BSc: MathematicalAnalysis I

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): В.А.Гордин

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций для обучающихся в области прикладной математики, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают модели, использующие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и системы, методы качественного и количественного анализа решений.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является умение применять методы ОДУ к различным математическим, естественно-научным и техническим проблемам.

Задачами дисциплины являются изучение методов теории дифференциальных и разностных уравнений для построения математических моделей различных явлений и их качественного и количественного анализа.

Пререквизиты (Предварительные знания у слушателей)

Предполагается владение математическим анализом в полном объеме, линейной алгеброй в объеме книги И.М.Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» кроме главы о тензорах, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, владение вычислительной математикой в объеме обязательного курса, элементарные сведения из теории вероятностей, умение программировать в среде МАТЛАБ или на Пайтоне. Желательно владение функциональным анализом в объеме элективного курса.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания об основных типах ОДУ и моделях, на них основанных, систематические навыки качественного исследования ОДУ и некоторые сведения и навыки по численному их решению.

Умения: сформированы умения оценивать корректность задач, использующих ОДУ, проводить качественный анализ решения, а в некоторых случаях находить аналитически явные решения, строить алгоритмы численного решения, проводить анализ точности полученных решений и их грубости по отношению к шумам в исходных данных.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
Тема 1.	Введение. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения.	Интегрирование – метод решения уравнения $u'=f(x)$. Стационарное течение жидкости в трубе. Ламинарный и турбулентный режимы. Формула Пуазейля. Число Рейнольдса – безразмерный параметр задачи. Проблемы граничных условий. Течение в кровеносных сосудах. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, движение материальной точки по потоку ветра или течения, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Устойчивость или неустойчивость нулевого решения. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка. Примеры. Итерационные процессы (рекуррентные формулы): банковский процент, последовательность Фибоначчи, метод Герона. Метод Ньютона, его модификации и обобщения. Бассейны притяжения в случаях квадратного и кубического уравнений.
Тема 2.	Задача Коши. Существование, единственность, корректность.	Сведение дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерры. Сжимающее отображение в пространстве функций. Примеры решения дифференциального уравнения итерационным методом Пикара – Линделефа. Теорема Пеано существования решения задачи Коши «в малом» (без док.). Примеры неединственности решения задачи Коши. Теорема существования и единственности, если правая часть липшиц-непрерывна «в малом»; корректность задачи Коши (без док.). Уравнения в вариациях. Пример несуществования решения «в большом». Решение задачи Коши для дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной, с помощью рядов Тейлора. Примеры. Ряд Тейлора для решения уравнения Бесселя.
Тема 3.	Метод разделения переменных.	Теорема об обратной функции. Метод разделения переменных для решения уравнения ${\frac {dy}{dx}}=f(y)$ и для уравнения ${\frac {dy}{dx}}=f(y)\cdot g(x)$. Примеры. Истечение воды из воронки переменного сечения. Вывод уравнения и его решение. Ограничения модели. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Логистическое уравнение Ферхюльста. Разностный вариант. Бифуркации в периодический и хаотический режимы. Жесткий и мягкий планы лова рыбы. .
Тема 4.	Линейные уравнения и системы с постоянными и переменными коэффициентами.	Приведение линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Общее решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных – подпространство и плоскость. Принцип суперпозиции. Сведение уравнения с постоянными коэффициентами к системе. Всегда ли возможно обратное? Характеристический многочлен. Неоднородные дифференциальные уравнения. Экспонента, синус и гиперсинус в правой части. Возможность резонанса. Жорданова клетка в правой части системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Функции от матрицы. Решение в виде экспоненты оператора. Введение в операционное исчисление (преобразование Лапласа). Показание измерительного прибора с учетом его инерции. Динамика показаний инерционного прибора при синусоидальном воздействии. Модели войны армий и орд. Условие в модели войны орд неединственности стационарной точки. Существование и отсутствие первого интеграла. Сепаратриса. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение ОДУ. Формула Эйлера. Классификация линейных двумерных систем ОДУ. Фундаментальная система решений (ФСР) для произвольных линейных уравнения или системы. Теория Вронского. Метод Лагранжа вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем.
