Difference between revisions of "BSc: ComputationalMathematicsADV"

From IU
Jump to navigation Jump to search
(Created page with "= <span style="color:red;">Название дисциплины</span> = : '''Квалификация выпускника''': <span style="color:red;">бакалавр/ма...")
 
Line 1: Line 1:
  +
= Вычислительная математика (углубленный курс)=
−
= <span style="color:red;">Название дисциплины</span> =
  
−
: '''Квалификация выпускника''': <span style="color:red;">бакалавр/магистр</span>
 +
: '''Квалификация выпускника''': бакалавр
−
: '''Направление подготовки''': __________________
 +
: '''Направление подготовки''': 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
−
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': <span style="color:red;">(Указывается направленность (профиль) образовательной программы</span>
 +
: '''Направленность (профиль) образовательной программы''': Математические основы ИИ
−
: '''Программу разработал(а)''': __________________
 +
: '''Программу разработал(а)''':
   
 
== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
  
== 1. Краткая характеристика дисциплины ==
  +
Курс посвящен проблемам решения прикладных математических задач на компьютере: разработке вычислительных алгоритмов и изучению их свойств.
−
Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области <span style="color:red;">(указывается область изучаемой дисциплины. Например: программного обеспечения и его разработки; робототехники и т.д.)</span>, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают <span style="color:red;">(краткое описание содержания дисциплины)</span>.
  
   
 
== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
  
== 2. Перечень планируемых результатов обучения ==
−
: '''Целью освоения дисциплины''' ...
 +
: '''Целью освоения дисциплины''' является формирование у студентов систематического представления о:
   
  +
1) методах приближенного решения наиболее распространенных базовых типов математических задач;
−
: '''Задачами дисциплины''' вляются ... <span style="color:red;">(перечислить задачи дисциплины, например: изучение принципов организации подсистем обработки естественного языка для различных прикладных задач и тенденций развития лингвистических ресурсов в сфере интеллектуальных информационных технологий и т.д.).</span>
  
  +
  +
2) источниках погрешностей и методах их оценки;
  +
  +
3) методах решения решения актуальных прикладных задач.
  +
  +
  +
  +
: '''Задачами дисциплины''' являются:
  +
  +
1) Освоение материала охватывающего основные задачи и методы вычислительной математики.
  +
  +
2) формирование целостного представления о численных методах решения современных научных прикладных задач.
   
 
=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
  
=== Общая характеристика результата обучения по дисциплине ===
−
: '''Знания:''' сформированы систематические знания ...
  
−
<span style="color:red;">(информация, которой обладает обучающийся в определенных областях, полученная в процессе обучения, то есть это информация для осуществления какой-либо деятельности (действия))</span>
  
   
  +
: '''Знания:'''
−
: '''Умения:''' сформированы умения ...
  
−
<span style="color:red;">(предполагает целенаправленное выполнение действий, по изученной информации)</span>
  
   
  +
Области применения, теоретических основ, основных принципов, особенностей и современных тенденций развития методов вычислительной математики.
−
: '''Навыки (владения):''' сформировано владение навыками ...
  
  +
−
<span style="color:red;">(автоматизированные устойчивые умения выполнять определенную работу, то есть действие выполняется без контроля сознания, автоматически)</span>
  
  +
: '''Умения:'''
  +
  +
Применять методы численного анализа для приближенного решения задач в области своей научно-исследовательской работы.
  +
  +
: '''Навыки (владения):'''
  +
  +
Применять методы численного анализа для приближенного решения задач в области своей научно-исследовательской работы.
   
 
== 3. Структура и содержание дисциплины ==
  
== 3. Структура и содержание дисциплины ==
  +
−
<span style="color:red;">(Указываются: 1) порядковый номер раздела (количество разделов зависит от содержания Вашей дисциплины); 2) наименования разделов дисциплины; 3) темы указанных разделов (количество тем в каждом разделе зависит от содержания Вашей дисциплины)</span>
  
 
{| class="wikitable" style="width:70%;"
  
{| class="wikitable" style="width:70%;"
 
