BSc: MathematicalFoundationsOfAI

Математические основы искуственного интеллекта

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а):

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в следующих областях знаний:
Явление концентрации меры. Начиная с классических результатов Гаусса, Максвелла, Пуанкаре, Леви, Мильмана, планируется постепенно перейти к современным результатам и приложениям, в том числе, возникающим в разнообразных задачах анализа данных.

Численные методы решения задач (выпуклой) стохастической оптимизации в пространствах больших размеров. Такие задачи часто возникают в разнообразных приложениях, в том числе в анализе данных — принцип максимального правдоподобия в статистике, минимизация риска в машинном обучении.

Классическая теорема о SVD-разложении и ее различные обобщения будут продемонстрированы в приложениях к данным, хранящимся в многомерных массивах.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является обучение студентов с соответствующей математикой, что впоследствии должно помочь им в изучении специализированных разделов анализа данных (машинного обучения, статистики, обучения с подкреплением, численных методов оптимизации, моделирования больших сетей и т.д.).

Задачами дисциплины являются ...

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: после прохождения курса у студентов должны быть сформированы .

Умения: сформированы умения .

Навыки (владения): в результате прохождения курса формируются навыки .

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Вокруг задач поиска вектора PageRank.	1 часть (Google problem) изложена в учебном пособии (Б. Вектор PageRank и Google Problem) 2 часть (Методы Монте-Карло с цепями Маркова) изложена в публикации Также по ходу лекции будут упоминаться классические результаты из теории случайных процессов, с которыми можно ознакомиться в учебнике из п. 1. C относительно простым изложением приниципа максимума правдоподобия можно ознакомиться в книге. В целом, про вычислительные аспекты задачи поиска вектора PageRank можно прочесть в публикации. Подробнее о макросистемах, стохастической химической кинетике и т.п. можно прочесть в учебном пособии Особенно рекомендуется пример «Кинетики социального неравенства».
2.	Элементы теории случайных процессов.	1. Классические вопросы, связанные с методом Монте-Карло (вычисление площади, интеграла, Hit and run алгоритм). Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло Статья Lovasz-Vempala 2. Введение в эргодические динамические системы и эргодические случайные процессы (поворот окружности, сдвиг Бернулли, цепные дроби, восстановления с помощью эргодической теоремы параметра сноса по достаточно длинной траектории геометрического броуновского движения - процесса Башелье-Самуэльсона). Случайные процессы. под ред. А.В. Гасникова Учебник Коралова-Синая 3. Основные классы случайных процессов (Мартингалы и безарбитражный рынок ценных бумаг, процессы Леви (Винеровский процесс как диффузионный предел случайных блужданий, Пуассоновский, сложный Пуассоновский), безгранично-делимые распределения). Случайные процессы. под ред. А.В. Гасникова Стохастический анализ в задачах. под ред. А.В. Гасникова Булинский А.В. Случайные процессы. МФТИ
3.	Вокруг Центральной предельной теоремы.	1. Центральная предельная теорема для схемы i.i.d. и ее доказательство с помощью аппарата характеристических функций. Схема рассуждений была взята из книги Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. Изд. 3, 2008. 136 с. 2. Два классических неравенства концентрации меры (Хефдинга и Бернштейна). Неравенства взяты из статьи-обзора Габора Лугоши Conentration-of-measure inequalities. Упоминается также неравенство для субгауссовско-экспоненциальной концентрации (то есть такой же, как и для предыдущих двух неравенств) квадрата нормы стандартного гауссовского вектора, детали и обобщения можно посмотреть в статье В.Г. Спокойного. 3. Центральная предельная теорема для случайных величин с тяжелыми хвостами имеется в книге Боровков А.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Т.1. Медленно убывающие распределения скачков. М.: Физматлит, 2008. - 650 с. Также упоминается неравенство Берри-Эссена, оно есть в многих книжках, например, Сенатов В.В. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения Изд. стереотип. URSS. 2018. 350 с. 4. Геометрическое броуновское движение и стохастическое дифференциальное уравнение для него. Изложение близко к книге Булинский А.В. Случайные процессы. МФТИ, 2010. 5. Simulated annealing был рассказан по книге Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. 1991. 248 с.
4.	Стохастические дифференциальные уравнения и методы Монте-Карло, Стохастический градиентный спуск.	1. Условное математическое ожидание. Гильбертово пространство квадратично-интегрируемых случайных величин. Получение характеристической функции сложного Пуассоновского процесса с помощью формулы полного математического ожидания. Случайные процессы. под ред. А.В. Гасникова. 2. Продолжение изучения Simulated annealing (Имитация отжига). В частности, рассматривается уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка, его вывод на основе формулы Дынкина. Также затрагиваются случайные блуждания и решения краевых задач. Во многом изложение ведется по книге Б. Оксендаля Стохастические дифференциальные уравнения. 3. Случай d = 1 (одномерный), квази-монтекарловские методы. 4. Стохастическая оптимизация, негладкий случай.