Тема 5.	Первые интегралы и фазовые портреты.	Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты завершения процесса. Интегрирование системы. Пружинный маятник. Физический маятник без трения. Фазовые портреты. Первый интеграл. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки. Колебательный и вращательный режимы. Автономные нелинейные уравнения второго порядка «без трения». Первый интеграл и фазовый портрет. Возможные типы стационарных (критических) точек первого интеграла. Лемма Морса (без док.). Маятник с трением. Убывание интеграла механической энергии. Фазовый портрет. Неустойчивость и асимптотическая устойчивость стационарной точки. Маятник с трением и форсингом. Фазовый портрет. Предельный цикл. Примеры систем с устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами. Сечение Пуанкаре для проверки устойчивости предельных циклов. Мультипликаторы. Зависимость амплитуды периодического решения от частоты гармонического форсинга. Связь коэффициента трения и ширины резонансной кривой. Дифференциальное уравнение с разрывной правой частью. Пружинный маятник с трением о стол. Определение аттрактора этой системы. Понятие системы в общем положении; примеры. Аттрактор системы в общем положении для динамических систем размерности 2 и 3.
Тема 6.	Простейшие экологические модели.	Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова. Модель Лотки – Вольтера. Стационарные точки и исследование их устойчивости. Первый интеграл системы (два способа построения). Сравнение теории с экспериментальными данными. Ограничения модели. Задача о двух видах, конкурирующих за общий ресурс.
Тема 7.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения и системы. Пространство решений линейного конечно-разностного уравнения n-го порядка n-мерно. Общее решение для уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Матрица Лесли и предельное распределение популяции по возрастам. Игра с конечной суммой (блуждание частицы). Марковские цепи. Пример нелинейного конечно-разностного уравнения. Метод Герона и метод Ньютона. Метод Ньютона и сверхсжатие для некратных корней.
Тема 8.	Устойчивость и неустойчивость стационарных точек систем.	Устойчивость положения равновесия при t→+∞ для дифференциальных и разностных систем с постоянными коэффициентами. Теория Ляпунова – исследование устойчивости стационарных точек нелинейных систем (без док.). Примеры, когда спектральный метод бессилен. Метод функции Ляпунова.
Тема 9.	Введение в разностные схемы для решения задачи Коши.	Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности схемы.
Тема 10.	Семейства траекторий и решение типа бегущей волны.	Уравнение в вариациях. Гомотопия. Метод стрельбы (пристрелки) для решения краевой задачи. Изменение фазового объема в окрестности траектории. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля, спектр матрицы системы и разбегание траекторий. Вывод уравнения неразрывности. Характеристики. Уравнение переноса и решение типа бегущей волны. Неоднородное уравнение переноса и изменение решения вдоль характеристики. Применение фундаментальной системы решений к интегрированию неоднородных систем – метод Лагранжа вариации постоянных.
Тема 11.	Специальные типы систем ОДУ.	Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры. Принцип наименьшего действия.
Тема 12.	Сингулярные возмущения и релаксационные колебания.	Системы вида Failed to parse (unknown function "\large"): {\displaystyle \large\varepsilon dt\overrightarrow{X}^\large\varepsilon = \vec{g}(\vec{X}^\large\varepsilon, \vec{Y}^\large\varepsilon, \large\varepsilon)} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt\overrightarrow{Y}^\large\varepsilon = \vec{f}(\vec{X}^\large\varepsilon, \vec{Y}^\large\varepsilon, \large\varepsilon)} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < \large\varepsilon \ll 1} .Поверхность вырождения: устойчивые и неустойчивые участки. Фазовый портрет. Чередование быстрых и медленных движений. Периодические режимы. Уравнение Ван дер Поля. .
Тема 7.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.
Тема 7.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.
Тема 7.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.

