BSc: DifferentialAndPartialDifferentialEquations

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

Б1.О.14 Дифференциальные уравнения

Направление подготовки	09.03.01 Информатика и вычислительная техника
Квалификация выпускника	бакалавр
Направленность (профиль) образовательной программы	Математические основы искусственного интеллекта
Язык обучения	русский
Год набора	2025

Форма обучения	Семестр	Трудоемкость дисциплины в		Контактная работа		Контроль, час.	Самостоятельная работа, час.	Форма промежуточной аттестации (экз./диф. зач./зач.)
				Лекции, час.	Семинарские (практические) занятия, час.
		зачетных единицах	академических часах
очная	1	4	144	60	30	36	18	экзамен

Разделы рабочей программы:

1. Краткая характеристика дисциплины (модуля).
2. Перечень планируемых результатов обучения.
3. Место дисциплины (модуля) в структуре основной профессиональной образовательной программы высшего образования (ОПОП ВО).
4. Объем, структура и содержание дисциплины (модуля).
5. Учебно-методическое обеспечение.
6. Материально-техническое обеспечение.
7. Оценочные и методические материалы.
8. Дополнительные сведения.

Программа составлена в соответствии с требованиями ОПОП ВО Университета Иннополис по данному направлению подготовки.

Программу разработал:

Доцент Центра образовательных программ топ-уровня в сфере искусственного интеллекта

Конюхов И.В.

1. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

Изучение дисциплины (модуля) «Дифференциальные уравнения» (ДУ) обеспечивает формирование и развитие естественнонаучных и общеинженерных знаний, методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования в профессиональной деятельности, способностей применять современную теоретическую математику для разработки новых алгоритмов и формулирования перспективных задач ИИ, классических алгоритмов машинного обучения с пониманием их математических основ и областей применения, современных архитектур генеративных глубоких сетей, а также применения языка программирования Python для решения задач в области ИИ.

В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают фундаментальные вопросы теории дифференциальных уравнений, а также темы, относящиеся к применению современных, основанных на технологиях искусственного интеллекта, методов решения прикладных задач,.

Для успешного освоения дисциплины студент должен обладать знаниями математического анализа, линейной алгебры, основ теории вероятностей и математической статистики, а именно обладать навыками дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, понимать ряды Тейлора и Фурье, частные производной и градиенты, знать операции с матрицами и векторами, уметь находить собственные значения и собственные векторы, решать системы линейных уравнений, понимать, что такое случайные величины, математическое ожидание, дисперсия, нормальное распределение, владеть языком Python на базовом уровне.

2. ПЕРЕЧЕНЬ ПЛАНИРУЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ

Целью освоения дисциплины (модуля) является формирование у будущих специалистов в области искусственного интеллекта и машинного обучения целостное представление о дифференциальных уравнениях как о фундаментальном инструменте для моделирования динамических, эволюционирующих во времени процессов и систем, а также дать практические навыки применения классического и современного аппарата ДУ для анализа, построения и улучшения алгоритмов МО.

Задачами освоения дисциплины являются формирование:

Знаний основных классов дифференциальных уравнений и методов их аналитического решения, математических основ теории устойчивости Ляпунова и ее значения для анализа сходимости алгоритмов и стабильности динамических систем, методов приближенного решения дифференциальных уравнений, а также современные парадигм, связывающих дифференциальные уравнения и машинное обучение;

Умений формализовывать прикладные задачи из различных областей науки и техники в терминах дифференциальных уравнений, проводить качественный анализ систем ДУ: строить фазовые портреты, определять точки равновесия, исследовать их устойчивость, реализовывать на языке Python численные методы решения детерминированных и стохастических ДУ, применять преобразование Лапласа для анализа и решения линейных ДУ.

Навыков: перевода задачи из предметной области на язык дифференциальных уравнений, выбора адекватного математического аппарата (аналитический, численный, стохастический) для решения поставленной задачи, анализа не только результата работы модели, но и динамики процесса ее обучения и поведения, используя аппарат теории устойчивости, написания современных научных статей на стыке машинного обучения и дифференциальных уравнений.

Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) при проведении учебных занятий в форме контактной работы обучающихся с педагогическими работниками Университета и в форме самостоятельной работы обучающихся:

№ п/п	Код компетенции	Наименование компетенции	Индикаторы компетенций	Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
1.	ОПК-1	Способен применять естественнонаучные и общеинженерные знания, методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования в профессиональной деятельности	ОПК-1.1 Применяет методы теоретического и экспериментального исследования, а также моделирования объектов и явлений различной природы, включая социальные, физические и биологические системы. ОПК-1.2 Знает основы высшей математики (математический анализ, линейная алгебра, дискретная математика, теория вероятностей и статистика, численные методы, методы оптимизации), основы информатики (теория алгоритмов, теория информации, формальные модели), основы программирования. Решает стандартные профессиональные задачи с использованием естественнонаучных и инженерных знаний, методов математического анализа и моделирования.	Метод дискуссии; Метод контрольных вопросов; Информационно – коммуникационная технология; Технология проблемного обучения
2.	ПК-1	Способен применять современную теоретическую математику для разработки новых алгоритмов и формулирования перспективных задач ИИ; современные методы оптимизации для обучения моделей машинного обучения, настройки гиперпараметров и решения задач искусственного интеллекта; статистические методы для анализа данных, валидации моделей машинного обучения и проведения экспериментов в области ИИ.	ПК - 1.1 Обосновывает выбор и адаптацию методов современной математики для анализа и проектирования структур искусственных нейронных сетей, описания динамики сложных систем, а также для исследования их сходимости, устойчивости и управляемости. Применяет продвинутый математический аппарат для работы в бесконечномерных пространствах, характерных для данных сложной природы, моделирования эволюции систем во времени, динамики обучения нейросетей и распространения сигналов, анализа надежности и робастности ИИ-систем, решения задач обработки изображений и анализа частотных характеристик, оптимизации представления данных и проектирования эффективных алгоритмов, анализа пропускной способности, сжатия данных и оценки сложности моделей ИИ.. Рассматривает и адаптирует концепции квантовых вычислений как потенциальную основу для принципиально новых вычислительных моделей и алгоритмов ИИ. Разрабатывает и исследует комплексные математические модели, синтезируя новые, основанные на применении технологий искусственного интеллекта, методы решения задач в различных прикладных областях. Создает модели искусственных нейронных сетей, учитывающие аспекты устойчивости и управляемости. ПК - 1.2 Обосновывает способы применения методов и моделей искусственного интеллекта, включая их модификацию и адаптацию к специфике задачи. Применяет аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории информации для формулирования и анализа задач ИИ и исследования методов машинного обучения; методы оптимизации для разработки и настройки алгоритмов, включая grid search, random search и байесовскую оптимизацию; статистические методы для построения предсказательных моделей, анализа и прогнозирования временных рядов, моделирования нестационарных процессов, оценки качества моделей (метрики для регрессии, классификации, кластеризации) и проведения статистических тестов для сравнения моделей.	Метод дискуссии; Метод контрольных вопросов; Информационно – коммуникационная технология; Технология проблемного обучения
4.	ПК-4	Способен применять и (или) разрабатывать архитектуры глубоких нейронных сетей; современные архитектуры генеративных глубоких сетей; алгоритмы, методы и технологии компьютерного зрения; алгоритмы, методы и технологии обработки естественного языка.	ПК-4.1. Объясняет и применяет математические основы нейронных сетей, включая расчет градиентов, методы оптимизации и алгоритм обратного распространения ошибки, для эффективного обучения моделей; современные архитектуры глубоких сетей для решения различных задач, понимая их внутреннюю структуру и особенности обучения; известные архитектуры генеративных глубоких нейронных сетей для решения прикладной задачи (генерация текста, генерация изображений по тексту, синтез речи и т.д.), при необходимости проводя дообучение на наборах данных. Разрабатывает и оптимизирует специализированные архитектуры для работы с изображениями, учитывая их уникальные свойства. Разрабатывает, адаптирует и внедряет генеративные нейронные сети для решения практических задач, трансформерные архитектуры для решения задач обработки последовательностей, включая создание новых моделей, оптимизацию обучения и промышленное развертывание моделей. Имплементирует известные архитектуры генеративных сетей, реализует пайплайны их обучения на датасетах и вывод генеративных моделей в продуктивную среду, алгоритмы, архитектуры и модели компьютерного зрения на реальных данных, строит пайплайны обучения моделей и развертывания сервисов компьютерного зрения в продуктивной среде. ПК-4.2. Применяет оптимизаторы к функции потерь для избежания проблемных ситуаций на ландшафте функции потерь (например, овраги, седловые точки и т.п.); визуализирует ландшафт функции потерь; внедряет пакетную нормализацию в архитектуру нейронной сети; применяет для обучения нейронных сетей методы оптимизации второго порядка; разрабатывает байесовские нейронные сети и применяет вариационный вывод для их обучения. Регулирует поток вычисления градиента в глубоких нейронных сетях. Понимает математические основы прямой и обратной диффузии и способен управлять ими. Предлагает решения для фундаментальных проблем генерации. Знает математические основы представления поверхностей, диффузионные модели для генерации изображений и видео.	Метод дискуссии; Метод контрольных вопросов; Информационно – коммуникационная технология; Технология проблемного обучения
5.	ПК-5	Способен применять язык программирования Python и С/С++ для решения задач в области ИИ.	ПК-5.1. Разрабатывает и отлаживает прикладные и многопоточные решения разной сложности и для разного круга конечных пользователей с использованием языка программирования Python, C++ , тестирует, испытывает и оценивает качество таких решений. Осуществляет выбор инструментов разработки на Python, приемлемых для создания прикладной системы обработки научных данных, машинного обучения и визуализации с заданными требованиями. ПК-5.2. Использует особенности виртуальной машины Python, разрабатывает библиотечный код общего пользования, а также документацию к нему. Профилирует и оптимизирует приложения на Python, используя встроенные инструменты; знает и применяет библиотеки машинного обучения, в том числе глубокого обучения, такие как scikit-learn, PyTorch и TensorFlow, оптимизирует код с использованием библиотек для научных вычислений.	Метод дискуссии; Метод контрольных вопросов; Информационно – коммуникационная технология; Технология проблемного обучения

3. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (ОПОП ВО)

Данная учебная дисциплина (модуль) включена в «Блок 1. Дисциплины (модули)» образовательной программы по направлению подготовки 09.03.01 Информатика и вычислительная техника, направленность (профиль) образовательной программы «Математические основы искусственного интеллекта» и относится к обязательной части программы, обеспечивает формирование общепрофессиональных и профессиональных компетенций. Дисциплина (модуль) «Дифференциальные уравнения» позволяет обучающимся получить знания, умения и навыки для успешной профессиональной деятельности в области программного обеспечения компьютерных вычислительных систем и сетей, автоматизированных систем обработки информации и управления. Дисциплина осваивается студентами при обучении в очной форме на 2 курсе в 1 семестре.

4. ОБЪЕМ, СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

Объем дисциплины (модуля) составляет:

4 зачетные единицы, 144 академических часа, объем контактной работы — 90 академических часов.

Структура дисциплины (модуля):

№ раздела	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Трудоемкость, академические часы
		Очная форма
		Контактная работа		Контроль, час.	Самостоятельная работа, час.
		Лекции, час.	Семинарские (практические) занятия, час.
1.	Введение в ДУ. Уравнения 1-го порядка.	8	4	0	2
2.	Уравнения высших порядков.	8	4	0	2
3.	Системы ОДУ.	8	4	0	2
4.	Устойчивость нелинейных систем.	8	4	0	2
5.	Приближенные методы решения ДУ: численные методы и нейро дифференциальные уравнения.	8	4	0	2
6.	Решение ДУ с помощью степенных рядов.	6	3	0	2
7.	Преобразование Лапласа. Введение в теорию управления.	6	3	0	2
8.	Введение в стохастические дифференциальные уравнения.	8	4	0	4
	Промежуточная аттестация - экзамен			36
ИТОГО:		60	30	36	18

Содержание дисциплины (модуля):

№ раздела	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Содержание дисциплины (модуля) по темам	Формируемые компетенции
#	Введение в ДУ. Уравнения 1-го порядка.	Формулировка задач физики, химии, экономики, социологии в терминах дифференциальных уравнений. Связь с методами оптимизации и основами машинного обучения. Основные понятия (порядок, решение, общее/частное решение, задача Коши). Разделяющиеся переменные. Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли. Другие типы уравнений первого порядка (опционально)	ОПК-1, ПК-1
	Уравнения высших порядков.	Моделирование сложных физических процессов, приводящее в уравнениям высших порядков. Приложения в робототехнике (например, трекинг объектов). Линейные ОДУ n-го порядка. Общее решение однородных и неоднородных уравнений. Метод неопределенных коэффициентов и вариации произвольных постоянных.	ОПК-1, ПК-1
	Системы ОДУ.	Классическая модель “хищник-жертва” и ее интерпретации. Рекуррентнее нейронные сети и проблема “исчезающих” и “взрывающихся” градиентов. Линейные системы ОДУ. Матричная запись. Собственные значения и собственные векторы. Решение систем с постоянными коэффициентами. Фазовые портреты.	ОПК-1, ПК-1, ПК-4
	Устойчивость нелинейных систем.	Понятие устойчивости по Ляпунову. Линеаризация нелинейных систем. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Понятие функции Ляпунова. Связь функции Ляпунова с функцией потерь. Анализ сходимости оптимизации, устойчивость обученных моделей, GAN как динамическая система двух агентов .	ОПК-1, ПК-1, ПК-4
	Приближенные методы решения ДУ: численные методы и нейро дифференциальные уравнения.	Классические методы Эйлера, Рунге-Кутты, Адамса. Анализ устойчивости и погрешности. Нейронные сети как универсальные аппроксиматоры. Нейро-дифференциальные уравнения. Алгоритм обратного распространения. Анализ погрешности.	ОПК-1, ПК-1, ПК-4, ПК-5
6.	Решение ДУ с помощью степенных рядов.	Решение линейных ОДУ с переменными коэффициентами с помощью рядов. Особые точки.	ОПК-1, ПК-1
7.	Преобразование Лапласа. Введение в теорию управления.	Определение и свойства преобразования Лапласа. Решение линейных ОДУ и систем с помощью преобразования Лапласа. Передаточная функция. Понятие о частотной характеристике. Основы теории управления: обратная связь, ПИД-регулятор. ИИ-версия ПИД-регулятора.	ОПК-1, ПК-1, ПК-4, ПК-5
8.	Введение в стохастические дифференциальные уравнения.	Винеровский процесс. Стохастический интеграл Ито. Формула Ито. Решение линейных СДУ. Метод Эйлера-Маруямы для численного решения. Введение в байесовские методы глубокого обучения и диффузионные модели.	ОПК-1, ПК-1, ПК-4, ПК-5

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Университет Иннополис обеспечен необходимым комплектом лицензионного и свободно распространяемого программного обеспечения, в том числе отечественного производства.

