BSc: IntroductionToTheTheoryOfControllableSystems

Введение в теорию управляемых систем

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): М.В. Хлебников

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области математического анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины рассматриваются пределы функций нескольких переменных, частные производные и многомерные интегралы, а также элементы теории векторных полей.

Здесь наряду со стандартными разделами, необходимыми для курса математического анализа, важное внимание уделяется методам оптимизации, от задач оптимизации с ограничениями, приводящих к функции Лагранжа, до построения регрессий методом наименьших квадратов и различных вариантов методов спуска.

Важную роль в предлагаемом курсе занимает исследование дифференцируемых многообразий, геометрии касательных подпространств. Кроме того в курсе уделяется существенное внимание приложениям анализа – преобразованию Фурье и преобразованию Радона. Рассматривается дискретное преобразование Фурье, которое является важным для дисциплин, изучаемых на старших курсах. .

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является обучение студентов методам исследования свойств функций многих переменных. В частности, пределов и частных производных, дифференцируемых многообразий, многомерных интегралов и теории векторных полей.

Задачами дисциплины являются приобретение студентами навыков исследования естественнонаучных задач методами математического анализа. А именно, применение теоретических знаний в приложениях математического анализа в частности, для анализа кривых, (траекторий) в пространстве, приемов интегрирования для исследования геометрических свойств физических тел, понятия градиента для методов оптимизации, теории аппроксимации степенными рядами и рядами Фурье.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

В результате освоения материала студент должен:

