BSc: MathematicalLogicForAiADV

Математическая логика для ИИ (углубленный курс)

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): Николай Вячеславович Шилов, к.ф.-м.н., доцент Университета Иннополис

1. Краткая характеристика дисциплины

Этот элективный курс предназначен для студентов, изучающих искусственный интеллект информатику и математику, чтобы подготовить для и к работе с формальной семантикой, спецификацией и верификацией систем искусственного интеллекта посредством изучения формальной семантики, спецификаций и верификацией программы. Мы начнем с упрощенного подхода к формальной семантике, основанного на игрушечном языке с эзотерической операционной, денотационной и логической (аксиоматической) семантикой. Затем мы переходим к операционной, денотационной и аксиоматической семантике простого императивного языка программирования. Заканчивается курс реферативной работой студентов с современными статьями по формальной семантике, спецификации и верификации систем искусственного интеллекта.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является подготовка будущих специалистов в области математики и искусственного интеллекта для и к работе с формальной семантикой, спецификацией и верификацией систем искусственного интеллекта посредством изучения формальной семантики, спецификаций и верификацией программы.

Задачами дисциплины являются освоение понятий операционной, денотационной и логической (аксиоматической) семантики программ и систем, а так же знакомство с современным использованием формальной семантики, спецификации и верификации в разработке надежных и безопасных систем искусственного интеллекта.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: по окончанию курса у студентов будут сформированы систематические знания зачем нужна формальная семантика программ и систем, понятие операционного, денотационного и аксиоматического подходов к формальной семантике, как использовать формальную семантику для анализа и формальной верификации программ и систем (в том числе – искусственного интеллекта).

Умения: по окончанию курса студенты будут уметь определить операционную, дотациональную и аксиоматическую семантику для простого языка программирования, формально задавать и верифицировать вручную простые вычислительные программы на простом языке программирования, выделять и формально специфицировать свойства систем искусственного интеллекта.

Навыки (владения): по окончанию курса студенты будут иметь навыки работы и использования формальной семантики для анализа и формальной верификации реальных программ и систем, внедрения формальной семантики, спецификации и верификации в практику разработки систем искусственного интеллекта.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Резюме необходимых знаний по дискретно математике, наивной теории множеств и классической логике.	Обзорные лекции и тест по дискретной математике, наивной теории множеств, логике высказываний. Основы алгебры бинарных отношений, обзор логики предикатов первого порядка, понятие парадигм программирования.
2.	Введение в формальные семантики.	Что такое семантика? Зачем нужна формальная семантика программы? Понятие операционной, денотационной и аксиоматической семантики (на примере эзотерического языка «программирования»).
3.	Формальная семантика простого императивного языка программирования.	Типы данных и их семантика. Основной ингредиент: семантика реализации. Структурная операционная семантика (SOS). Реляционная денотатационная семантика. Аксиоматическая семантика. Элементы дедуктивной верификации программ.
4.	λ-исчисление и классическая денотационная семантика.	Синтаксис, семантика и основные свойства λ-исчисления. Денотационная семантика простого императивного языка программирования.
5.	На пути к спецификации и верификации систем искусственного интеллекта.	Коллоквиум со студенческими рефератами актуальных (5-6) работ по формальной спецификации и верификации систем искусственного интеллекта. .