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
  
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
Line 30: Line 46:
 
| style="width:30%" | Наименование раздела <br> дисциплины
  
| style="width:30%" | Наименование раздела <br> дисциплины
 
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
  
| style="width:60%" | Содержание дисциплины по темам
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 1 || Предмет вычислительной математики || Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
−
| style="text-align:center;" | 1. || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
−
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 2 || Функции, заданные на дискретном
−
| style="text-align:center;" | 2. || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
  +
множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность.
−
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.
−
| style="text-align:center;" | 3. || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
−
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 3 || Методы решения нелинейных
−
| style="text-align:center;" | 4. || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
  +
уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.
−
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−
| style="text-align:center;" | 5. || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
  +
| style="text-align:center;" | 4 || Численное дифференцирование || Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
−
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−
| style="text-align:center;" | ... || || &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-<br>
  
  +
| style="text-align:center;" | 5 || Задача Коши для ОДУ || Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 6 || Краевые задачи для ОДУ || Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 7 || Уравнения гиперболического типа || Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.
  +
Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 8 || Уравнения параболического типа и
  +
решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.
  +
  +
Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций.
  +
Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 9 || Численное решение уравнений
  +
эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 10 || Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации || Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.
  +
  +
 
|}
  
|}
   
Line 50: Line 85:
 
| style="width:10%" | №<br>п/п
  
| style="width:10%" | №<br>п/п
 
| style="width:30%" | Наименование раздела<br>дисциплины (модуля)
  
| style="width:30%" | Наименование раздела<br>дисциплины (модуля)
−
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)<br><span style="color:red;">(Указываются ВСЕ задания для практических занятий по разделам дисциплины подробно в соответствии с темами)</span>
 +
| style="width:60%" | Перечень рассматриваемых тем (вопросов)<br>
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 1 || Предмет вычислительной математики || Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
−
| style="text-align:center;" | 1. || ||
  
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−
| style="text-align:center;" | 2. || ||
 +
| style="text-align:center;" | 2 || Функции, заданные на дискретном
  +
множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность.
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.
−
| style="text-align:center;" | 3. || ||
  
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−
| style="text-align:center;" | 4. || ||
 +
| style="text-align:center;" | 3 || Методы решения нелинейных
  +
уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 5. || ||
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 4 || Численное дифференцирование || Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | ... || ||
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 5 || Задача Коши для ОДУ || Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 6 || Краевые задачи для ОДУ || Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 7 || Уравнения гиперболического типа || Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.
  +
Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 8 || Уравнения параболического типа и
  +
решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.
  +
  +
Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций.
  +
Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 9 || Численное решение уравнений
  +
эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 10 || Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации || Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.
  +
  +
 
|}
  
|}
  +
 
'''Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:'''
  
'''Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:'''
   
−
<span style="color:red;">(К формам текущего контроля можно отнести собеседование, коллоквиум, тест, контрольную работу, лабораторную работу, эссе, реферат и иные творческие работы.)</span>
  
 
{| class="wikitable" style="width:70%;"
  
{| class="wikitable" style="width:70%;"
 
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
  
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
 
| style="width:5%" | №<br>п/п
  
| style="width:5%" | №<br>п/п
 
| style="width:20%" | Наименование раздела<br>дисциплины
  
| style="width:20%" | Наименование раздела<br>дисциплины
−
| style="width:25%" | Форма текущего контроля<br><br><span style="color:red;">(выберите соответствующие формы контроля)</span>
 +
| style="width:25%" | Форма текущего контроля<br>
−
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля<br><br><span style="color:red;">(Указываются ВСЕ ЗАДАНИЯ/ВОПРОСЫ текущего контроля успеваемости обучающихся по разделам дисциплины подробно в соответствии с требованиями)</span>
 +
| style="width:50%" | Материалы текущего контроля<br>
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 1 || Предмет вычислительной математики || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
−
| style="text-align:center;" | 1.
  
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
−
|
 
  +
| style=""text-align:center;"" | 2 || Функции, заданные на дискретном
−
| style="text-align:center;" | <span style="color:red;">Проверка выполнения домашних заданий;<br>Устный / письменный опрос;<br>Тестирование (письменное или компьютерное);<br>Эссе;<br>Доклад;<br>Защита проекта; Коллоквиум;<br>Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях</span>
  
  +
множестве || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
−
| Например:
  
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
−
Устный / письменный опрос:<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
  +
| style=""text-align:center;"" | 3 || Методы решения нелинейных
−
Тематика групповых проектов:<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
  +
уравнений || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
−
Темы докладов:<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
−
Тематика эссе:<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
  +
| style=""text-align:center;"" | 4 || Численное дифференцирование || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
−
Задания, в том числе, для групповых проектов:<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
−
Тестирование (письменное или компьютерное):<br>-<br>-<br>-<br>...<br><br>
  
  +
| style=""text-align:center;"" | 5 || Задача Коши для ОДУ || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
−
Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта.
  