Каждый обучающийся в течение всего периода обучения обеспечен индивидуальным неограниченным доступом к электронно-библиотечной системе (электронной библиотеке) и к электронной информационно-образовательной среде Университета (https://my.university.innopolis.ru). Электронно-библиотечная система и электронная информационно-образовательная среда обеспечивают возможность доступа, обучающегося из любой точки, в которой имеется доступ к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (далее — сеть «Интернет»), как на территории Университета, так и вне его.

Также обучающимся обеспечен доступ (удаленный доступ) к современным профессиональным базам данных и информационным справочным системам.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины (модуля):

Основная литература:

1. Н. Х. Ибрагимов, - Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования, Н. Н., 2007.
2. Егоров, А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями : учебное пособие / А. И. Егоров. — 2-е изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 448 с. — ISBN 978-5-9221-0785-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59460.
3. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. — М.: Наука, 2000. — 176 с..
4. Стохастические дифференциальные уравнения: Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. – Перевод с 5-го испр., англ. изд. – М. : Мир, 2003. – 408 с. – (Лучший зарубежный учебник). – ISBN 5-03-003477-3.

Дополнительная литература:

1. William F. Trench. Elementary Differential Equations. Brooks/Cole-Thomson Learning, 2001. ISBN 9780534263287. URL
   

http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_FREE_DIFFEQ_I.PDF

1. Chasnov Jeffrey R. Introduction to Differential Equations, Lecture notes. The Hong Kong University of Science and Technology, 2009.
   

URL https://www.math.ust.hk/$\sim$machas/differential-equations.pdf

1. Paul Selick. Differential Equations I, Lecture notes. University of Toronto, 2011. URL http://www.math.toronto.edu/selick/B44.pdf

A* статьи:

1. M. Raissi, P. Perdikaris, G.E. Karniadakis. Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear Partial Differential Equations. Journal of Computational Physics, 2019.
   

DOI:10.1016/j.jcp.2018.10.045

1. L. Lu, P. Jin, G. Pang, Z. Zhang, G.E. Karniadakis. Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators. Nature Machine Intelligence, 2021.
   

DOI:10.1038/s42256-021-00302-5

1. R. T. Q. Chen, Y. Rubanova, J. Bettencourt, D. Duvenaud. Neural Ordinary Differential Equations. Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS), 2018.
   

arXiv:1806.07366

1. J. Spielberg, A. Gopaluni, R. Loewen. Deep reinforcement learning for process control: A primer for beginners. Journal of Process Control, 2021.
   

DOI:10.1016/j.jprocont.2021.06.001

1. X. Li, T. K. Wong, R. T. Q. Chen, D. Duvenaud. Scalable Gradients for Stochastic Differential Equations. International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), 2020.
   

arXiv:2001.01328

Дистанционная поддержка дисциплины (модуля)

Для дистанционной поддержки дисциплины используется система управления образовательным контентом Moodle, развернутая на портале АНО ВО «Университет Иннополис». Во время обучения все студенты получают индивидуальные пароли для входа в систему, в которой размещаются: программа курса, контрольные вопросы, задания, темы лекций с презентационными материалами и т. д.

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Университет располагает материально-технической базой, соответствующей действующим противопожарным правилам и нормам и обеспечивающей проведение всех видов дисциплинарной и междисциплинарной подготовки, практической и научно-исследовательской работ обучающихся, предусмотренных учебным планом.
2. Помещения, которые представляют собой учебные аудитории для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского (практического) типа, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, а также помещения для самостоятельной работы и помещения для хранения и профилактического обслуживания учебного оборудования. Помещения укомплектованы специализированной мебелью и техническими средствами обучения, служащими для представления учебной информации большой аудитории.

Изучение дисциплины обеспечивается в учебных аудиториях, оснащенных:

- столами и стульями;

- компьютерной техникой;

- специализированным оборудованием, включая демонстрационное оборудование.

Перечень материально-технического оснащения учебных аудиторий конкретизируется приказом директора или уполномоченного им лица ежегодно и размещается на официальном сайте Университета в информационно-коммуникационной сети «Интернет» в подразделе «Материально-техническое обеспечение и оснащенность образовательного процесса. Доступная среда» раздела «Сведения об образовательной организации» по ссылке: https://innopolis.university/sveden/objects.

3. Для проведения занятий лекционного и семинарского (практического) типа предлагаются наборы демонстрационного оборудования и учебно-наглядных пособий, обеспечивающие тематические иллюстрации, соответствующие программе дисциплины (модуля).

4. Лаборатории Университета оснащены лабораторным и специализированным оборудованием.

5. Помещения для самостоятельной работы обучающихся, в том числе приспособленные для использования инвалидами и лицами с ограниченными возможностями здоровья, оснащены компьютерной техникой с возможностью подключения к сети «Интернет» и обеспечением доступа к в электронную информационно-образовательную среду Университета.

6. Обучающимся предоставляется доступ (в том числе удаленный) к ресурсам информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», электронным ресурсам (в том числе электронным библиотечным системам, современным профессиональным базам данных и информационным справочным системам):

№	Ссылка на информационный ресурс	Наименование разработки в электронной форме	Доступность
Электронно-библиотечные системы:
#	http://www.iprbookshop.ru	Русскоязычная ЭБС на платформе «IPR Smart». Учебники и учебные пособия для университетов издательства «IPRbooks». Учебники и учебные пособия для лиц с ОВЗ	Индивидуальный неограниченный доступ
	http://e.lanbook.com	Русскоязычная ЭБС на платформе «Лань». Учебники и учебные пособия для университетов издательства «Лань». Учебники и учебные пособия для лиц с ОВЗ	Индивидуальный неограниченный доступ
Профессиональные базы данных:
	http://search.ebscohost.com	Платформа EBSCOHost. Доступ к англоязычным полнотекстовым книгам	Индивидуальный неограниченный доступ
	https://portal.university.innopolis.ru/reading_hall	Электронный каталог научно-технической библиотеки АНО ВО «Университет Иннополис»	Для студентов, зарегистрированных в системе
	https://habr.com	База данных для IT-специалистов	Доступ свободный
	https://www.sciencedirect.com	База данных ScienceDirect	Доступ свободный
	https://elibrary.ru	Научная электронная библиотека	Доступ свободный
	https://link.springer.com	Полнотекстовая англоязычная БД Springer	Доступ из локальной сети УИ. Для удаленного доступа требуется регистрация из локальной сети УИ
	https://ar.cnki.net	База Данных Academic Reference. База данных полнотекстовых англоязычных ресурсов по всем академическим дисциплинам, опубликованных в Китае	Доступ из локальной сети УИ
	https://www.ams.org/journals	База данных англоязычных полнотекстовых журналов AMS Journals (2017–2022 гг.)	Доступ из локальной сети УИ
	https://www.dl.begellhouse.com/collections/6764f0021c05bd10.html	База данных англоязычных полнотекстовых журналов Begell	Доступ из локальной сети УИ
	https://saemobilus.sae.org/	База данных англоязычных полнотекстовых журналов SAE International SAE eJournals eBooks	Доступ из локальной сети УИ
	https://www.worldscientific.com	База данных англоязычных полнотекстовых журналов WorldScientific 2001–2022 гг.	Доступ из локальной сети УИ
	https://pubs.aip.org/	AIPP Ebook Collections – полнотекстовые коллекции книг издательства American Institute of Physics Publishing в области прикладной и химической физики, биологии, энергетики, оптики, фотоники, материаловедения и нанотехнологий и др.	Доступ из локальной сети УИ
	https://ufn.ru/	Автономная некоммерческая организация Редакция журнала "Успехи физических наук". Электронный журнал на русском языке.	Доступ из локальной сети УИ
	https://sk.sagepub.com/books/discipline	SAGE Publications Ltd eBook Collections. Англоязычная База данных полнотекстовых электронных книг	Доступ из локальной сети УИ
	https://onlinelibrary.wiley.com/	The Wiley Journals Database Англоязычная База данных полнотекстовых электронных журналов	Доступ из локальной сети УИ
	https://www.mathnet.ru/	Полнотекстовая коллекция русскоязычных электронных математических журналов	Доступ из локальной сети УИ
	https://quantum-electron.lebedev.ru/arhiv/	Электронная версия журнала «Квантовая электроника»	Доступ из локальной сети УИ
	http://journals.rcsi.science/	Полнотекстовая коллекция журналов Российской академии наук включает 140 наименований журналов, охватывающих различные научные специальности.	Доступ из локальной сети УИ
	https://www.orbit.com/	База данных патентного поиска, объединяющая информацию о более чем 122 миллионах патентных публикаций, полученную из 120 международных патентных ведомств, включая РосПатент, Всемирную организацию интеллектуальной собственности (ВОИС), Европейскую патентную организацию.	Доступ из локальной сети УИ
Информационные справочные системы:
	https://minobrnauki.gov.ru/	Официальный сайт Министерства науки и высшего образования Российской Федерации	Доступ свободный
	https://www.edu.ru/	Федеральный портал «Российское образование»	Доступ свободный
	https://www.consultant.ru/	«КонсультантПлюс»: справочно-правовая система	Доступ из локальной сети УИ