Знать • основные способы задания линейных систем управления;
• основные функциональные пространства сигналов и соответствующие нормы, нормы линейных операторов и передаточных функций;
• типовые передаточные функции и частотные характеристики соответствующих звеньев;
• определения и критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных систем;
• определения устойчивости;
• графические, алгебраические и частотные критерии устойчивости полиномов для непрерывного и дискретного случаев;
• определение и свойства множества достижимости;
• основные виды регуляторов низкого порядка;
• постановку и условия разрешимости задачи модального управления, в том числе при неполных измерениях вектора состояния;
• процедуру построения регулятора по методу квадратичной стабилизации, в том числе при ограничениях на управление;
• постановки и алгоритмы решения задач оптимального управления.
Уметь • осуществлять переход от вида системы, заданной в пространстве состояний, к виду в передаточных функциях, и обратно;
• проводить анализ управляемости и наблюдаемости линейной стационарной системы;
• применять второй метод Ляпунова для исследования устойчивости линейных стационарных систем;
• применять графические, алгебраические и частотные критерии для исследования устойчивости полиномов в непрерывном и дискретном случаях;
• настраивать коэффициенты регуляторов низкого порядка для получения замкнутой устойчивой системы в типовых случаях;
• решать задачу модального управления для линейной стационарной системы с одним входом;
• принципы построения асимптотического наблюдателя состояния полного порядка;
• получать аналитический вид оптимального управления при решении оптимальных задач в различных постановках. Владеть • методами описания линейных систем управления;
• методами исследования устойчивости линейных стационарных систем и полиномов;
• методами синтеза регуляторов низкого порядка;
• методами синтеза модального управления, в том числе при неполных измерениях вектора состояния;
• методом квадратичной стабилизации;
• методами решения задач оптимального управления.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Описание линейных систем. Устойчивость.	Пространство состояний, передаточные функции, операторный подход, одномерные системы. Устойчивость матриц, устойчивость линейных систем, критерии устойчивости полиномов, частотные критерии устойчивости замкнутых систем.
2.	Виды управления. Стабилизация линейных систем.	Программное управление, управляемость, управление по обратной связи, наблюдаемость, частотные методы. Стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка, обратная связь по состоянию, обратная связь по выходу, квадратичная стабилизация.
3.	Методы анализа, синтеза и оценивания линейных систем при воздействии внешних возмущений.	Реакция на типовые возмущения, устойчивость при наличии внешних возмущений. Множества достижимости для устойчивых систем, переходные процессы. Ограниченные внешние возмущения, гармонические и L2-ограниченные возмущения. Подавление ограниченных внешних возмущений, H∞-оптимизация, подавление случайных возмущений. Эллипсоидальное оценивание. Фильтр Калмана.
4.	Робастная устойчивость, стабилизация и управление в линейных системах.	Виды неопределенностей: параметрическая неопределенность, частотная неопределенность, (M, Δ)-конфигурация, нестационарные и нелинейные возмущения. Робастная устойчивость полиномов и матриц. Робастная устойчивость при неопределенных передаточных функциях. Робастная квадратичная стабилизация. Робастный линейно-квадратичный регулятор, H∞-оптимизация в робастной постановке.
5.	Оптимальное управление.	Задачи оптимизации управления на конечном интервале, линейно-квадратичный регулятор. Динамическое программирование. Линейно-квадратичная задача оптимального управления в дискретном времени. Уравнения в частных производных Гамильтона–Якоби–Беллмана. Линейно-квадратичная задача оптимального управления в непрерывном времени. Принцип максимума Понтрягина.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Описание линейных систем. Устойчивость.	Докажите инвариантность свойств управляемости и корней характеристического управления к линейным невырожденным преобразованиям.
2.	Виды управления. Стабилизация линейных систем.	Сформулируйте и докажите теорему о назначении спектра в линейной стационарной системе с одним входом с помощью линейной статической обратной связи. Сформулируйте критерий стабилизируемости линейной стационарной системы.
3.	Методы анализа, синтеза и оценивания линейных систем при воздействии внешних возмущений.	Сформулируйте и докажите критерий инвариантности эллипсоида для линейных систем с внешними возмущениями. Укажите способы оценки влияния гармонических и L2-ограниченных внешних возмущений на выход линейный системы.
4.	Робастная устойчивость, стабилизация и управление в линейных системах.	Сформулируйте теорему Харитонова о робастной устойчивости интервального полинома. Дайте ее графическую интерпретацию с помощью годографа Цыпкина–Поляка. Изложите методику проверки робастной устойчивости неопределенной системы, заданной в передаточных функциях, с помощью робастной модификации годографа Найквиста.
5.	Оптимальное управление	Получите оценку функционала и аналитический вид управления при решении задачи о линейно-квадратичном регуляторе с помощью линейного матричного неравенства.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Пределы последовательностей и функций. Отношения порядка и непрерывные функции.	Устный опрос, Домашние работы, Письменный тест	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Тестирование (письменное или компьютерное): 1. Две задачи из разделов «Числовые ряды» которые могут быть исследованы с помощью признаков Даламбера и Коши. 2. Две задачи из раздела «знакопеременные ряды», для решения первой может быть использован признак Лейбница, для второй — теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов Коллоквиум	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: 1. Степенные ряды для исследования на сходимость рядов и почленно продифференцированных рядов. 2. Задачи разложении в ряд Тейлора элементарных функций и комбинаций элементарных функций. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье для гладких периодических функций. 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 5. Вычисление коэффициентов рядов Фурье разрывных функций.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: предел функции двух переменных; частные производные и производные по направлению; Геометрический смысл частных производных и дифференцируемые многообразия; экстремальные точки и условия максима или минимума; Задачи минимизации на многообразиях — функция Ланранжа.