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 6 || Краевые задачи для ОДУ || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 7 || Уравнения гиперболического типа || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 8 || Уравнения параболического типа и
  +
решение неявных задач на их примере || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 9 || Численное решение уравнений
  +
эллиптического типа || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
  +
"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""
  +
| style=""text-align:center;"" | 10 || Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."
  +
|}
   
−
Другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях<br>-<br>-<br>-<br>...<br>
  
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 2.
  
−
|
  
−
| style="text-align:center;" | <span style="color:red;">Проверка выполнения домашних заданий;<br>Устный / письменный опрос;<br>Тестирование (письменное или компьютерное);<br>Эссе;<br>Доклад;<br>Защита проекта; Коллоквиум;<br>Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях</span>
  
−
|
 
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 3.
  
−
|
  
−
| style="text-align:center;" | <span style="color:red;">Проверка выполнения домашних заданий;<br>Устный / письменный опрос;<br>Тестирование (письменное или компьютерное);<br>Эссе;<br>Доклад;<br>Защита проекта; Коллоквиум;<br>Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях</span>
  
−
|
 
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 4.
  
−
|
  
−
| style="text-align:center;" | <span style="color:red;">Проверка выполнения домашних заданий;<br>Устный / письменный опрос;<br>Тестирование (письменное или компьютерное);<br>Эссе;<br>Доклад;<br>Защита проекта; Коллоквиум;<br>Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях</span>
  
−
|
 
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 5.
  
−
|
  
−
| style="text-align:center;" | <span style="color:red;">Проверка выполнения домашних заданий;<br>Устный / письменный опрос;<br>Тестирование (письменное или компьютерное);<br>Эссе;<br>Доклад;<br>Защита проекта; Коллоквиум;<br>Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта и другие формы текущего контроля, используемые Вами на занятиях</span>
  
−
|
 
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | ... || || ||
  
−
|}
  
 
'''Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:'''
  
'''Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:'''
 
{| class="wikitable" style="width:70%;"
  
{| class="wikitable" style="width:70%;"
Line 116: Line 159:
 
| style="width:25%" | Наименование <br> раздела дисциплины
  
| style="width:25%" | Наименование <br> раздела дисциплины
 
| style="width:65%" | Вопросы
  
| style="width:65%" | Вопросы
  +
| style="text-align:center;" | 1 || Предмет вычислительной математики || Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 1. || ||
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 2 || Функции, заданные на дискретном
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность.
−
| style="text-align:center;" | 2. || ||
  
  +
Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 3. || ||
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 3 || Методы решения нелинейных
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
  +
уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.
−
| style="text-align:center;" | 4. || ||
  
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 4 || Численное дифференцирование || Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
−
| style="text-align:center;" | 5. || ||
  
−
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
 +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 5 || Задача Коши для ОДУ || Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
−
| style="text-align:center;" | ... || ||
  
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 6 || Краевые задачи для ОДУ || Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 7 || Уравнения гиперболического типа || Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.
  +
Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 8 || Уравнения параболического типа и
  +
решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.
  +
  +
Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций.
  +
Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 9 || Численное решение уравнений
  +
эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).
  +
|- style="background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  +
| style="text-align:center;" | 10 || Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации || Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.
 
|}
  
|}
 
'''Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:'''
  
'''Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:'''
   
  +
1. Специфика машинных вычислений.<br>
−
<span style="color:red;">(Указываются ВСЕ ЗАДАНИЯ/ВОПРОСЫ для промежуточной аттестации.)</span>
  