7. Университет Иннополис обеспечен необходимым комплектом лицензионного и свободно распространяемого программного обеспечения, в том числе отечественного производства, в который входят:

Наименование ПО	Производство	Лицензионное / свободно распространяемое
Операционные системы:
Microsoft Imagine (Windows Client, Server)	зарубежное	лицензионное
Astra Linux	отечественное	лицензионное
Браузеры:
Яндекс.Браузер	отечественное	свободно распространяемое
Google Chrome	зарубежное	свободно распространяемое
Офисные приложения:
Microsoft Imagine (Visio, OneNote)	зарубежное	лицензионное
LibreOffice	зарубежное	свободно распространяемое
TeXstudio	зарубежное	свободно распространяемое
Adobe Acrobat Reader	зарубежное	свободно распространяемое
Программное обеспечение для планирования и учета времени:
Toggle app	зарубежное	свободно распространяемое
Системы управления проектами:
Microsoft Imagine (Project)	зарубежное	лицензионное
Системы управления базами данных:
Microsoft Imagine (SQL Server)	зарубежное	лицензионное
Системы управления бизнес-процессами:
1С-Битрикс	отечественное	лицензионное
Системы управления содержимым:
Microsoft Imagine (SharePoint Server)	зарубежное	свободно распространяемое
Системы резервного копирования (backup):
Acronis Backup Advanced for HyperV	зарубежное	лицензионное
Системы математического и имитационного моделирования:
MATLAB Academic new Product From 5 to 9 Individual Licenses	зарубежное	лицензионное
Системы управления обучением:
Система LMS Moodle	зарубежное	свободно распространяемое
Средства антивирусной защиты:
Kaspersky Endpoint Security для бизнеса Стандартный Russian Edition	отечественное	лицензионное
Среды разработки:
Visual Studio Code	зарубежное	свободно распространяемое
Bash (Unix shell)	зарубежное	свободно распространяемое
Anaconda	зарубежное	свободно распространяемое
Robotic Operating System	зарубежное	свободно распространяемое
CopelliaSim	зарубежное	свободно распространяемое
Google Colab	зарубежное	свободно распространяемое
Пакеты программных средств и библиотек:
OpenCV	зарубежное	свободно распространяемое
AutoPsy	зарубежное	свободно распространяемое
Interactive Disassembler (IDA)	зарубежное	свободно распространяемое
Системы управления библиографической информацией:
Zotero	зарубежное	свободно распространяемое
Сервисы и службы:
Bind	зарубежное	свободно распространяемое
Docker	зарубежное	свободно распространяемое
Конференцсвязь:
Контур. Толк	отечественное	лицензионное
Яндекс Телемост	отечественное	свободно распространяемое
МТС Линк	отечественное	лицензионное
Специализированное программное обеспечение:
КОМПАС-3D	отечественное	лицензионное