4. Методические и оценочные материалы

Формы контроля: Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде коротких контрольных работ в начале многих занятий и контрольной работы в середине триместра. Кроме того, будет выдано несколько домашних работ, которые должны выполняться студентом в течение одной недели. Если она сделана в течение второй недели, оценка за нее делится пополам. После второй недели 10-балльная оценка за сданную работу - нулевая. Итоговый контроль осуществляется в виде двух экзаменов, один из которых теоретический, а второй – обсуждение письменной работы и решение задач на компьютере. Веса обоих экзаменов равные. Итоговая оценка по 100-балльной шкале формируется по формуле ${\text{О}}{\text{итог}}=0.3\times {\text{О}}{\text{предв}}+0.2\times {\text{О}}{\text{контр}}+0.5\times {\text{О}}{\text{экз}}$. Округление происходит только для итоговой отметки.

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Пределы последовательностей и функций.	1. Найти предел последовательности $({\sqrt {2}},{\sqrt {2{\sqrt {2}}}},{\sqrt {2{\sqrt {2{\sqrt {2}}}}}},\dots )$, 2. Найти предел $\lim {n\to \infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {2}{n^{2}}}+{\frac {3}{n^{2}}}+\dots +{\frac {n-1}{n^{2}}}\right)$, 3. Обозначим частичную сумму $s_{n}=1-1+1-1+\dots +(-1)^{n}$, найти сумму последовательности по Чезаро: $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}(s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n})$, 4. Найти предел последовательности $\lim _{n\to \infty }({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})$, 5. Найти предел $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(1-\cos(x))}{\sin(x)}}$, 6. Найти предел $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(\sin(x))}{\sin(x)}}$, 7. Найти предел $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{\sin({\sqrt {x}})}}$, 8. Найти предел $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x+3s}{5x+7}}$, 9. Найти предел $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{4}+x^{3}}{12x^{3}+128}}$, 10. Найти предел $\lim _{x\to 1}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}-1}{{\sqrt {x}}-1}}$, 11. Найти предел $\lim _{x\to 64}{\frac {{\sqrt[{3}]{x^{2}}}-16}{{\sqrt {x}}-8}}$.
2.	Отношения порядка и непрерывные функции.	1. Определить порядок $\tan(x)-\sin(x)$ по отношению к $x$ 2. Определить порядок $1-\cos(x)$ по отношению к $x$ 3. Определить порядок объема и порядок площади поверхности шара малого радиуса. 4. Показать что ${\frac {x}{2}}\sim {\sqrt {1+x}}-1$ 5. Показать что ${\frac {1}{1+x}}\sim 1-x$ 6. Показать что $(1+x)^{n}\sim nx,\quad x\to 0$ 7. Показать что $\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-\cos(2x)}{1-\cos(x)}}$ 8. Определить непрерывна ли функция ${\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}$ в точке $x=0$ 9. Непрерывна ли функция $\log(\cos(x)$? 10. Непрерывна ли функция ${\frac {{\sqrt {7+x}}-3}{x^{2}-4}}$? 11. Указать область непрерывности функции ${\frac {\log(1+x)-\log(1-x)}{x}}$ 12. Указать область непрерывности функции $f(x)={\frac {x}{|x|}}$ 13. Дополнить определение функции $f(x)={\frac {e^{x}-x^{-e}}{x}}$ как непрерывной функции.