  +
2. Что такое машинный эпсилон? Как эта величина связана с конечной длиной мантиссы?<br>
  +
3. Элементы теории погрешностей. Абсолютная и относительная ошибки. Как эволюционируют погрешности при выполнении арифметических операций? Погрешность вычисления функций от величины, заданной с абсолютной погрешностью.<br>
  +
4. Численное дифференцирование. Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.<br>
  +
5. Вывод формулы численного дифференцирования с помощью метода неопределенных коэффициентов.<br>
  +
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы: Гаусса, Гаусса с выбором главного элемента.<br>
  +
7. Обусловленность матрицы линейной системы.<br>
  +
8. Оценка погрешности прямых численных методов решения алгебраических систем.<br>
  +
9. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций, метод Зейделя, метод верхней релаксации.<br>
  +
10. Проблема поиска собственных значений матрицы. Метод вращений для поиска собственных значений самосопряженной матрицы.<br>
  +
11. Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность решения. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона.<br>
  +
12. Оценка погрешности интерполяционных формул, остаточный член интерполяции.<br>
  +
13. Функция Лебега, константа Лебега. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками.<br>
  +
14. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Полином Чебышёва.<br>
  +
15. Сплайны. Интерполяция сплайнами.<br>
  +
16. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности.<br>
  +
17. Квадратурные формулы Гаусса.<br>
  +
18. Методы приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений.<br>
  +
19. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации.<br>
  +
20. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона.<br>
  +
21. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Простейшие численные методы (явный метод Эйлера, неявный метод Эйлера, метод Эйлера с пересчетом).<br>
  +
22. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости.<br>
  +
23. Методы Рунге–Кутты решения систем ОДУ. Устойчивость методов Рунге–Кутты. Экспоненциальная оценка устойчивости, устойчивость при различных типах поведения решения (на устойчивых и «не неустойчивых» траекториях).<br>
  +
24. Правило Рунге оценки погрешности.<br>
  +
25. Понятие жесткой задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ЖС ОДУ). Методы численного решения жестких систем ОДУ: одношаговые<br>
  +
  +
(неявные методы Рунге-Кутты, методы Розенброка) и многошаговые (формулы дифференцирования назад).<br>
  +
26. А-устойчивость, L-устойчивость и монотонность. Функция устойчивости и область устойчивости методов Рунге-Кутты.<br>
  +
27. Линейные многошаговые методы.<br>
  +
28. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы решения линейных краевых задач (метод численного построения общего решения, конечно-разностный метод для линейного уравнения второго порядка, метод прогонки).<br>
  +
29. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации).<br>
  +
30. Разностные методы решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных. Аппроксимация, устойчивость, сходимость.<br>
  +
31. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости. Принцип замороженных коэффициентов.<br>
  +
32. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере уравнения переноса и волнового уравнения.<br>
  +
33. Монотонные разностные схемы.<br>
  +
34. Системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа.<br>
  +
35. Численные методы решения линейных уравнений в частных производных параболического типа. Явная и неявная схемы. Схема Кранка-Никольсон.<br>
  +
36. Квазилинейное уравнение теплопроводности, его свойства. Консервативные разностные схемы. Приемы построения консервативных разностных схем.<br>
  +
37. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений.<br>
  +
38. Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона.<br>
  +
39. Итерационные методы для численного решения возникающих систем линейных уравнений. Принцип установления для решения стационарных задач.<br>
  +
   
−
1.<br>2.<br>3.<br>...<br>48.<br>49.<br>50.<br>...
  
 
=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
  
=== Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины ===
  +
Основная литература<br>
−
Список основной литературы:
  
  +
1. Введение в вычислительную математику [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. С. Рябенький<br>
  +
.— 3-е изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2008 .— 288 с.<br>
  +
2. Введение в вычислительную физику [Текст] : [учеб. пособие для вузов] / Р. П. Федоренко ; под ред. А. И. Лобанова .— 2-е изд., испр. и доп. — Долгопрудный : Интеллект, 2008 .— 504 с.<br>
  +
3. 12 лекций по вычислительной математике : вводный курс [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. И. Косарев .— 3-е изд., испр. и доп. — М. : Физматкнига, 2013 .— 240 с.<br>
  +
4. Лекции по вычислительной математике [Текст] : учеб. пособие для вузов / И. Б. Петров, А. И. Лобанов .— М. : Интернет-Ун-т Информ. Технологий : БИНОМ. Лаб. знаний, 2006, 2010, 2013<br>
  +
.— 523 с.<br>
  +
5. Численные методы [Текст] : в 2 кн. : учебник для вузов / Н. Н. Калиткин, Е. А. Альшина .— М.<br>
  +
: Академия, 2013 .— (Университетский учебник. Прикладная математика и информатика) .— Кн. 1 : Численный анализ. - 2013. - 304 с.<br>
  +
<br>
  +
Дополнительная литература<br>
  +
1. Основы вычислительной математики [Текст] : учеб. пособие для втузов ; доп. М-вом высш. и сред. спец. образования СССР / Б. П. Демидович, И. А. Марон .— 4-е изд.,испр. — М. : Наука, 1970 .— 664 с.<br>
  +
Фонд литературы базовой кафедры<br>
  +
<br>
  +
2. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.<br>
  +
3. Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.<br>
  +
   