7. МЕТОДИЧЕСКИЕ И ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Задания для семинарских (практических) занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Введение в ДУ. Уравнения 1-го порядка.	Решите уравнение: dy/dx = e^(x-y). Найдите частное решение, проходящее через точку (0, ln(2)). Решите задачу Коши: x * y' + 2y = x³, y(1) = 1. Скорость охлаждения процессора пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды (Закон Ньютона). Пусть температура среды равна 25°C. Решите уравнение и найдите, через какое время температура процессора упадет со 100°C до 40°C, если известно, что за первые 5 минут он остыл до 80°C. Решите уравнение: y' + y = x * y³. *Подсказка: проведите замену z = y^(1-3) = y^(-2)`. Градиентный спуск в непрерывном времени можно описать как dw/dt = -∇L(w), где w - параметры модели, L - функция потерь. Пусть L(w) = (w - 5)². Решите это уравнение и найдите закон изменения параметра w(t) с начальным условием w(0)=0. Сравните с дискретным градиентным спуском. Представьте, что новый сервис на основе ИИ привлекает пользователей. Скорость прироста пользователей пропорциональна как их текущему количеству, так и доли оставшегося потенциала рынка (логистическая модель). Пусть максимально возможное число пользователей (емкость рынка) составляет N = 1 000 000 человек. Скорость прироста составляет 10% в месяц. В начальный момент тестовую версию используют 1000 пользователей.Задание: а) Составьте дифференциальное уравнение для числа пользователей P(t). б) Найдите аналитическое решение этого уравнения с заданным начальным условием. в) Определите, через какое время аудитория сервиса достигнет 90% от максимальной. В процессе обучения RL-агента в буфере воспроизведения опыта (replay buffer) накапливаются данные. Скорость поступления новых данных (траекторий) постоянна и равна α = 1000 записей в час. Одновременно происходит процесс "забывания" – удаление устаревших данных для экономии памяти. Скорость удаления пропорциональна текущему объему данных с коэффициентом β = 0.2 1/час. а) Составьте дифференциальное уравнение для объема данных M(t) (в Мб) в буфере. б) Найдите равновесный объем данных (стационарную точку) и определите, является ли он устойчивым. в) Решите уравнение, если в начальный момент времени буфер пуст M(0) = 0. г) Постройте примерный график M(t). В социальной сети алгоритм рекомендует новый виральный контент. Скорость распространения (количество новых просмотров в час) пропорциональна корню квадратному от текущего количества просмотров √V (так как наиболее активные пользователи увидели контент первыми). В начальный момент V(0) = 100. а) Составьте и решите дифференциальное уравнение для V(t). б) Найдите, через сколько часов контент наберет 10 000 просмотров.
2.	Уравнения высших порядков.	Найдите общее решение: y - 6y' + 9y = 0. Решите методом неопределенных коэффициентов: y + 4y = 8x². Решите методом вариации произвольных постоянных: y + y = sec(x). Решите: y' - y' = 0, y(0)=0, y'(0)=1, y(0)=0. Уравнение движения маятника с трением: θ + 2βθ' + ω²θ = 0. Пусть β=0.5, ω=2. Решите уравнение для начальных условий θ(0)=0.1, θ'(0)=0. Определите тип затухания (критическое, перезатухание и т.д.). В некоторых алгоритмах оптимизации (например, с инерцией) траектория параметра может описываться уравнением второго порядка: w + γw' + ∇L(w)=0. Для простейшего случая L(w)=w²/2 уравнение становится линейным: w + γw' + w = 0. Проанализируйте решения для случаев γ=0.5, γ=2, γ=2.1. Как инерция влияет на процесс "оптимизации"?
3.	Системы ОДУ.	Решите систему: x' = x + 2y, y' = 4x + 3y. Постройте фазовый портрет. Для системы из задачи 1 запишите решение в матричном виде с использованием матричной экспоненты. Дана модель Лотки-Вольтерра: dx/dt = x(1 - y), dy/dt = -y(1 - x). а) Найдите все точки равновесия. б) Линеаризуйте систему вокруг ненулевой точки равновесия. в) Найдите собственные значения линеаризованной системы и определите тип этой точки. Рассмотрим скрытый слой h в упрощенной рекуррентной сети: h'(t) = -h(t) + σ(W * h(t) + U * x(t)). Пусть вход x(t)=0, функция активации σ - линейная, а веса W=0.5. Тогда уравнение упрощается до h' = -h + 0.5h = -0.5h. Решите это уравнение с h(0)=1. Проанализируйте, не приводит ли это к проблеме затухающих градиентов. Найдите точки равновесия нелинейной системы: x' = x - y², y' = x - y.
4.	Устойчивость нелинейных систем.	Для системы x' = x - y², y' = x - y линеаризуйте систему вокруг точки равновесия (1, 1). Используя линеаризацию, определите устойчивость точки (1,1) из предыдущей задачи. Для системы x' = -x³ + y, y' = -x - y³ предложите кандидата в функцию Ляпунова V(x, y) = x² + y². Покажите, что производная dV/dt отрицательно определена, и сделайте вывод об устойчивости начала координат. Рассмотрим динамику параметра w при использовании тяжелого шарика: w + γw' + ∇L(w)=0. Для простого случая L(w)=w²/2 система имеет вид: w' = v, v' = -γv - w. Найдите точки равновесия и проанализируйте их устойчивость в зависимости от параметра γ > 0. Покажите, что начало координат для системы x' = x + y³, y' = -y неустойчиво, несмотря на наличие отрицательного собственного значения. Рассмотрим систему: x' = y + x(1 - x² - y²) y' = -x + y(1 - x² - y²) Перейдите к полярным координатам (x = r cosθ, y = r sinθ) и получите уравнения для r' и θ'. Найдите предельный цикл и определите его устойчивость.
5.	Приближенные методы решения ДУ: численные методы и нейро дифференциальные уравнения.	Для уравнения y' = x - y, y(0)=1 вычислите вручную значение y(0.2), используя РК4 с шагом h=0.1. Реализуйте на Python методы Эйлера, Рунге-Кутты 2-го и 4-го порядка для уравнения y' = -2y, y(0)=1 на интервале [0, 2]. Сравните ошибку относительно аналитического решения на последнем шаге для разных шагов h. Рассмотрим задачу регрессии: даны точки t=[0, 1, 2], y=[1, 0.5, 0.25]. Мы подозреваем, что они описываются экспоненциальным decay. Мы хотим обучить Neural ODE dy/dt = -a * y, где a - learnable parameter. Инициализируйте a=0.1. Рассчитайте предсказание модели для t=1 при шаге h=0.5 (два шага Эйлера). Функция потерь - MSE между предсказанием и истинным значением. Рассчитайте градиент dL/da вручную для одного шага обновления. Напишите на PyTorch код для обучения параметра a из предыдущей задачи. Используйте встроенный солвер torchdiffeq.odeint. . Попробуйте аппроксимировать решение y' = x - y, y(0)=1 на [0,1] с помощью нейронной сети с одним скрытым слоом (например, torch.nn.Tanh). Используйте коллокационный метод: минимизируйте сумму квадратов невязки (y'_pred(x_i) - (x_i - y_pred(x_i)))² в нескольких случайных точках x_i из интервала и квадрата ошибки начального условия (y_pred(0) - 1)².
6.	Преобразование Лапласа. Введение в теорию управления.	Найдите преобразование Лапласа для функции: f(t) = t² + 3e^(-2t) * cos(4t). Решите с помощью преобразования Лапласа: y + 3y' + 2y = 0, y(0)=1, y'(0)=0. Для системы, описываемой передаточной функцией H(s) = 1/(s² + 3s + 2), найдите установившееся значение отклика на единичный ступенчатый сигнал (u(t)=1). Передаточная функция ПИД-регулятора: C(s) = K_p + K_i/s + K_d * s. Запишите дифференциальное уравнение, связывающее вход регулятора e(t) и его выход u(t). Рассмотрим систему y' = -a*y + b*u. Мы хотим, чтобы она отслеживала заданное состояние y_d. Предложите простой закон управления u (например, u = k_p * (y_d - y)). Подберите k_p так, чтобы замкнутая система была устойчива. Как можно было бы адаптивно подстраивать параметры a и b, если они неизвестны? Для системы H(s) = 1/(s+1) постройте схематично АЧХ (амплитудно-частотную характеристику). Какой фильтр она напоминает?
7.	Решение ДУ с помощью степенных рядов.	Найдите решение в виде степенного ряда y = Σ a_n x^n для уравнения y' - y = 0. Сравните с известным аналитическим решением. Решите уравнение 2x²y + xy' - y = 0 вблизи точки x=0 (регулярной особой точки). Для найденного в задаче 1 ряда определите радиус сходимости, используя формулу Даламбера. Почему метод степенных рядов неприменим для уравнения y + (1/x)y' + y = 0 в окрестности x=0 напрямую? Найдите решение уравнения Бесселя порядка ноль: x²y + xy' + x²y = 0 в виде степенного ряда.
8.	Введение в стохастические дифференциальные уравнения.	Вычислите математическое ожидание и дисперсию приращения винеровского процесса: E[W(t) - W(s)], Var[W(t) - W(s)] для t > s. Вычислите интеграл Ито: ∫₀ᵗ W(s) dW(s). Используя формулу Ито, найдите дифференциал процесса Y(t) = W(t)². Решите линейное СДУ: dX(t) = -μX(t)dt + σdW(t) (процесс Орнштейна-Уленбека). Указание: примените формулу Ито к процессу Y(t)=X(t)e^(μt). Запишите схему Эйлера-Маруямы для СДУ dX(t) = aX(t)dt + bX(t)dW(t) (геометрическое броуновское движение). Прямой процесс диффузии в диффузионных моделях часто задается СДУ: dx = -0.5β(t)x dt + sqrt(β(t)) dW. Для простоты пусть β(t)=β - константа. Решите это СДУ аналитически. Указание: это вариант процесса Орнштейна-Уленбека. Как выглядит распределение x(t) при заданном x(0)?

