мажорирующего ряда. 3. Перестановка порядка суммирования в условно сходящемся ряду и приведение его суммы к заранее заданному числу.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	1. Определение интервала сходимости степенного ряда. 2. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 4. Гладкость функций и асимптотические свойства коэффициентов Фурье.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных	1. Условие существования предела функции нескольких переменных. 2. Условие перестановки пределов функции нескольких переменных. 3. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость. 4. Дифференцируемое многообразие, карта, атлас. 5. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. 6. Алгоритм определения экстремума функции нескольких переменных на многообразии.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ.	1. Определение и примеры вычисления криволинейных интегралов первого и второго рода. 2. Вывод и примеры использования формулы Грина. 3. Вывод и примеры использования формулы Остроградского-Гаусса. 4. Определения ротора и дивергенции векторного поля.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Определения абсолютной и условной сходимости ряда и чем они отличаются? Можете ли вы привести пример ряда, который является условно сходящимся, но не абсолютно сходящимся?
2. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости.
3. Геометрический ряд и его использование как мажорирующего ряда.
4. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
5. Перестановка порядка суммирования в условно сходящемся ряду и приведение его суммы к заранее заданному числу.
6. Что такое степенной ряд и как определяется его радиус сходимости? Можете ли вы привести пример степенного ряда и его радиуса сходимости?
7. Что такое дифференциальное уравнение и как построить степенной ряд для заданного дифференциального уравнения.
8. Что такое ряд Фурье и как он используется для аппроксимации периодических функций? Можете ли вы привести пример периодической функции и ее ряда Фурье?
9. Привести и обосновать формулы для рядов Фурье четных и нечетных функций. Привести примеры.
10. Что такое дифференцируемое многообразие и каково его касательное пространство? Можете ли вы привести пример дифференцируемого многообразия и его касательного пространства?
11. Что такое градиент функции и как он используется для решения задач оптимизации? Можете ли вы привести пример того, как найти градиент функции и использовать его для решения задачи оптимизации?
12. Что такое метод множителя Лагранжа и как он используется для нахождения экстремумов функции на многообразиях? Можете ли вы привести пример того, как использовать этот метод для решения задачи оптимизации?
13. Определение двойного интеграла. Суммы Дарбу. Теорема о мере границы.
14. Свойства двойных интегралов. Теорема о среднем значении. Примеры.
15. Приложения двойного интеграла. Объем, фильтры, масса плоской фигуры, центр масс плоской фигуры. Примеры.
16. Теорема Фубини, доказательство. Примеры.
17. Геометрический смысл двойных интегралов. Вектор нормали для поверхности. Примеры.
18. Критерии Дарбу для существования меры для данного трехмерного тела. Примеры.
19. Изменение переменных в двойных интегралах. Якобиан. Полярные координаты в качестве примера.
20. Изменение переменных в тройных интегралах. Якобиан. Примеры.
21. Сферические координаты и использование сферических координат для вычисления тройных интегралов. Примеры.
22. Преобразование Фурье. Определение. Набросок доказательства. Примеры.
23. Свойства преобразования Фурье. Гладкие функции и асимптотическое поведение образа Фурье.
24. Вычисление двойных интегралов и оценка погрешности.
25. Плоская кривая. Касательный вектор, вектор нормали, кривизна, длина кривой. Примеры.
26. Кривая в трехмерном пространстве. Бинормаль, плоскость соприкосновения, кручение. Пример.
27. Криволинейный интеграл. Работа потенциальной силы вдоль заданной траектории. Центр масс заданной кривой.
28. Определение скалярного поля и векторного поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Примеры.
29. Формы представления криволинейного интеграла. Примеры использования.
30. Теорема Гирина. Вывод формулы Грина. Следствие теоремы Грина для кругового интеграла градиента.
31. Двумерные многообразия. Ориентированные и неориентированные многообразия. Примеры. Локальные карты и атлас. Примеры
32. Интеграл по поверхности для векторного поля. Различные формы поверхностных интегралов, такие как интеграл по проекциям и интегралы по локальной системе координат. Примеры.
33. Формула Остроградского-Гаусса. Доказательство формулы. Физическая интерпретация формулы. Примеры.
34. Ротор и дивергенция как предел циркуляции потока и обтекания поверхности для данного объема. Теорема о расходимости ротора.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:
1. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 703 с. — ISBN 978-5-9916-1807-6.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т1. Издательство Лань, 2023, --444 с. -- ISBN 978-5-8114-7583-4, 978-5-8114-5337-5
3. Зорич В.А. Математический анализ, Часть 1, Издательство МЦНМО, 2019, --564 с. --ISBN 978-5-4439-4029-8.
4. Демидович Б. П. . Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов Издательство АСТ, 2005. 558 с.

Список дополнительной литературы:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1. Издательство Интеграл-Пресс, 2002, --416 с. --ISBN 5-89602-012-0
2. Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, Издательство Диалектика, 2023, --824 c. --ISBN 9785521805532
3. Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как, интерактивные лекции, поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение -- мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять изученные концепции. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy, что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты, которые требуют применения полученных компетенций в реальных сценариях. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами изученных концепций. Важный элемент курса -- смешанное обучение -- сочетание традиционное очное обучение с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание изученного материала учащимися.