−
Список дополнительной литературы:
  
 
=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===
  
=== Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины ===
−
<span style="color:red;">(Указываются рекомендации для обучающихся, которые раскрывают суть их работы при различных видах деятельности в рамках освоения дисциплины. Данные рекомендации должны охватывать работу с лекционным материалом, подготовку и работу во время проведения семинарских занятий, самостоятельную работу, подготовку к текущему контролю и промежуточной аттестации)</span>
  
   
  +
−
<span style="color:red;">(Выберите соответствующие виды учебных занятий, которые используются при изучении Вашей дисциплины)</span>
  
 
{| class="wikitable" style="width:80%;"
  
{| class="wikitable" style="width:80%;"
−
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#FF0000; font-weight:bold;"
 +
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; font-weight:bold;"
 
| style="width:20%" | Вид учебных<br>занятий/деятельности
  
| style="width:20%" | Вид учебных<br>занятий/деятельности
 
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
  
| style="width:80%" | Деятельность обучающегося
 
|-
 
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Лекция
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Лекция
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Практическое (семинарское) занятие
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Практическое (семинарское) занятие
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его.<br>Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его.<br>Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Устный/письменный опрос
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Устный/письменный опрос
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
+
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Реферат
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Подготовка к промежуточной аттестации
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей.<br>Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты.<br>Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
  
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Эссе
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Самостоятельная работа
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
 
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Подготовка к промежуточной аттестации
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Контрольная работа
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей.<br>Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
  
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Практические (лабораторные) занятия
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Тестирование (устное/письменное)
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
 
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Самостоятельная работа
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Индивидуальная работа
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Самостоятельная работа включает в себя:
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
 
  +
- чтение и конспектирование рекомендованной литературы,
  +
- проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и научной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения, доказательство отдельных утверждений, свойств;
  +
- решение задач, предлагаемых студентам на практических занятиях и в качестве курсового задания,
  +
- подготовку к практическим занятиям и зачетам.
  +
Руководство и контроль за самотоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
  +
Показателем владения материалом служит умение решать теоретические и практические задачи. Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания, ощутить взаимосвязь между темами курса.
  +
При затруднении изучения отдельных тем, вопросов, следует обращаться за консультациями к лектору или преподавателю, ведущему практические занятия.
  +
 
|-
  
|-
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Видеопрезентация
 +
| style="vertical-align:middle; text-align:center;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
  +
| style="vertical-align:middle; text-align:left;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Доклад
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Дискуссия
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Контрольная работа
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Тестирование (устное/письменное)
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Индивидуальная работа
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Разработка отдельных частей кода
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
  
−
|-
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:center; color:red;" | Выполнение домашних заданий и групповых проектов
  
−
| style="vertical-align:middle; text-align:left; color:red;" | Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
  
 
|}
  
|}
 
=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
  
=== Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции ===
−
<span style="color:red;">(Указываются все используемые преподавателем методы и технологии обучения)</span>
  
 
{| class="wikitable"
  
{| class="wikitable"
 
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
  
|- style="vertical-align:middle; text-align:center; background-color:#EAECF0; color:#202122; font-weight:bold;"
 
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
  
| Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
 
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
|- style="vertical-align:middle; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
−
| &nbsp;
  
−
|}
  
−
<span style="color:red;">Например:</span>
  
−
{| class="wikitable" style="width:80%;"
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center; width:5%;" | 1.
  
−
| style="width:20%;" | Информационно – коммуникационная технология
  
−
| style="width:75%;" | &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 2.
  