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине (модулю):

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Введение в ДУ. Уравнения 1-го порядка.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Объясните, как дифференциальное уравнение первого порядка может моделировать процесс обучения нейронной сети (например, градиентный спуск) В чем принципиальная разница между общим и частным решением? Что задает начальное условие в физической или машинной интерпретации? Когда уместно использовать разделение переменных, а когда — линейную замену? Проиллюстрируйте на примерах. Что означает «интегрирующий множитель»? Какую проблему он решает для линейных уравнений? Приведите пример задачи из ИИ (например, из динамики робота или моделирования роста данных), которая естественным образом описывается ДУ с разделяющимися переменными. Что такое особое решение? Можете ли вы привести гипотетический пример в задаче оптимизации, где оно могло бы возникнуть?
2.	Уравнения высших порядков.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Почему решение линейного однородного уравнения n-го порядка представляет собой n-мерное линейное пространство? Как это связано с понятием базиса в линейной алгебре? Объясните принцип суперпозиции. Почему он не работает для нелинейных уравнений? Как метод неопределенных коэффициентов для подбора частного решения использует идею «угадывания»? В чем его ограничения? В чем заключается основная идея метода вариации произвольных постоянных (Лагранжа)? Какая новая функция «варируется»? Как можно свести уравнение высшего порядка к системе уравнений первого порядка? Зачем это делать с вычислительной точки зрения? Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, что представляют собой мнимая и действительная части в решении? (Например, в модели затухающих колебаний).
3.	Системы ОДУ.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Как записать общее решение системы линейных однородных ОДУ с постоянными коэффициентами в матричной форме? Какую роль играют собственные значения и собственные векторы матрицы системы? Объясните, что такое фундаментальная матрица системы и как она связана с понятием операторной экспоненты (матричной экспоненты). В чем геометрическая интерпретация фазового портрета системы? Что такое точка равновесия и фазовая траектория? Как выглядит общее решение, если матрица системы имеет кратные собственные значения? Почему в этом случае возникают полиномиальные компоненты? Приведите пример системы ОДУ из области ИИ (например, описание RNN с двумя слоями или простой динамической системы). Зачем нам нужен метод исключения для решения систем? Когда он может быть предпочтительнее матричного метода?
4.	Устойчивость нелинейных систем.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Дайте определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости точки покоя. Проиллюстрируйте разницу на фазовых портретах. В чем заключается метод линеаризации? Как по собственным значениям матрицы Якоби можно сделать вывод об устойчивости исходной нелинейной системы? Что такое функции Ляпунова? В чем их основное преимущество перед методом линеаризации? Объясните на примере, как понятие устойчивости критически важно для сходимости алгоритмов оптимизации в машинном обучении (например, SGD). Что такое «предельный цикл»? Можете ли вы привести пример из области, смежной с ИИ (нейродинамика, теория колебаний)? Чем точка типа «седло» отличается от узла или фокуса с точки зрения устойчивости?
5.	Приближенные методы решения ДУ: численные методы и нейро дифференциальные уравнения.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	В чем основная идея метода Эйлера? Объясните его геометрическую интерпретацию и главный недостаток. Сравните методы Рунге-Кутты и метод Эйлера. За счет чего первые достигают более высокой точности? Что такое «нейронные дифференциальные уравнения» (Neural ODE)? Какова принципиальная разница в их подходе к решению ДУ по сравнению с классическими численными методами? В чем основное преимущество Neural ODE с точки зрения потребления памяти при обратном распространении ошибки? Когда использование численных методов предпочтительнее поиска аналитического решения? А когда — наоборот? Что такое «жесткие» системы уравнений и почему для них нужны специальные численные методы?
6.	Преобразование Лапласа. Введение в теорию управления.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Как преобразование Лапласа превращает дифференциальное уравнение в алгебраическое? Какую роль играют начальные условия? Объясните, что такое передаточная функция динамической системы. Как она связана с импульсной характеристикой? Как с помощью преобразования Лапласа и теоремы о конечном значении можно проанализировать установившуюся ошибку системы управления? Проведите параллель между блок-схемой системы управления (с обратной связью) и архитектурой нейронной сети с обратным распространением (например, с регуляризацией). Что такое полюса передаточной функции и как они определяют устойчивость и динамику системы? Для решения каких типов ДУ преобразование Лапласа наиболее эффективно?
7.	Решение ДУ с помощью степенных рядов.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	В чем основная идея метода решения ДУ с помощью степенных рядов? Какая функция «угадывается» в качестве решения? Что такое особые точки дифференциального уравнения? Почему решение в окрестности особой точки ищут в обобщенном виде (метод Фробениуса)? Как определяется радиус сходимости полученного степенного ряда? Почему это важно для практических вычислений? В каких случаях, типичных для задач ИИ (например, в анализе сложных нелинейных динамик), метод степенных рядов может быть единственно применимым аналитическим методом? Какая связь существует между методом степенных рядов и представлением функций в скрытых слоях некоторых типов нейронных сетей? Объясните, чем точка обыкновенная отличается от регулярной особой точки.
8.	Введение в стохастические дифференциальные уравнения.	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Чем стохастическое дифференциальное уравнение принципиально отличается от обычного? Что такое винеровский процесс (броуновское движение)? Объясните на интуитивном уровне, что означает стохастический интеграл Ито. Сформулируйте лемму Ито. Для чего она используется? Приведите примеры из машинного обучения и AI, где процессы естественным образом описываются СДУ (например, диффузионные модели, стохастическая оптимизация, финансы для algorithmic trading). Почему решение СДУ является случайным процессом, а не детерминированной функцией? В чем основная сложность численного решения СДУ по сравнению с ОДУ?