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Резюме необходимых знаний по дискретно математике, наивной теории множеств и классической логике.	Обзорные лекции и тест по дискретной математике, наивной теории множеств, логике высказываний. Основы алгебры бинарных отношений, основ теории формальных языков, обзор логики предикатов первого порядка, понятие парадигм программирования.
2.	Введение в формальные семантики.	Что такое семантика? Зачем нужна формальная семантика программы? Понятие операционной, денотационной и аксиоматической семантики (на примере эзотерического языка «программирования»).
3.	Формальная семантика простого императивного языка программирования.	Типы данных и их семантика. Основной ингредиент: семантика реализации. Структурная операционная семантика (SOS). Реляционная денотатационная семантика. Аксиоматическая семантика. Элементы дедуктивной верификации программ.
4.	λ-исчисление и классическая денотационная семантика.	Синтаксис, семантика и основные свойства λ-исчисления. Денотационная семантика простого императивного языка программирования.
5.	На пути к спецификации и верификации систем искусственного интеллекта.	Коллоквиум со студенческими рефератами актуальных (5-6) работ по формальной спецификации и верификации систем искусственного интеллекта.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Резюме необходимых знаний по дискретно математике, наивной теории множеств и классической логике.	Проверка домашнего задания с устным опросом.	Пусть A, B и C – конечные множества. Докажите (не используя аксиому множества всех подмножеств), что $(2^{A,B,C})$ – тоже множество. Докажите (не используя аксиому объединения подмножеств), что Failed to parse (syntax error): {\displaystyle (⋃_(X∈{{A,B},{A,C}})▒X)} – тоже множество. Докажите (используя аксиому экстенсиональности) Единственность пустого множества. Единственность множества $({A_{1},\dots A_{n}})$ для каждого явно заданой совокупности множеств $(A_{1},\dots A_{n})$, Докажите (используя аксиому конечного перечисления и объединения множеств) существование объединения двух множеств Failed to parse (syntax error): {\displaystyle (A∪B). } , Докажите (используя аксиому конечного перечисления и объединения множеств) существование пересечения двух множеств Failed to parse (syntax error): {\displaystyle (A∩B).} , Докажите, что для любых множества A и его подмножества B дополнение Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (¬B)={x:x∈A но x∉B }} – тоже множество. Докажите (методом от противного и с использованием аксиомы выделения что так называемое «множество всех множеств» не является множеством (Парадокс Рассела). .
2.	Расходящиеся ряды.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Элементы теории аппроксимации.	Определение суммирования по Чезаро. Привести пример расходящегося ряда, суммируемого по Чезаро. Определение суммирования по Борелю. Привести пример ряда, суммируемого по Борелю, но расходящегося по Чезаро. Дать определение асимптотического ряда. Дать определение калибровочной последовательности.
2.	Расходящиеся ряды.	Определение суммирования по Чезаро. Привести пример расходящегося ряда, суммируемого по Чезаро. Определение суммирования по Борелю. Привести пример ряда, суммируемого по Борелю, но расходящегося по Чезаро. Дать определение асимптотического ряда. Дать определение калибровочной последовательности.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Дать определение фрактальной размерности. Привести примеры многообразий нецелой размерности. Привести примеры отображений, генерирующих многообразия фрактальной размерности. Определение интеграла Дробного порядка и производной дробного порядка.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Плотность множества рациональных чисел и мера множества рациональных чисел на интервале (0,1).
   
2. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными.
   
3. Теорема о существовании трансцендентных чисел. Интерполяционный полином Лагранжа и явление Рунге.
   
4. Аппроксимация функции частичной суммой ряда Фурье. Явление Гиббса.
   
5. Аппроксимация функции заданной в узлах Чебышева.
   
6. Сплайны, дефект сплайна, кривые Безье. Приложения.
   
7. Определение Паде аппроксимации заданного порядка. Построение Паде аппроксимации для произвольной гладкой функции.
   
8. Сходимость Паде аппроксимации.
   
9. Примеры расходящихся рядов.
   
10. Ряды суммируемые по Чезаро.
    
11. Суммирование по Борелю.
    
12. Приложения рядов, суммируемых по Борелю.
    
13. Калибровочная последовательность. Определение, примеры.
    
14. Асимптотические ряды. Определение асимптотического ряда. Свойства асимптотических рядов. Интегрирование и дифференцирование асимптотических рядов.
    
15. Теорема о единственности асимптотического разложения.
    
16. Приложения асимптотических рядов.
    
17. Примеры фракталов.
    
18. Определение хаусдорфовой размерности.
    
19. Примеры отображений, приводящих к фрактальным многообразиям.
    
20. Алгоритм вычисления размерности. Фрактальная производная.
    
21. Определение интеграла дробной размерности.
    
22. Производные дробной размерности. Примеры
    

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

1. А.Б. Шидловский. Трансцендентные числа. Наука, 1987, 448 с.
   
2. Н.Н. Калиткин. Численные методы. Литрес, 2015, 587 с.
   
3. Р. Эдвардс, Ряды Фурье в современном изложении. Мир, 1985, т1, 264 с.
   
4. Дж. Бейкр мл. П. Грейвс-Моррис. Аппроксимации Паде, Москва «Мир»1986, 496 с.
   
5. А.М. Ильин, А.Р. Данилин. Асимптотические методы в анализе. Физматлит, 2009, 248 с.
   
6. Г. Харди, Расходящиеся ряды. Ленанд, 2022, 504 с.
   
7. Морозов А.Д., Введение в теорию фракталов, Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.
   
8. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев Интгералы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.
   

Список дополнительной литературы:

1. Glebov S.G., Kiselev O.M., Tarkhanov N., Nonlinear equations with small parameter. Volume I: Oscillations and resonances De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. 2017, v. 23/1, pp.340.
   
2. Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, 2, Издательство Диалектика, 2023, ISBN 9785521805532
   
3. Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351
   

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как: интерактивные лекции , поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов, живых демонстраций концепций квантовых вычислений или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение – мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять концепции квантовых вычислений в практических ситуациях. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy , что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты , которые требуют применения концепций квантовых вычислений в реальных сценариях или создания новых квантовых алгоритмов. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами концепций квантовых вычислений. Важный элемент курса – смешанное обучение : сочетание традиционного очного обучения с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание учащимися концепций квантовых вычислений.