−
| Технология развития критического мышления
  
−
| Основные методические приемы развития критического мышления
  
−
# Прием «Кластер»
  
−
# Таблица
  
−
#Учебно-мозговой штурм
  
−
#Интеллектуальная разминка
  
−
#Зигзаг, зигзаг -2
  
−
#Прием «Инсерт»
  
−
#Эссе
  
−
#Приём «Корзина идей»
  
−
#Приём «Составление синквейнов»
  
−
#Метод контрольных вопросов
  
−
#Приём «Знаю../Хочу узнать…/Узнал…»
  
−
#Круги по воде
  
−
#Ролевой проект
  
−
#Да – нет
  
−
#Приём «Чтение с остановками»
  
−
#Приём «Взаимоопрос»
  
−
#Приём «Перепутанные логические цепочки»
  
−
#Приём «Перекрёстная дискуссия»
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 3.
  
−
| Проектная технология
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 4.
  
−
| Технология проблемного обучения
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 5.
  
−
| Кейс – технология
  
−
| К методам кейс-технологий, активизирующим учебный процесс, относятся:
  
−
*метод ситуационного анализа (Метод анализа конкретных ситуаций, ситуационные задачи и упражнения; кейс-стадии)
  
−
*метод инцидента;
  
−
*метод ситуационно-ролевых игр;
  
−
*метод разбора деловой корреспонденции;
  
−
*игровое проектирование;
  
−
*метод дискуссии.
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 6.
  
−
| Технология интегрированного обучения
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 7.
  
−
| Педагогика сотрудничества
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 8.
  
−
| Технологии уровневой дифференциации
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 9.
  
−
| Групповая технология
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 10.
  
−
| Традиционные технологии (классно-урочная система)
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 11.
  
−
| Здоровьесберегающие технологии
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 12.
  
−
| Игровая технология
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 13.
  
−
| Модульная технология
  
−
|
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| style="text-align:center;" | 14.
  
−
| Технология мастерских
  
−
| &nbsp;
  
−
|- style="vertical-align:top; text-align:left; background-color:#F8F9FA; color:#202122;"
  
−
| &nbsp;
  
−
| и др.
  
 
| &nbsp;
  
| &nbsp;
 
|}
  
|}

Revision as of 12:14, 3 April 2024

Вычислительная математика (углубленный курс)

Квалификация выпускника: бакалавр
Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ
Программу разработал(а):

1. Краткая характеристика дисциплины

Курс посвящен проблемам решения прикладных математических задач на компьютере: разработке вычислительных алгоритмов и изучению их свойств.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является формирование у студентов систематического представления о:

1) методах приближенного решения наиболее распространенных базовых типов математических задач;

2) источниках погрешностей и методах их оценки;

3) методах решения решения актуальных прикладных задач.


Задачами дисциплины являются:

1) Освоение материала охватывающего основные задачи и методы вычислительной математики.

2) формирование целостного представления о численных методах решения современных научных прикладных задач.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания:

Области применения, теоретических основ, основных принципов, особенностей и современных тенденций развития методов вычислительной математики.

Умения:

Применять методы численного анализа для приближенного решения задач в области своей научно-исследовательской работы.

Навыки (владения):

Применять методы численного анализа для приближенного решения задач в области своей научно-исследовательской работы.

3. Структура и содержание дисциплины

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины 		Содержание дисциплины по темам
1 Предмет вычислительной математики Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
2 Функции, заданные на дискретном

множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность. Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.

3 Методы решения нелинейных

уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.

4 Численное дифференцирование Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
5 Задача Коши для ОДУ Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
6 Краевые задачи для ОДУ Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
7 Уравнения гиперболического типа Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.

Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.

8 Уравнения параболического типа и

решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.

Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций. Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.

9 Численное решение уравнений

эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).

10 Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.


4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины (модуля) 		Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1 Предмет вычислительной математики Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
2 Функции, заданные на дискретном

множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность. Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.

3 Методы решения нелинейных

уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.

4 Численное дифференцирование Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
5 Задача Коши для ОДУ Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
6 Краевые задачи для ОДУ Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
7 Уравнения гиперболического типа Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.

Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.

8 Уравнения параболического типа и

решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.

Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций. Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.

9 Численное решение уравнений

эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).

10 Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.


Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины 		Форма текущего контроля
 Материалы текущего контроля

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

1 Предмет вычислительной математики Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

2 Функции, заданные на дискретном 
множестве || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

3 Методы решения нелинейных 
уравнений || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

4 Численное дифференцирование Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

5 Задача Коши для ОДУ Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

6 Краевые задачи для ОДУ Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

7 Уравнения гиперболического типа Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

8 Уравнения параболического типа и 
решение неявных задач на их примере || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

9 Численное решение уравнений 
эллиптического типа || Домашние работы || В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

"|- style=""background-color:#F8F9FA; color:#202122;""

10 Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации Домашние работы В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий."