3.	Производные функций. Геометрический смысл производной.	1. Найти производную функции $y=x^{5}-4x^{3}+2x-3$ 2. Найти производную функции $y={\frac {2x+3}{x^{2}-5x+5}}$ 3. Найти производную функции $y=x\arcsin(x)$ 4. Найти производную функции $y={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$ с $y=x^{3}\log(x)-{\frac {x^{3}}{3}}$ 5. Найти производную функции $y=x^{2}|x|$ 6. Найти производную функции $y={\sqrt[{x}]{x}}$ 7. Найти производную функции $x'(y),$ если $y=3x+x^{3}$ 8. Найти производную функции $y,$ если $x^{3}+y^{3}=a^{3}$ 9. Найти производную функции $y'(x),$ если $(x+y)^{=}27(x-y),\quad x=2,\quad y=1$ 10. Найти производную функции ${\frac {dy}{dx}}$ в точке $t=1$, если $x=t\log(t),\quad y={\frac {\log(t)}{t}}$ 11. Найти угол пересечения парабол $y=x^{2}$ and $y=x^{3}$ 12. Найти угловой коэффициент касательной к кривой $ye^{y}=e^{x+1}$ в точке $(0,1)$ 13. Указать точку, в которой касательная к кривой $y=x^{2}-7x+3$ параллельна прямой $5x+y-3=0$ 14. Написать уравнение для касательной к кривой $y=\tan(2x)$ в точке $(0,0)$
4.	Дифференциалы и производные высших порядков.	"Вычислить дифференциал функции \\(y=e^{-x^2}\\).", 1. Вычислить дифференциал функции $y=e^{-x^{2}}$ 2. Вычислить дифференциал функции y: $y=e^{-x/y}$ 3. Вычислить дифференциал функции y: $y^{2}-y=6x^{2}$ в точке $(1,2)$ 4. Вычислить вторую производную ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ функции, заданной параметрически $x=e^{t}\cos(s),\quad y=e^{t}\sin(t)$. 5. Вычислить вторую производную функции $y=e^{x^{2}}$ 6. Найти дифференциал функции $y={\frac {2}{\sqrt {x}}}$ в точке $x=9$ 7. Вычислить вторую производную ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ функции, заданной параметрически $x=e^{t}\cos(s),\quad y=e^{t}\sin(t)$
5.	Экстремумы функций.	1. Указать интервалы монотонности функции $y=x^{2}(x-3)$ 2. Указать интервалы монотонности функции $y={\frac {x}{x^{2}-6x-16}}$ 3. Указать интервалы монотонности функции $y=x+\sin(x)$ 4. Указать интервалы монотонности функции $y=x\log(x).$ 5. Найти экстремумы функции $y={\frac {(x-2)(8-x)}{x^{2}}}.$ 6. Найти экстремумы функции $y={\frac {e^{x}}{x}}.$ 7. Найти экстремумы функции $y=x-\arctan(x).$ 8. Найти максимумы и минимумы функции $y={\sqrt {x(10-x)}}$ 9. Найти максимумы и минимумы функции $y=\cos ^{4}(x)+\sin ^{x}(x)$ 10. Найти асимптоты кривой $y={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+3}}}$ 11. Найти асимптоты кривой ${\frac {x^{2}+1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ 12. Найти экстремумы, точки перегиба и интервалы монотонности функции $y={\frac {4x}{4+x^{2}}}$ 13. Найти экстремумы, точки перегиба и интервалы монотонности функции $y=xe^{x}$ 14. Найти экстремумы, точки перегиба и интервалы монотонности функции $y=2x-\tan(x)$ 15. Найти экстремумы, точки перегиба и интервалы монотонности функции $y=(2+x^{2})e^{-x^{2}}$ 16. Найти экстремумы, точки перегиба и интервалы монотонности функции $y=\log(x)-\arctan(x)$
6	Первообразная и неопределенный интеграл.	1. Найти неопределенный интеграл $\int {\sqrt {2px}}dx.$ 2. Найти неопределенный интеграл $\int {\frac {dx}{x^{2}+7}}$ 3. Найти неопределенный интеграл $\int \sin(a+bx)dx.$ 4. Найти неопределенный интеграл $\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}},$ используя подстановку $x=1/t$ 5. Найти неопределенный интеграл $\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},$ используя тригонометрическую подстановку 6. Найти неопределенный интеграл $\int {\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}dx$, используя тригонометрическую подстановку 7. Найти неопределенный интеграл, интегрированием по частям $\int e^{ax}\sin(bx)dx$ 8. Найти неопределенный интеграл, интегрированием по частям $\int x\sin(x)dx$ 9. Найти неопределенный интеграл, интегрированием по частям $\int \log ^{2}(x)dx$ 10. Найти неопределенный интеграл, интегрированием по частям $\int {\frac {xdx}{\sin ^{2}(x)}}dx$ 11. Найти неопределенный интеграл, интегрированием по частям $\int \sin(\log(x))dx$
