BSc: IntroductionToCombinatoricsAndDiscreteMathematics

From IU
Jump to navigation Jump to search

Введение в комбинаторику и дискретную математику

Квалификация выпускника: бакалавр
Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”
Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ
Программу разработал(а):

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области комбинаторики и дискретной математики, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают основные правила комбинаторики (сложение, умножение, принцип Дирихле, формула включений и исключений), концепции (числа сочетаний и размещений, рекуррентные соотношения, разбиения, формальные степенные ряды и производящие функции).

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины
Задачами дисциплины являются изучение основных правил и концепций комбинаторики для различных прикладных задач.


Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания по комбинаторике и дискретной математики.
Умения:
Навыки (владения):

3. Структура и содержание дисциплины

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины 		Содержание дисциплины по темам
1. Основные правила комбинаторики - правило сложения

- правило умножения

- правило дополнения

- принцип Дирихле

2. Основные комбинаторные величины - размещения с повторениями / без повторений

- сочетания с повторениями/ без повторений

- перестановки

- треугольник Паскаля

- линейный город

- биномиальный и полиномиальный коэффициент

3. Тождества с биномиальными коэффициентами - симметричность

- унимодальность

- рекуррентное соотношение

- Бином Ньютона

- сумма биномиальных коэффициентов (в том числе альтернированная)

- сумма квадратов биномиальных коэффициентов

- сумма степеней натуральных чисел

- формула включений и исключений

- число беспорядков

4. Рекуррентные соотношения - линейные однородные рекуррентные соотношения

- л.о.р.с. для степени 2 с разными корнями

- л.о.р.с. для степени 2 с кратным корнем

- формулировка теоремы в общем случае

- числа Фибоначчи

- формулировка теоремы для неоднородного случая

5. Разбиения - упорядоченные и неупорядоченные разбиения

- диаграммы Юнга

- теоремы Эйлера о равенстве неупорядоченных разбиений

- асимптотика неупорядоченных разбиений

6 Формальные степенные ряды и производящие функции - формальные степенные ряды

- обратимость ряда, пример деления в столбик

- доказательство комб. тождеств при помощи формального степенного ряда

- производящие функции для рекуррентных соотношений

- возведение ряда в степень

- числа Каталана

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины (модуля) 		Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
Основные правила комбинаторики Принцип Дирихле.' Пусть есть ящиков и кроликов. Если расселить кроликов по ящикам, то найдется хотя бы один ящик, в котором окажутся не менее кроликов.


В мешке имеется красных шара, зеленых шаров, синих, желтых и по белых, черных и серых (всего шаров). Сколько шаров необходимо вынуть из мешка, чтобы среди них гарантированно нашлось шаров одного цвета?


Комиссия из человек провела заседаний, причем на каждом заседании присутствовали ровно членов комиссии. Докажите, что найдутся два члена комиссии, по крайней мере дважды встречавшиеся на заседаниях.


В таблице расставлены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более, чем на . Докажите, что среди этих чисел найдутся два равных.


Пусть имеется множество из слов в алфавите из символа. Докажите, что хотя бы одно из слов не короче .


В правильном треугольнике со стороной отмечено пять точек. Докажите, что найдется пара точек, удаленных друг от друга не более, чем на .

Основные комбинаторные величины Пусть . Извлекать элементы из можно по порядку или <<пригорошнями>>. Первые называются размещениями, вторые --- сочетаниями. При этом каждое из них бывает как с повторениями символов, так и без.
    • Размещением без повторений называется любой набор различных объектов , расположенных друг за другом в определенном порядке. Например, слова «лягушка» и «гуляшка» --- это два разных 7-размещения без повторений букв русского алфавита, хотя состоят они из одних и тех же букв.

Размещение с повторениями --- это снова любой набор объектов , расположенных друг за другом в определенном порядке. Только теперь объекты в размещении могут совпадать. Например, «жаба» и «абаж» --- два разных 4-размещения с повторениями из букв русского алфавита.

Сочетания без повторений отличаются от размещений без повторений тем, что в них порядок объектов значения не имеет. Так, «лягушка» и «гуляшка» представляют собой одно и то же 7-сочетание без повторений букв {л, я, г, у, ш, к, а } русского алфавита.

Сочетания с повторениями аналогично, например { ж, а, б, а } = { а, б, а, ж }.