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№
п/п 		Наименование
раздела дисциплины 		Вопросы 1 Предмет вычислительной математики Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
2 Функции, заданные на дискретном

множестве || Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Остаточный член интерполяции. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Правило Рунге, апостериорная оценка порядка. Квадратурные формулы Гаусса и их погрешность. Вычисление несобственных интегралов. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Численное дифференцирование. Оценка погрешности формул.

3 Методы решения нелинейных

уравнений || Локализация корней. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации для системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Теоремы о сходимости метода Ньютона для скалярного уравнения и системы уравнений в окрестности корня. Методы высших порядков сходимости и наискорейшего спуска для системы уравнений.

4 Численное дифференцирование Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности.
5 Задача Коши для ОДУ Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Методы Рунге–Кутты решения Задачи Коши для ОДУ. Устойчивость методов Рунге-Кутты. Барьеры Бутчера. Методы Адамса. Оценки погрешности и управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Понятия о жёстких уравнениях и системах ОДУ. А-устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
6 Краевые задачи для ОДУ Алгоритм прогонки. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации). Вариационно-разностные и проекционные методы построения приближенного решения.
7 Уравнения гиперболического типа Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных (на примере волнового уравнения и уравнения переноса). Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов.

Теорема Годунова о связи порядка аппроксимации и монотонности для линейных разностных схем. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Техника переноса граничных условий с границы на расчетную ячейку. Разностные схемы для характеристической формы записи системы. Нелинейное уравнение Хопфа. Уравнения акустики и газовой динамики.

8 Уравнения параболического типа и

решение неявных задач на их примере || Квазилинейное уравнение теплопроводности и его автомодельное решение. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений. Метод дробных шагов. Применение итерационных методов решения СЛАУ, полученных после линеаризации неявных задач.

Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условие сходимости метода простых итераций. Чебышёвское ускорение итераций. Метод Ньютона для систем уравнений. Вариационные методы решения СЛАУ: обобщенный метод минимальных невязок (GMRes), стабилизированный метод бисопряженных градиентов (BiCGStab). Понятие о предобуславливании: предобуславливатель Якоби, неполное LU-разложение (ILU(0)). Уравнения однофазной фильтрации.

9 Численное решение уравнений

эллиптического типа || Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона. Компактная схема 4-го порядка точности «крест на крест». Схемы на неструктурированных сетках, представления о построении треугольных сеток в областях сложной формы. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем. Конечно-объемные методы. МКЭ. Использование многосеточных методов (MultiGrid).

10 Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации и оптимизации Представление об основных алгоритмах машинного обучения. Использование методов машинного обучения для задач аппроксимации данных. Использование методов машинного обучения в задачах оптимизации.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Специфика машинных вычислений.
2. Что такое машинный эпсилон? Как эта величина связана с конечной длиной мантиссы?
3. Элементы теории погрешностей. Абсолютная и относительная ошибки. Как эволюционируют погрешности при выполнении арифметических операций? Погрешность вычисления функций от величины, заданной с абсолютной погрешностью.
4. Численное дифференцирование. Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.
5. Вывод формулы численного дифференцирования с помощью метода неопределенных коэффициентов.
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы: Гаусса, Гаусса с выбором главного элемента.
7. Обусловленность матрицы линейной системы.
8. Оценка погрешности прямых численных методов решения алгебраических систем.
9. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций, метод Зейделя, метод верхней релаксации.
10. Проблема поиска собственных значений матрицы. Метод вращений для поиска собственных значений самосопряженной матрицы.
11. Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность решения. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона.
12. Оценка погрешности интерполяционных формул, остаточный член интерполяции.
13. Функция Лебега, константа Лебега. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками.
14. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Полином Чебышёва.
15. Сплайны. Интерполяция сплайнами.
16. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности.
17. Квадратурные формулы Гаусса.
18. Методы приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений.
19. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации.
20. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона.
21. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Простейшие численные методы (явный метод Эйлера, неявный метод Эйлера, метод Эйлера с пересчетом).
22. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости.
23. Методы Рунге–Кутты решения систем ОДУ. Устойчивость методов Рунге–Кутты. Экспоненциальная оценка устойчивости, устойчивость при различных типах поведения решения (на устойчивых и «не неустойчивых» траекториях).
24. Правило Рунге оценки погрешности.
25. Понятие жесткой задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ЖС ОДУ). Методы численного решения жестких систем ОДУ: одношаговые