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Наименование вопроса
1.	Введение в ДУ. Уравнения 1-го порядка.	Определение ДУ. Порядок. Общее, частное и особое решения. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными: Метод решения. Примеры приложений (модели роста, радиоактивный распад). Однородные уравнения: Определение однородной функции и однородного уравнения. Метод замены. Линейные уравнения первого порядка: Метод решения (интегрирующий множитель). Важность для моделирования линейных систем. Уравнение Бернулли: Приведение к линейному. Пример нелинейности, допускающей аналитическое решение. Уравнения в полных дифференциалах: Критерий полноты. Метод решения. Связь с потенциальными функциями.
2.	Уравнения высших порядков.	Задача Коши для уравнения n-го порядка. Однородные линейные уравнения. Структура общего решения. Принцип суперпозиции. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: Метод характеристического уравнения. Действительные, комплексные и кратные корни. Неоднородные линейные уравнения. Структура общего решения. Метод неопределенных коэффициентов. Подбор частного решения для специальной правой части. Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа): Алгоритм нахождения частного решения для произвольной правой части.
3.	Системы ОДУ.	Нормальная форма системы. Запись системы в матрично-векторной форме. Сведение одного уравнения n-го порядка к системе n уравнений 1-го порядка. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами: Матричная экспонента и ее роль в решении. Метод решения через собственные значения и векторы матрицы системы: Построение фундаментальной системы решений для случаев с действительными различными, комплексными и кратными собственными числами. Фазовый портрет: Геометрическая интерпретация решений для систем 2x2. Точки покоя, фазовые траектории. Неоднородные системы: Метод вариации постоянных для систем.
4.	Устойчивость нелинейных систем.	Понятие устойчивости: Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, неустойчивость. Исследование устойчивости точек покоя: Классификация точек покоя линейных систем 2x2 (узел, фокус, седло, центр). Метод линеаризации: Матрица Якоби. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Прямой метод Ляпунова: Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости. Предельные циклы: Понятие, примеры. Устойчивость алгоритмов оптимизации (градиентный спуск), обучение рекуррентных сетей (RNN).
5.	Приближенные методы решения ДУ: численные методы и нейро дифференциальные уравнения.	Численные методы: Мотивация. Постановка задачи Коши для численного решения. Метод Эйлера: Вывод, геометрическая интерпретация, погрешность. Методы Рунге-Кутты: Идея повышения порядка точности. Наиболее распространенные схемы (РК4). Нейросетевые методы (Neural ODE): Основная идея: представление производной с помощью нейронной сети. Обратное распространение через ODE-солвер. Сравнение подходов: Когда использовать аналитические, классические численные и нейросетевые методы.
6.	Преобразование Лапласа. Введение в теорию управления.	Определение и свойства: Прямое и обратное преобразование Лапласа. Свойства (линейность, теорема о запаздывании, дифференцирование оригинала). Решение линейных ОДУ с постоянными коэффициентами: Алгоритм решения с использованием преобразования Лапласа. Учет начальных условий. Теория управления: Основные понятия (вход, выход, система, обратная связь). Передаточная функция: Определение, связь с дифференциальным уравнением и импульсной характеристикой. Устойчивость: Критерий устойчивости по полюсам передаточной функции. PID-регуляторы. Применение технологий ИИ.
7.	Решение ДУ с помощью степенных рядов.	Метод степенных рядов: Идея решения в виде ряда. Алгоритм разложения. Ряды Тейлора: Решение задач Коши разложением в ряд Тейлора. Обобщенный метод степенных рядов (Фробениуса): Решение в окрестности регулярной особой точки. Определяющее уравнение. Связь с специальными функциями: Примеры (функции Бесселя), их важность в физике и инженерии.
8.	Введение в стохастические дифференциальные уравнения.	Стохастические процессы: Винеровский процесс (броуновское движение). Его основные свойства. Стохастический интеграл Ито: Определение и основные свойства. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ): Определение, запись. Смысл "диффузии" и "сноса". Формула Ито: Аналог цепного правила для стохастического исчисления. Приложения в ИИ: Диффузионные модели генеративного ИИ, стохастическая оптимизация, моделирование финансовых рисков.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

Выберите правильный вариант ответа.

1. Какое из следующих уравнений является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

a) y' + y = x

b) y' = x * y

c) y' = sin(x + y)

d) y + y' = x

2. Каков закон изменения параметра w во времени, если его динамика описывается уравнением непрерывного градиентного спуска для функции потерь L(w) = w²: dw/dt = -∇L(w)?

a) w(t) = w₀ * e^(-t)

b) w(t) = w₀ * e^(-2t)

c) w(t) = w₀ - 2t

d) w(t) = w₀ * cos(2t)

3. Дано уравнение: xy' + y = x². Какой метод наиболее эффективен для его решения?

a) Разделение переменных

b) Метод Бернулли

c) Метод вариации постоянной

d) Замена, приводящая к однородному уравнению

4. Чему равно приближенное значение y(0.2) для уравнения y' = y с условием y(0)=1, полученное методом Эйлера с шагом h=0.1?

a) 1.1

b) 1.2

c) 1.21

d) 1.221

5. Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y - 4y' + 4y = 0?

a) y = (C₁ + C₂x) * e^(2x)

b) y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x)

c) y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

d) y = e^(2x)(C₁cos(2x) + C₂sin(2x))

6. Для моделирования затухающих колебаний в системе управления роботом-манипулятором используется уравнение y + 4y' + 13y = 0. Какой характер имеет решение этого уравнения?

a) Апериодическое затухание

b) Колебательное затухание

c) Неограниченный рост

d) Незатухающие гармонические колебания

7. Каким методом следует решать неоднородное уравнение y + 3y' + 2y = e^(-x)?

a) Метод вариации произвольных постоянных

b) Метод неопределенных коэффициентов

c) Метод понижения порядка

d) Метод Лагранжа

8. Решение задачи Коши для уравнения y - y = 0 с условиями y(0)=0, y'(0)=1 имеет вид:

a) y(x) = sinh(x)

b) y(x) = cosh(x)

c) y(x) = e^x

d) y(x) = e^(-x)

9. Дана система линейных ОДУ: x' = x + 2y, y' = 4x + 3y. Как найти ее общее решение?

a) Методом исключения

b) Сведением к уравнению высшего порядка

c) С помощью нахождения собственных значений и векторов матрицы системы

d) Все перечисленные методы применимы

10. Точка равновесия (0,0) системы x' = -x + y, y' = -x - y является:

a) Устойчивым узлом

b) Неустойчивым узлом

c) Седлом

d) Центром

11. Фазовый портрет системы из вопроса 10 представляет собой:

a) Расходящиеся спирали

b) Сходящиеся спирали

c) Замкнутые эллипсы

d) Прямые линии, сходящиеся к началу координат

12. Упрощенная динамика скрытого состояния в RNN может описываться системой h₁' = -h₁ + 0.5h₂, h₂' = -h₂. Собственные значения матрицы этой системы:

a) λ₁ = -1, λ₂ = -1

b) λ₁ = -1, λ₂ = -0.5

c) λ₁ = -1, λ₂ = 0.5

d) λ₁ = -0.5, λ₂ = 0.5

13. Для анализа устойчивости точки равновесия нелинейной системы в первую очередь используется:

a) Построение фазового портрета

b) Метод функций Ляпунова

c) Линеаризация системы в окрестности этой точки

d) Численное интегрирование системы

14. Функция Ляпунова V(x,y) = x² + y² для системы x' = -x³ + y, y' = -x - y³ является:

a) Знакоопределенной положительной

b) Знакоопределенной отрицательной

c) Знакопеременной

d) Знакопостоянной отрицательной

15. Производная функции Ляпунова V(x,y) = x² + y² по времени для системы из вопроса 14:

a) dV/dt = 2x(-x³+y) + 2y(-x-y³) = -2x⁴ - 2y⁴

b) dV/dt = 2x + 2y

c) dV/dt = (-x³+y) + (-x-y³)

d) dV/dt = 0

16. Какой вывод об устойчивости нулевого положения равновесия можно сделать на основе анализа функции Ляпунова в вопросах 14 и 15?

a) Положение равновесия асимптотически устойчиво

b) Положение равновесия неустойчиво

c) Положение равновесия устойчиво, но не асимптотически

d) Теоремы Ляпунова не применимы

17. Какой численный метод решения ОДУ имеет глобальную погрешность порядка O(h)?

a) Метод Эйлера

b) Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

c) Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

d) Метод Адамса

18. В чем заключается основная идея Neural ODE (Нейросетевых ОДУ)?

a) Использование нейронной сети для аппроксимации решения ДУ в точке

b) Использование нейронной сети для аппроксимации правой части ДУ dy/dt = f(t, y)

c) Использование ДУ для описания процесса обучения нейронной сети

d) Решение ДУ с помощью нейронных сетей коллокационным методом

19. Для уравнения y' = -100y + 100, y(0)=0 с большим параметром (жесткая система) явный метод Эйлера:

a) Будет устойчив при любом шаге

b) Будет неустойчив при слишком большом шаге

c) Всегда даст точное решение

d) Требует только одного шага

20. Преобразование Лапласа используется для решения дифференциальных уравнений, чтобы:

a) Снизить порядок уравнения

b) Преобразовать линейное ДУ в алгебраическое уравнение

c) Сделать нелинейное уравнение линейным

d) Найти численное решение

21. Передаточная функция H(s) = 1/(s+1) описывает:

a) Идеальное усиление

b) Колебательное звено

c) Апериодическое звено (инерционное звено 1-го порядка)

d) Интегрирующее звено

22. Закон управления ПИД-регулятора в терминах преобразования Лапласа имеет вид:

a) U(s) = K_p * E(s)

b) U(s) = (K_p + K_i/s + K_d*s) * E(s)

c) U(s) = K_d * s * E(s)

d) U(s) = E(s) / (K_p + K_i/s)