5.	Вокруг стохастического градиентного спуска.	1. Неравенство Азума-Хефдинга 2. Зеркальный спуск, пример единичного симплекса и онлайн оптимизация (взвешивание экспертных решений, приложение к теории игр) Introduction to Online Convex Optimization Prediction, Learning, and Games Об эффективности одного метода рандомизации зеркального спуска в задачах онлайн оптимизации A Modern Introduction to Online Learning 3. Клиппирование, использование неравенства Бернштейна-Фридмана. 4. Сходимость стохастического градиентного спуска в гладком сильно выпуклом случае, в условиях перепараметризации.
6.	Концентрация меры.	1. Метод Лапласа (исследование асимптотики интеграла по параметру), обоснование формулы Стирлинга. М.В. Федорюк, Метод перевала. — 1977. — С. 366. 2. Концентрация меры на сфере. Blum A., Hopcroft J., Kannan R. Foundations of data science. – Cambridge University Press, 2020. В.А. Зорич, Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2018. V.D. Milman. The heritage of P. Lévy in geometrical functional analysis 3. Случайные перестановки и их свойства 4. Концентрация TSP в задаче метрического коммивояжера на квадрате. (без доказательств) Dubhashi D. P., Panconesi A. Concentration of measure for the analysis of randomized algorithms. – Cambridge University Press, 2009. 5. Неравенство Талаграна (просто упоминание) Алон Н., Спенсер Д. Вероятностный метод. – Бином, 2007. 6. Теорема Джонсона-Линденштраусса. Blum A., Hopcroft J., Kannan R. Foundations of data science. – Cambridge University Press, 2020. 7. Вероятностная проверка тождеств. Н.Н Кузюрин, С.А. Фомин, Эффективные алгоритмы и сложность вычислений. М. МФТИ, 2019
7.	Большие системы (макросистемы).	1. Теорема Клартага (только формулировка) Klartag B. A central limit theorem for convex sets //Inventiones mathematicae. – 2007. – V. 168. – №. 1. – P. 91-131. 2. Предельные формы (диаграммы Юнга, Ричардсона, выпуклые ломаные) Выступление А.М. Вершика в ЛШСМ 2008 Коралов Л. Б., Синай Я. Г. Теория вероятностей и случайные процессы. М.: МЦНМО. – 2013. 3. Модели роста сетей (типа интернета) на принципе предпочтительного присоединения Blum A., Hopcroft J., Kannan R. Foundations of data science. – Cambridge University Press, 2020. 4. Эволюция РНК и генетические алгоритмы Редько В. Г., Цой Ю. Р. Оценка эффективности эволюционных алгоритмов //Доклады Академии наук. – 2005. – Т. 404. – №. 3. – С. 312-315. 5. Время достижения ускоренного консенсуса снизу оценивается диаметром графа и квадрат этого времени отвечает времени выхода сопряженной марковской цепи на стационарное (инвариантное) распределение Gorbunov E. et al. Recent theoretical advances in decentralized distributed convex optimization //High-Dimensional Optimization and Probability. – Springer, Cham, 2022. – P. 253-325. Decentralized Convex Optimization over Time-Varying Graphs: a Survey 6. Распределение ошибок при решении систем линейных уравнений Красносельский М. А., Крейн С. Г. Замечание о распределении ошибок при решении системы линейных уравнений при помощи итерационного процесса //Успехи математических наук. – 1952. – Т. 7. – №. 4 (50. – С. 157-161. 7. Равновесия макросистем, как аттракторы в моделях стохастической химической кинетики. Пример «Кинетика социального неравенства» Стохастический анализ в задачах. под ред. А.В. Гасникова 8. Метод перевала. Элементы ТФКП. Формула Коши. Получение оценок больших уклонений (теорема Крамера) с помощью метода перевала. А.Н. Соболевский Конкретная теория вероятностей МЦНМО 9. Игрушечная модель эволюции Д. Кьялво - степенной закон распределения частоты лавин от длительности (связь с временем первого возвращения случайного блуждания) Пер Бак. Как работает Природа: Теория самоорганизованной критичности. Пер. с англ. №66. Изд. 2 Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности. Пер. с англ. URSS. 2022. 288 с.
8.	Машинное обучение с точки зрения стохастической оптимизации.	1. Multilevel Monte Carlo 2. HyperLogLog счетчик 3. Машинное обучение с точки зрения стохастической оптимизации Shalev-Shwartz S., Ben-David S. Understanding machine learning: From theory to algorithms. – Cambridge university press, 2014.
9.	Распределенная оптимизация.	1. Методы распределенной оптимизации, использующие сжатие 2. Методы распределенной оптимизации, учитывающие data similarity
10.	Математика больших данных в теории информации.	1. Основные определения теории информации: энтропия и взаимная информация 2. Неравенство обработки данных и неравенство Фано 3. Типичные последовательности, их роль в задачах кодирования источника и передачи информации 4. Метод случайного кодирования (вероятностный метод) и его применение в задаче сжатия измерений (англ. compressed sensing) Y. Polyanskiy, “A perspective on massive random-access,” IEEE Information Theory (ISIT), 2017. I. Zadik, Y. Polyanskiy, and C. Thrampoulidis, “Improved bounds on Gaussian MAC and sparse regression via Gaussian inequalities,” IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2019
11.	Малоранговая аппроксимация матриц.	1.Скелетное и сингулярное разложения матриц. 2.Псевдоскелетная (CUR) аппроксимация. 3.Оптимизационные методы (ALS, риманова оптимизация).
12.	Малоранговая аппроксимация тензоров.	1.Каноническое разложение. 2.Разложение Таккера. 3.Тензорные сети.
13.	Математика обучения с подкреплением.	1. Базовые понятия: марковский процесс принятия решений, уравнения Беллмана, онлайн обучение с подкреплением и регрет. Похожее изложение 2. Exploration-Exploitation дилемма. Алгоритм UCRL 3. Более эффективное исследование: Алгоритм UCBVI