7	Определенные и несобственные интегралы.	1. Найти интеграл или установить его существование $\int _{a}^{\infty }{\frac {dx}{x\log ^{2}(x)}}$ 2. Найти интеграл или установить его существование $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{1-x^{4}}}}$ 3. Найти интеграл или установить его существование $\int _{1}^{2}{\frac {dx}{\log(x)}}.$ 4. Найти интеграл или установить его существование $\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin(bx)dx,\,\,a>0.$ 5. Доказать тождество $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}dx}{\sqrt {x}}}.$ 6. Найти порядок функции при $x\to \infty$: $I(x)=\int _{0}^{\infty }\cos(xt)e^{-x^{3}}dx$ 7. Найти интеграл или установить его существование $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x^{-2})}{x^{2}}}$ 8. Найти интеграл или установить его существование $\int _{0}^{\infty }\cos(xk-k^{3})dk$ 9. Определить существует ли производная ${\frac {du}{dx}},$ где $u(x)=\int _{0}^{\infty }\cos(xk-k^{3})dk$ 10. Определить порядок функции при $x\to \infty$: $I(x)=\int _{0}^{\infty }\cos(xk+k^{3})dk$
8	Элементы теории аппроксимации. Метод сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке.	1. Построить полином Лагранжа функции, с указанными значениями $f(0)=1,\,\,f(2)=4,\,\,f(3)=-1,\,\,f(5)=5.$ 2. Построить полином Лагранжа функции, с указанными значениями $f(-3)=4,\,\,f(-2)=1,\,\,f(0)=3,\,\,f(5)=-1.$ 3. Найти вещественные корни уравнения $x^{3}-2x-5=0$, с точностью 0.01 используя метод Ньютона 4. Найти вещественные корни уравнения $2x-\log(x)-4=0$ с точностью 0.01 используя метод Ньютона 5. Найти вещественные корни уравнения $2^{x}=4x$ с точностью 0.01 используя метод Ньютона 6. Найти корень уравнения $x^{3}-5x+0.1=0$ с точностью 0.01, используя метод сжимающих отображений 7. Найти корень уравнения $x^{5}-x-2=0$ с точностью 0.01, используя метод сжимающих отображений 8. Найти корень уравнения $4x=\cos(x).$ с точностью 0.01, используя метод сжимающих отображений 9. Найти минимальный положительный корень уравнения $\tan(x)=x.$ с точностью 0.01

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Пределы последовательностей и функций. Отношения порядка и непрерывные функции.	Устный опрос, Домашние работы, Письменный тест	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Тестирование (письменное или компьютерное): 1. Две задачи из разделов «Пределы и последовательностей функций» и «Отношения порядка и непрерывные функции». 2. Две задачи из раздела «Отношения и непрерывные функции».
2.	Производные функций. Геометрический смысл производной. Дифференциалы и производные высших порядков. Экстремумы функций.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов Коллоквиум	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: вычисление производной, производные неявных функций, производные функций, заданных параметрически. Производные высших порядков и задачи на экстремумы функций.
3.	Первообразная и неопределенный интеграл. Определенные и несобственные интегралы.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит четыре задачи из соответствующих разделов: Первообразная и неопределенный интеграл. Определенные и несобственные интегралы.
4.	Элементы теории аппроксимации. Метод сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит четыре задачи из раздела: Элементы теории аппроксимации.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Пределы последовательностей и функций.	1. Теорема о существовании предела сходящейся последовательности. Доказательство этой теоремы. 2. Теорема о пределе ограниченной монотонно растущей последовательности. Доказательство этой теоремы. 3. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности. Доказательство этой теоремы. 4. Определение верхнего предела для последовательности.