(неявные методы Рунге-Кутты, методы Розенброка) и многошаговые (формулы дифференцирования назад).
26. А-устойчивость, L-устойчивость и монотонность. Функция устойчивости и область устойчивости методов Рунге-Кутты.
27. Линейные многошаговые методы.
28. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы решения линейных краевых задач (метод численного построения общего решения, конечно-разностный метод для линейного уравнения второго порядка, метод прогонки).
29. Методы решения нелинейных краевых задач (метод стрельбы, метод квазилинеаризации).
30. Разностные методы решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Методы построения аппроксимирующих разностных уравнений для уравнений в частных производных. Аппроксимация, устойчивость, сходимость.
31. Приемы исследования разностных задач на устойчивость. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости. Принцип замороженных коэффициентов.
32. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере уравнения переноса и волнового уравнения.
33. Монотонные разностные схемы.
34. Системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Характеристики, инварианты Римана. Корректная постановка краевых условий для системы уравнений с частными производными гиперболического типа.
35. Численные методы решения линейных уравнений в частных производных параболического типа. Явная и неявная схемы. Схема Кранка-Никольсон.
36. Квазилинейное уравнение теплопроводности, его свойства. Консервативные разностные схемы. Приемы построения консервативных разностных схем.
37. Разностные схемы для решения многомерных уравнений теплопроводности. Понятие о методах расщепления. Метод переменных направлений.
38. Численные методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа. Разностная схема “крест” для численного решения уравнений Лапласа, Пуассона.
39. Итерационные методы для численного решения возникающих систем линейных уравнений. Принцип установления для решения стационарных задач.


Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Основная литература
1. Введение в вычислительную математику [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. С. Рябенький
.— 3-е изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2008 .— 288 с.
2. Введение в вычислительную физику [Текст] : [учеб. пособие для вузов] / Р. П. Федоренко ; под ред. А. И. Лобанова .— 2-е изд., испр. и доп. — Долгопрудный : Интеллект, 2008 .— 504 с.
3. 12 лекций по вычислительной математике : вводный курс [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. И. Косарев .— 3-е изд., испр. и доп. — М. : Физматкнига, 2013 .— 240 с.
4. Лекции по вычислительной математике [Текст] : учеб. пособие для вузов / И. Б. Петров, А. И. Лобанов .— М. : Интернет-Ун-т Информ. Технологий : БИНОМ. Лаб. знаний, 2006, 2010, 2013
.— 523 с.
5. Численные методы [Текст] : в 2 кн. : учебник для вузов / Н. Н. Калиткин, Е. А. Альшина .— М.

Академия, 2013 .— (Университетский учебник. Прикладная математика и информатика) .— Кн. 1 : Численный анализ. - 2013. - 304 с.


Дополнительная литература
1. Основы вычислительной математики [Текст] : учеб. пособие для втузов ; доп. М-вом высш. и сред. спец. образования СССР / Б. П. Демидович, И. А. Марон .— 4-е изд.,испр. — М. : Наука, 1970 .— 664 с.
Фонд литературы базовой кафедры

2. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.
3. Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.


Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных
занятий/деятельности 		Деятельность обучающегося
Лекция Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его.
Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Подготовка к промежуточной аттестации При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей.
Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Самостоятельная работа Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Контрольная работа При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное) При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа Самостоятельная работа включает в себя:

- чтение и конспектирование рекомендованной литературы, - проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и научной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения, доказательство отдельных утверждений, свойств; - решение задач, предлагаемых студентам на практических занятиях и в качестве курсового задания, - подготовку к практическим занятиям и зачетам. Руководство и контроль за самотоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций. Показателем владения материалом служит умение решать теоретические и практические задачи. Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания, ощутить взаимосвязь между темами курса. При затруднении изучения отдельных тем, вопросов, следует обращаться за консультациями к лектору или преподавателю, ведущему практические занятия.

Выполнение домашних заданий и групповых проектов Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
 
Retrieved from "https://eduwiki.innopolis.university/index.php?title=BSc:_ComputationalMathematicsADV&oldid=9319"