Сформулируйте на языке теории множеств что такое размещение с повторениями/ без повторений и сочетания с повторениями (не используя понятий набор и порядок, разрешается использовать все определения из первых двух листков, например: множество, элемент, подмножество, все виды отображений, декартово произведение).

Докажите формулу для числа размещений без повторений (если вы будете пользоваться правилом умножения, сформулируйте чётко, какие множества A и B вы используете).


(а) Сколько существует шестизначных чисел? (б) Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5? (в) Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых присутствует хотя бы одна чётная цифра?


На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?


балбесов-первокурсников и семинарист пришли в кинотеатр и сели в одном ряду. Семинарист должен сидеть с краю, а Петю, Колю и Васю нельзя сажать втроем. Сколькими способами можно рассадить группу?


Из класса, в котором учатся человек, назначаются на дежурство в столовую человека.


Сколькими способами это можно сделать?


Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадет ученик этого класса Коля Васин?


В группе учатся студентов. Согласно новому указу Минздрава группы нужно вакцинировать.


Сколькими способами это можно сделать?


Выяснилось, что один студент этой группы Коля Васин уже провакцинирован. Сколько теперь существует способов исполнить указ Минздрава?


У королевы есть одинаковых зеркал. Сколькими способами их можно повесить в разных залах замка так, чтобы в каждом зале было хотя бы одно зеркало?


В пекарне продавались вида пирожков: элеши, эчпочмаки, перемячи и кыстыбыи. Сколькими способами можно купить пирожков?


Есть попарно различных чашек и неразличимых стаканов. Также имеется попарно различных ложек и неразличимых кусков сахара. Сколькими способами можно разложить:

а) ложки по чашкам;

б) сахар по чашкам;

в) ложки по стаканам, если ?


На ютуб-канале есть плейлист из лекций по ДМ. Сколькими способами их можно переставить так, чтобы

а) шесть лекций, прочитанных Даниилом Владимировичем, расположились в правильном порядке (но не обязательно подряд)?

б) те же лекции по-прежнему были в правильном порядке, но никакие

в) две из них не шли подряд?


Сколько имеется способов раздать разных цветков, трём девушкам: какой-то --- , а остальным~--- по цветка?


Дано множество . Даны числа , .

  • Сколько можно составить совокупностей из различных -элементных подмножеств множества ?
  • Сколько из этих совокупностей устроены так, что каждое множество в них имеет непустое пересечение с подмножеством ?


Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей карты, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6} карт так, чтобы среди них были все Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4} масти?

Тождества с биномиальными коэффициентами \i

Покажите, что число Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -сочетаний без повторений из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -элементного множества равно


а) Количеству последовательностей из 0 и 1 длины Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} с ровно Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} единицами.

б) (Линейный город) Количеству маршрутов путей из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} , если идти можно только вправо и вверх (стороны прямоугольника Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-k} )

в) (Треугольник Паскаля) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -ому числу в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ой строке треугольника Паскаля (нумерация с Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} )

г) (Бином Ньютона) Коэффициенту при мономе Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^kb^{n-k}} в разложении Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^n} .



Многие из следующих тождеств/сумм можно доказывать/находить несколькими способами:

- через непосредственное определение

- при помощи формулы

- используя интерпретации выше

\i Докажите следующие тождества при целых неотрицательныхFailed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n,k} :

а) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n+1}^k = C_{n}^k+C_{n}^{k-1}}

б) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^k = C_{n}^{n-k}}

в) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{2n}^n = (C_{n}^{0})^2+\ldots+(C_{n}^n)^{2}}


\i Найдите суммы при целых неотрицательных Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n,k,m}  :

а) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^0+ \ldots + C_{n}^n;}

б) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^0-C_n^1 + \ldots +(-1)^n C_{n}^n;}

в) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^0+C_n^2 + C_n^4+\ldots}

г*) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^0+C_n^3 + C_n^6+\ldots}

д) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^1 + 2 C_n^2 + 3 C_n^3 +\ldots + n C_{n}^n;}

е) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{n}^0+\frac{1}{2} C_n^1 + \frac{1}{3} C_n^2 + \ldots + \frac{1}{n+1} C_{n}^n;}

ж) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^n + C_{n+1}^{n} + \ldots + C_{n+m}^{n};}

з) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^k+C_{n+1}^{k}+\ldots+C_{n+m}^{k};}

и) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^k + C_{n+1}^{k+1} + \ldots + C_{n+m}^{k+m};}

к) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_n^0C_m^k+ C_n^1C_m^{k-1}+\ldots+C_n^kC_m^0;}

л) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C_n^1)^2 + 2(C_n^2)^2 + 3(C_n^3)^2 + \ldots + n(C_n^n)^2;}

м*) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{2n}^{n} + 2C_{2n-1}^{n} + 4C_{2n-2}^{n}+ \ldots + 2^nC_n^{n};}

н*) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{2n}^{0} - C_{2n-1}^{1} + C_{2n-2}^{2}+ \ldots + (-1)^nC_n^{n}.}

Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{(n_1,n_2,n_3), n_1+n_2+n_3=5, n_i \in \N } P(n_1,n_2,n_3) (-1)^{n_1+n_2}} .

Посчитайте коэффициенты при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{57}} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{57}} в разложении Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x^2 + x^7 + x^9)^{20}} .


На оси абсцисс разместим (произвольным образом) 2n точек, разобьем множество этих точек на пары (опять-таки, произвольно) и элементы каждой пары соединим дугой, так, как это показано на рисунке. Получившийся объект назовем хордовой диаграммой. Сколько существует различных хордовых диаграмм на 2n точках?

  • Найдите количество чисел, не превосходящих Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1001} и не делящихся ни на одно из чисел Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 11} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 13} .
  • Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(n)} --- функция Эйлера, то есть количество натуральных чисел от Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} до Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , взаимно простых c Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .
    • Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(1)} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(p)} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(p^2)} ; , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} --- простое число, .
    • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(n) = n (1 - \frac{1}{p_1}) \ldots (1-\frac{1}{p_s})} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=p_1^{\alpha_1}\cdot \ldots \cdot p_s^{\alpha_s}} --- каноническое разложение числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .


  • В комнате площади Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6} уложены три ковра площади Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3} каждый (форма комнаты и ковров произвольная). Докажите, что какие-то два из этих трёх ковров перекрываются по площади, не меньшей~Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} .
    • На кафтане расположено пять заплат произвольной формы. Площадь каждой из них больше половины площади кафтана. Тогда площадь общей части некоторых двух заплат большей одной пятой площади кафтана.

(Число беспорядков) На полке стоят 10 книг. Сколькими способами их можно переставить так, чтобы (а) ни одна книга не осталась на своем месте? (б) на месте осталось ровно 4 книги?


Сколькими способами можно расселить 20 туристов по 5 домикам, чтобы ни один домик не оказался пустым?

Сколько существует различных сюръекций из множества X = {1, . . . , k} во множество Y = {1, . . . , n}?

Сколько существует неупорядоченных разбиений k-элементного множества на n подмножеств?


В ряд записали 105 единиц, поставив перед каждой знак «+» . Сначала изменили знак на противоположный перед каждой третьей единицей, затем — перед каждой пятой, а затем — перед каждой седьмой. Найдите значение полученного выражения. 7 ◦ . Сколько существует перестановок чисел от 1 до 7, при которых никакие два рядом расположенных числа не отличаются на 1?


[Задача о мажордомах] К обеду за круглым столом приглашены n пар враждующих рыцарей. Требуется рассадить их так, чтобы никакие два врага не сидели рядом. Сколько существует таких рассадок?


[Задача о паросочетаниях] За круглым столом нужно рассадить n супружеских пар. Сколькими способами это можно сделать, если требуется, чтобы мужчины и женщины чередовались и чтобы ни один муж не сидел рядом со своей женой?

Рекуррентные соотношения Для каждого из следующих линейных рекуррентных соотношений найдите общее решение:

а) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2}- 7a_{n+1}+ 12a_n = 0;}

б) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+3} - 2a_{n+2} - 4a_{n+1} + 8a_n = 0} ;

в) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2} + a_{n+1} + a_n = 0;}

г) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2}- 9a_n = 0;}

д) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+3}+ 3a_{n+2}+ 3a_{n+1} + a_n= 0;}

е) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+3}- 5a_{n+2}+ 12a_{n+1} - 8a_n= 0} .



Найдите решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения

а) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2} = a_{n+1} + a_n + 1} ;

б) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + n + 1} ;

в) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n + 3^n} ?