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит четыре задачи из раздела: Криволинейные интегралы и двумерные интегралы и формула Грина; двумерные и трехмерные интегралы и формула Остроградского-Гаусса; вычисление дивергенции и вычисление ротора для заданных векторных полей.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Числовые ряды, абсолютно сходящиеся ряды, условно сходящиеся ряды.	1. Определение сходящегося ряда. Определение ряда, сходящегося абсолютно. Определение ряда, сходящегося условно. 2. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости. Геометрический ряд и его использование как мажорирующего ряда. 3. Перестановка порядка суммирования в условно сходящемся ряду и приведение его суммы к заранее заданному числу.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	1. Определение интервала сходимости степенного ряда. 2. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 4. Гладкость функций и асимптотические свойства коэффициентов Фурье.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных	1. Условие существования предела функции нескольких переменных. 2. Условие перестановки пределов функции нескольких переменных. 3. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость. 4. Дифференцируемое многообразие, карта, атлас. 5. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. 6. Алгоритм определения экстремума функции нескольких переменных на многообразии.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ.	1. Определение и примеры вычисления криволинейных интегралов первого и второго рода. 2. Вывод и примеры использования формулы Грина. 3. Вывод и примеры использования формулы Остроградского-Гаусса. 4. Определения ротора и дивергенции векторного поля.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Для линейных непрерывных и дискретных систем приведите форму записи в пространстве состояний и охарактеризуйте ее составляющие.
2. Для линейных непрерывных и дискретных систем приведите форму записи в передаточных функциях, охарактеризуйте ее составляющие и укажите ее связь с системой, заданной в пространстве состояний.
3. Опишите основные функциональные пространства сигналов, соответствующие нормы и связь между ними для непрерывного и дискретного случаев.
4. Для одномерной линейной непрерывной системы приведите различные формы входо-выходного описания и охарактеризуйте их составляющие.
5. Приведите типовые передаточные функции и частотные характеристики соответствующих звеньев (апериодического звена первого и второго порядка, колебательного звена и интегратора).
6. Дайте определение управляемости на физическом уровне.
7. Сформулируйте и докажите ранговый критерий управляемости.
8. Сформулируйте и докажите ранговый критерий наблюдаемости.
9. Дайте определение квадратичной функции Ляпунова.
10. Сформулируйте определение и критерий устойчивости линейной стационарной системы.
11. Сформулируйте основные графические критерии устойчивости полиномов. Приведите эскизы годографов Михайлова для устойчивых полиномов второй и третьей степени.
12. Приведите последовательно действий при исследовании устойчивости полиномов по методу Рауса и проиллюстрируйте ее на примере полинома третьей степени.
13. Сформулируйте дискретный критерий Рауса-Шура.
14. Сформулируйте и докажите критерий Найквиста.
15. Дайте определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе годографа Найквиста и их графическую иллюстрацию.
16. Объясните смысл множества достижимости и перечислите его основные свойства.
17. Приведите вид характеристического полинома замкнутой системы с П-регулятором. Сформулируйте критерий устойчивости системы с устойчивой передаточной функцией, замкнутой П-регулятором, дайте графическую иллюстрацию.
18. Дайте определение минимально-фазового объекта. Сформулируйте условия устойчивости/неустойчивости соответствующей замкнутой системы с П-регулятором.
19. Приведите вид характеристического полинома замкнутой системы с ПИ-регулятором. Объясните суть метода D-разбиения плоскости параметров для настройки коэффициентов ПИ-регулятора.
20. Сформулируйте и докажите теорему о назначении спектра в линейной стационарной системе с одним входом с помощью линейной статической обратной связи.
21. Сформулируйте критерий стабилизируемости линейной стационарной системы. Верно ли, что если система стабилизируема, то она управляема?
22. Объясните принцип построения и настройки асимптотического наблюдателя полного порядка.
23. Приведите процедуру построения регулятора по методу квадратичной стабилизации.
24. Приведите процедуру построения квадратично стабилизирующего регулятора при наличии ограничения на управление.
25. Сформулируйте постановку задачи о линейно-квадратичном регуляторе и приведите алгоритм ее решения.
26. Приведите процедуру получения дифференциального матричного уравнения Риккати и соответствующий аналитический вид оптимального управления.
27. Перечислите основные свойства решения уравнения Риккати.
28. Приведите процедуру получения функции Ляпунова для оптимальной системы с помощью линейного матричного неравенства.
29. Получите оценку функционала и аналитический вид управления при решении задачи о линейно-квадратичном регуляторе с помощью линейного матричного неравенства.
30. Сформулируйте постановку задачи H∞-оптимизации.
31. Приведите алгоритм решения задачи H∞-оптимизации в пространстве состояний на основе описания достижимого множества.
32. Приведите алгоритм решения задачи H∞-оптимизации в частотной области для системы, заданной в передаточных функциях.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:
1. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления. – М.: ЛЕНАНД, 2019. – 504 с.
2. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. – 312 с.

Список дополнительной литературы:
1. Егоров А.И. Основы теории управления. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 504 с.
2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как: интерактивные лекции , поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов, живых демонстраций концепций квантовых вычислений или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение – мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять концепции квантовых вычислений в практических ситуациях. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy , что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты , которые требуют применения концепций квантовых вычислений в реальных сценариях или создания новых квантовых алгоритмов. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами концепций квантовых вычислений. Важный элемент курса – смешанное обучение : сочетание традиционного очного обучения с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание учащимися концепций квантовых вычислений.