2.	Отношения порядка и непрерывные функции.	5. Определение непрерывной функции. Примеры непрерывных и разрывных функций. 6. Асимптотические свойства, определения и примеры. 7. Сформулируйте и докажите теорему о промежуточном значении для непрерывных функций. 8. Асимптотические свойства. Определение для O- большого и о- малого. Приведите примеры. 9. Определение асимптотической эквивалентности. Примеры.
3.	Производные функций. Геометрический смысл производной.	10. Объясните геометрический смысл производной. Определите формулу касательной к кривой. 11. Дифференциал функции. Определение и примеры. 12. Объясните обозначение производной высокого порядка с помощью разностного оператора. Примеры использования производной в физике.
4.	Дифференциалы и производные высших порядков.	13. Выведите правила для производной от умножения и дробной части двух функций. Приведите примеры. 14. Выведите правило для производной сложной функции. Приведите примеры. 15. Объясните правило вычисления производной неявной функции. Приведите примеры. 16. Выведите формулу для производной функции в параметрической форме. Приведите примеры."
5.	Экстремумы функций.	17. Сформулируйте и докажите теорему о необходимых условиях для экстремума. Приведите примеры. 18. Теорема о точках экстремума и производных высокого порядка. Покажите примеры для максимального, минимального значения и точки перегиба.
6.	Первообразная и неопределенный интеграл. Определенные и несобственные интегралы.	19. Интегрирование путем подстановки и формула Ньютона-Лейбница. Примеры. 20. Интегрирование по частям и формула Ньютона-Лейбница. Примеры.
7.	Элементы теории аппроксимации. Метод сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке.	21. Формула Тейлора и остаток в форме Пеано. Вывести и показать способы использования. 22. Формула Тейлора для синуса с точностью до членов 5-го порядка с остатком в форме Лагранжа. Оцените остаточный член для данного интервала. 23. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. Вывод формулы для остатка. 24. Интерполяционный полином Лагранжа. Формула для определения погрешности интерполяции. Примеры. 25. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. 26. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. 27. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Объясните счетность и плотность подмножество рациональных чисел.
2. Приведите пример иррационального числа и докажите его иррациональность.
3. Определения ограниченной и сходящейся последовательности, примеры.
4. Теорема о существовании предела сходящейся последовательности. Доказательство этой теоремы.
5. Теорема о пределе ограниченной монотонно растущей последовательности. Доказательство этой теоремы.
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности. Доказательство этой теоремы.
7. Определение верхнего предела для последовательности.
8. Теорема Бернулли о числе e. Доказательство.
9. Различные формы определений функций: явные, неявные и параметрические.
10. Два разных определения предела функции и их эквивалентность. Примеры.
11. Правило приведения переменной к пределу: теорема, доказательство, пример. Контрпример.
12. Определение непрерывной функции. Примеры непрерывных и разрывных функций.
13. Сформулируйте и докажите теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.
14. Асимптотические свойства. Определение для O- большого и о- малого. Приведите примеры.
15. Определение асимптотической эквивалентности. Примеры.
16. Теорема о порядке разности двух асимптотически эквивалентных функций. Доказательство.
17. Объясните геометрический смысл производной. Определите формулу касательной к кривой.
18. Дифференциал функции. Определение и примеры.
19. Объясните обозначение производной высокого порядка с помощью разностного оператора.
20. Примеры использования производной в физике.
21. Выведите производную от sin(x), и tg(x), исходя из определения производной.
22. Выведите производную от x^a для действительного значения параметра a.
23. Выведите правила для производной от умножения и дробной части двух функций. Приведите примеры.
24. Выведите правило для производной сложной функции. Приведите примеры.
25. Объясните правило вычисления производной неявной функции. Приведите примеры.
26. Выведите формулу для производной функции в параметрической форме. Приведите примеры."
27. Выведите формулу для производной обратной функции. Выведите формулу для arcsin(x), arctan(x)"
28. Теорема о существовании обратной функции. Приведите примеры.
29. Лемма Ферма. Доказательство, геометрический смысл и примеры.
30. Теорема Ролля. Доказательство и примеры.