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Элементы теории аппроксимации.	Построить алгоритм для приближения рациональным числом корня полинома указанной степени с целыми коэффициентами. Рассмотреть интерполяцию заданной функции на равномерной сетке и вычислить интеграл квадрата разности значения интерполяционного полинома и интерполируемой функции. Вычислить максимальное отклонение интерполируемой функции и построенного интерполяционного полинома. Проиллюстрировать явление Рунге. Построить набор узлов Чебышева для заданной функции построить интерполяционный полином. Вычистить интеграл от квадрата разности интерполяционного полинома Чебышева и интерполируемой функции. Построить частичную сумму Фурье для заданной разрывной функции и проиллюстрировать численно феномен Гиббса. Построить сплайн для аппроксимации заданной табличной функции с заданным дефектом. Построить Паде аппроксимацию заданного порядка для экспоненты. Построить Паде аппроксимацию заданного порядка для функции синус.
2.	Расходящиеся ряды.	Методом интегрирования по частям получить частичную сумму асимптотического при больших значениях аргумента ряда для интеграла Френеля. Оценить величину остатка ряда в зависимости от количества членов ряда и от аргумента функции Френеля. Основываясь на интегральном представлении Гамма-функции получить частичную сумму асимптотического ряда при больших значениях аргумента Гамма-функции. Исследовать относительную погрешность формулы Муавра-Стирлинга. Просуммировать по Чезаро расходящийся знакопеременный ряд. Найти сумму по Борелю для расходящегося ряда. Показать, что суммирование по Чезаро и по Борелю дают одинаковые результаты, если эти сумму существуют. Указать калибровочную последовательность для функции Эйри при построении асимптотики вблизи бесконечно удаленной точки.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Вычислить фрактальную размерность жирного множества Кантора. Вычислить фрактальную размерность салфетки Серпинского. Построить алгоритм для вычисления фрактальной размерности множества Мандельброта. Построить алгоритм для вычисления фрактальной размерности множества Жулиа. Найти численное приближение.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Элементы теории аппроксимации.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.
2.	Расходящиеся ряды.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:
Для ознакомления доступна контрольная работа

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:
1. Гyдфеллоy Я., Бенджио И., Кyрвилль А. Глyбокое обyчение. 2-е изд., исправл. М.: ДМК-Пресс, 2018.
2. Shapiro A., Dentcheva D., Ruszczyński A. Lectures on stochastic programming: modeling and theory. – Society for Industrial and Applied Mathematics, 2014.
3. Shalev-Shwartz S., Ben-David S. Understanding machine learning: From theory to algorithms. – Cambridge university press, 2014.
4. Bubeck S. Convex optimization: Algorithms and complexity // Foundations and Trends® in Machine Learning Volume 8 Issue 3-411 pp 231–357. – 2015.
5. Duchi J. C. Introductory lectures on stochastic optimization // The mathematics of data. – 2018. – V. 25. – P. 99-185.
6. Hazan E. Lecture notes: Optimization for machine learning // arXiv preprint arXiv:1909.03550. – 2019.
7. Lan G. First-order and Stochastic Optimization Methods for Machine Learning. – Springer Nature, 2020.
8. Milman V. D. The heritage of P. Lévy in geometrical functional analysis //Astérisque. – 1988. – Т. 157. – №. 158. – С. 273-301.
9. Shen A., Romashchenko A., Rumyantsev A. Y. Заметки по теории кодирования. – 2017.
10. Vershynin R. High-dimensional probability: An introduction with applications in data science. – Cambridge university press, 2018. – Т. 47.

Список дополнительной литературы:

1. Glebov S.G., Kiselev O.M., Tarkhanov N., Nonlinear equations with small parameter. Volume I: Oscillations and resonances De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. 2017, v. 23/1, pp.340.
   
2. Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, 2, Издательство Диалектика, 2023, ISBN 9785521805532
   
3. Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351
   

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как: интерактивные лекции , поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов, живых демонстраций концепций квантовых вычислений или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение – мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять концепции квантовых вычислений в практических ситуациях. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy , что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты , которые требуют применения концепций квантовых вычислений в реальных сценариях или создания новых квантовых алгоритмов. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами концепций квантовых вычислений. Важный элемент курса – смешанное обучение : сочетание традиционного очного обучения с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание учащимися концепций квантовых вычислений.