23. Решение в виде степенного ряда y = Σ a_n x^n наиболее эффективно для решения ДУ:

a) В окрестности обыкновенной точки

b) В окрестности существенно особой точки

c) На всей числовой прямой

d) Для любых нелинейных уравнений

25. Для решения уравнения y + x*y = 0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=0 используется:

a) Метод Фробениуса

b) Стандартное разложение в ряд Тейлора вокруг x=0

c) Метод вариации произвольных постоянных

d) Преобразование Лапласа

26. Уравнение Бесселя x²y + xy' + (x² - ν²)y = 0 решается вокруг регулярной особой точки x=0 с помощью:

a) Ряда Фурье

b) Метода неопределенных коэффициентов

c) Метода Фробениуса

d) Метода Эйлера

27. Радиус сходимости степенного ряда решения ДУ часто определяется:

a) Шагом численного метода

b) Расположением особых точек функции в комплексной плоскости

c) Начальными условиями

d) Порядком уравнения

28. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) в общей форме записывается как:

a) dX_t = a(t, X_t) dt

b) dX_t = a(t, X_t) dt + b(t, X_t) dW_t

c) dX_t = b(t, X_t) dW_t

d) dX_t = a(t, X_t) dW_t

29. Для численного решения СДУ используется:

a) Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

b) Метод Эйле-Маруямы

c) Метод Эйлера

d) Метод Адамса-Башфорта

30. Процесс Орнштейна-Уленбека dX_t = -θ(X_t - μ)dt + σdW_t используется в машинном обучении для моделирования:

a) Детерминированного градиентного спуска

b) Стохастического градиентного спуска с шумом

c) Динамики в диффузионных моделях

d) Скорости обучения

31. Формула Ито для процесса Y_t = f(t, X_t), где X_t - решение СДУ dX_t = a(t, X_t)dt + b(t, X_t)dW_t, имеет вид:

a) dY_t = f_t dt + f_x dX_t

b) dY_t = f_t dt + f_x dX_t + (1/2) f_{xx} b² dt

c) dY_t = f_x dX_t

d) dY_t = f_t dt + (1/2) f_{xx} dt

Критерии оценивания сформированности компетенций

Оценивание уровня учебных достижений, обучающихся по дисциплине (модулю), осуществляется в виде текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации.

В рамках внутренней системы оценки качества образовательной деятельности по программе обучающимся предоставляется возможность оценивания условий, содержания, организации и качества образовательного процесса по данной дисциплине (модулю).

Промежуточная аттестация по дисциплине (модулю) осуществляется в форме экзамена, при этом проводится оценка компетенций, сформированных по дисциплине.

Система оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

Знания, умения и навыки обучающихся при промежуточной аттестации определяются в следующей форме: «отлично» (A), «хорошо» (B), «удовлетворительно» (C), «неудовлетворительно» (D).

Критерии оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)

Результат обучения по дисциплине (модулю)	Общая характеристика результата обучения по дисциплине (модулю)
A «Отлично»	Обучающийся владеет знаниями предмета в полном объеме рабочей программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину; самостоятельно, в логической последовательности и исчерпывающе отвечает на все вопросы, подчеркивая при этом самое существенное, умеет анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, конкретизировать и систематизировать изученный материал, выделять в нем главное: устанавливать причинно-следственные связи; четко формирует ответы, свободно читает результаты анализов и других исследований и решает ситуационные задачи повышенной сложности; хорошо знаком с основной литературой и методами исследования большого объема, необходимым для практической деятельности; увязывает теоретические аспекты предмета с задачами практического значения.
B «Хорошо»	Обучающийся владеет знаниями предмета практически в полном объеме рабочей программы; самостоятельно, в логической последовательности и исчерпывающе отвечает на все вопросы, подчеркивая при этом самое существенное, умеет анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, конкретизировать и систематизировать изученный материал, выделять в нем главное: устанавливать причинно-следственные связи; четко формирует ответы, свободно читает результаты анализов и других исследований и решает ситуационные задачи повышенной сложности; хорошо знаком с основной литературой и методами исследования большого объема, необходимым для практической деятельности; увязывает теоретические аспекты предмета с задачами практического значения.
C «Удовлетворительно»	Обучающийся владеет основным объемом знаний по дисциплине; проявляет затруднения в самостоятельных ответах, оперирует неточными формулировками; в процессе ответов допускаются ошибки по существу вопросов. Студент способен решать лишь наиболее легкие задачи, владеет только обязательным минимумом методов исследований.
D «Неудовлетворительно»	Обучающийся не освоил обязательного минимума знаний предмета, не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Семинарское занятие с ИТ-практикой	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Кроме того, необходимо дополнительно просмотреть дополнительные материалы: видео-лекции, статьи в профессиональных блогах (например, на Habr), документации к технологиям, которые будут использоваться (например, официальная документация Python, Microsoftи т.д.). Если было задано конкретное задание (напр., написать код, спроектировать базу данных, создать макет интерфейса), студент выполняет его заблаговременно. Это позволяет вовремя обнаружить сложности и задать вопросы на семинаре. Также необходимо уточнить, будет ли занятие в компьютерном классе или необходимо брать свой ноутбук. Если необходимо брать свой ноутбук, то нужно проверить, что на устройстве (ноутбуке) обучающегося установлены и корректно работают все необходимые программы такие как, например, среда разработки (IDE), системы управления базами данных, специализированное ПО, компиляторы и интерпретаторы языков программирования. Также хорошо бы проверить работоспособность установленного ПО, например, запустив код или проект с прошлого занятия, чтобы убедиться, что ничего не "сломалось" после обновлений системы. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы, приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы, анализировать различные подходы к решению задач, объяснять алгоритмы, блок-схемы и архитектурные решения. Получив задание от преподавателя (индивидуальное или в группе), студент: пишет код/скрипты в соответствующей IDE, создает запросы к базам данных (SQL), проектирует интерфейсы в графических редакторах (Figma, Adobe XD), строит модели и проводит вычисления в специализированных пакетах, тестирует получившееся решение на ошибки, отлаживает код, используя инструменты отладки среды разработки, использует (если применимо) системы контроля версий (Git), чтобы работать над одним проектом с другими студентами при совместном проектировании решений. Также необходимо продемонстрировать работающий код выполненного проекта преподавателю для получения обратной связи и оценки, а также вносить правки в свою работу на основе комментариев преподавателя.Все написанные коды, созданные файлы проектов, скрипты должны быть сохранены. Также необходимо конспектировать советы преподавателя, лучшие практики, которые не были очевидны до занятия.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Для подготовки к занятиям рекомендуется использовать представленные источники в электронных форматах и дополнительную литературу.

8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Данная программа и/или ее фрагменты не могут быть использованы другими образовательными организациями без соответствующего разрешения АНО ВО «Университет Иннополис».