31. Теорема Лагранжа. Доказательство и геометрический смысл.
32. Теорема Коши. Доказательство и использование.
33. Правило Лопиталя. Доказательство и использование для разрешение особенностей.
34. Формула Тейлора и остаток в форме Пеано. Вывести и показать способы использования.
35. Формула Тейлора для гладкой функции. Остаток в форме Лагранжа и оценка остатка для заданного интервала.
36. Формула Тейлора для экспоненциальной функции. Остаток в форме Пеано.
37. Формула Тейлора для синуса с точностью до членов 5-го порядка с остатком в форме Лагранжа. Оцените остаточный член для данного интервала.
38. Формула Тейлора для извлечения квадратного корня из (1 + x) при x->0 с точностью до членов 5-го порядка с остатком в форме Лагранжа. Оцените остаточный член для заданного интервала.
39. Формула Тейлора для четных и нечетных функций вблизи начала координат.
40. Сформулируйте и докажите теорему о необходимых условиях для экстремума. Приведите примеры.
41. Теорема о точках экстремума и производных высокого порядка. Покажите примеры для максимального, минимального значения и точки перегиба.
42. Выпуклая кривая и вторая производная кривой. Приведите примеры.
43. Определение первообразной. Свойства неопределенных интегралов.
44. Интегрирования неопределенных интегралов путем подстановок. Примеры.
45. Вычисления неопределенных интегралов. Интегрирование по частям. Примеры.
46. Геометрический смысл первообразной. Фундаментальная теорема математического анализа.
47. Доказательство теоремы.
48. Интегрирование путем подстановки и формула Ньютона-Лейбница. Примеры.
49. Интегрирование по частям и формула Ньютона-Лейбница. Примеры.
50. Определенный интеграл, как предел суммы Римана. Определение суммы. Геометрический смысл. Примеры.
51. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу и сумм Римана.
52. Теорема о существовании интеграла от непрерывной функции.
53. Интеграл по кривой кривой. Длина кривой. Примеры.
54. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом.
55. Интеграл Римана для неограниченных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
56. Несобственный интеграл на ограниченном интервале. Определение, примеры.
57. Теорема сравнения. Доказательство, использование, примеры.
58. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку. Определение. Примеры: случаи быстро убывающих функций и осциллирующих функций.
59. Теорема сравнения для несобственных интегралов по неограниченному промежутку. Доказательство, примеры.
60. Методы вычисления несобственных интегралов. Замена переменных и интегрирование по частям. Несобственные интегралы осциллирующих функций.
61. Тест Коши. Доказательство, примеры.
62. Тест Дирихле. Доказательство, примеры.
63. Гамма-функция. Определение, свойства. Приближение Муавра-Стирлинга.
64. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. Вывод формулы для остатка.
65. Интерполяционный полином Лагранжа. Формула для определения погрешности интерполяции. Примеры.
66. Численные формулы для аппроксимации производной. Формулы для двухточечных и четырехточечных приближений. Оценка остатка.
67. Численное интегрирование. Прямоугольная и трапециевидная аппроксимации, оценки ошибок.
68. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры.
69. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры.
70. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:
1. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 703 с. — ISBN 978-5-9916-1807-6.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т1. Издательство Лань, 2023, --444 с. -- ISBN 978-5-8114-7583-4, 978-5-8114-5337-5
3. Зорич В.А. Математический анализ, Часть 1, Издательство МЦНМО, 2019, --564 с. --ISBN 978-5-4439-4029-8.

Список дополнительной литературы:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1. Издательство Интеграл-Пресс, 2002, --416 с. --ISBN 5-89602-012-0
2. Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, Издательство Диалектика, 2023, --824 c. --ISBN 9785521805532
3. Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как, интерактивные лекции, поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение -- мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять изученные концепции. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy, что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты, которые требуют применения полученных компетенций в реальных сценариях. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами изученных концепций. Важный элемент курса -- смешанное обучение -- сочетание традиционное очное обучение с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание изученного материала учащимися.