Числами Фибоначчи называется последовательность Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n,n\geqslant 0} , удовлетворяющая соотношениям Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_0=0} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_1=1} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n=F_{n-1}+F_{n-2}} для всех натуральных .


Задача

Найдите формулу для нахождения Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ого члена последовательности Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n} .


Задача

Найдите

  • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_0+F_1+\ldots+F_n} ;
  • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_0^2+F_1^2+\ldots+F_n^2} ;
  • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_0^3+F_1^3+\ldots+F_n^3} .


Задача

Сколькими способами можно разменять купюру в Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100} рублей на монеты достоинством Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5} рублей? %364


Задача

Найдите рекуррентное соотношение для последовательности Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} , где Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} ---

  • число способов выложить прямоугольник размера
    • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \times 3} ;
    • Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \times 4} доминошками размера Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \times 2} ;
    • число способов выложить колонну Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \times 2\times n} кирпичами размера Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \times 1 \times 1} .


Задача

Сколько существует строк из Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20} нулей и единиц, в каждой из которых никакие два нуля не стоят рядом?


Задача

Докажите, что последовательность с общим членом Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = n^{k-1}} удовлетворяет соотношению Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+k} - C_{k}^1 a_{n+k-1} + C_k^2 a_{n+k-2} - \ldots + (-1)^k C_k^ka_n=0} .


В вершине B шестиугольника ABCDEF сидит лягушка. Каждую секунду лягушка может перепрыгнуть в одну из соседних вершин. Сколькими способами она может допрыгнуть до вершины A за n прыжков?


В центральной клетке левого столбца доски 1000 × 3 стоит шахматный король. Сколькими спо[1]собами он может добраться до правого столбца доски за 999 ходов?

Разбиения \i а) Найдите количество упорядоченных разбиений числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} слагаемых.

б) Найдите общее количество упорядоченных разбиений числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на слагаемые.

в) Какой ответ будет в предыдущих пунктах, если мы разрешим слагаемым принимать значение Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} ?


Обозначим через Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n;n_1,\ldots,n_k)} (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F (n;n_1,\ldots,n_k)} ) количество упорядоченных (соотв. неупорядоченных) разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на слагаемые Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1,\ldots,n_k} .


\ii Справедливы следующие рекуррентные формулы

а) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n;n_1,\ldots,n_k) = f(n-n_1;n_1,\ldots,n_k) + f(n-n_2;n_1,\ldots,n_k) + \ldots + f(n-n_k;n_1,\ldots,n_k)} ;

б) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(n;n_1,\ldots,n_k) = F(n-n_1;n_1,\ldots,n_k) + F(n;n_2,\ldots,n_k)} .

в) Каковы начальные условия в этих формулах?


\i а) Что больше: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(20;1,4,6,9)} или Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(20;1,4,6,9)} ? б) Найдите оба числа, используя рекуррентные формулы.


Диаграмма Юнга --- это конечный набор клеток, выровненных по левой границе, в котором длины строк образуют невозрастающую последовательность (каждая строка такой же длины как предыдущая, или короче). Весом диаграммы Юнга называется общее количество клеток диаграммы. Набор чисел, состоящий из длин строк, задаёт разбиение веса диаграммы в сумму слагаемых. Таким образом, есть соответствие между всеми неупорядоченными разбиениями натурального числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} и всеми диаграммами Юнга веса Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .


\i Сколько существует диаграмм Юнга произвольного веса, но имеющих не более Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} строк и не более Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} столбцов?


\ii На доске написано несколько целых положительных чисел: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_2} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ldots} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} . Пишем на другой

доске следующие числа: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_0} --- сколько всего чисел на первой доске, --- сколько там чисел, больших единицы, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_2} --- сколько там чисел, больших двойки, и т.~д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем --- нули не пишем. На третьей доске пишем числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_0} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_2} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ldots} , построенные по числам второй доски

аналогичным образом. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.


\ii Докажите, что число неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-b} на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c-1} слагаемых, не превосходящих Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , равно числу неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-c} на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b-1} слагаемых, не превосходящих Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} .


\ii Верно ли, что число неупорядоченных разбиений числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} слагаемых равно числу неупорядоченных разбиений числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на слагаемые, максимальное из которых равно Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ?


\ii Докажите, что количество неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на различные нечётные слагаемые равно количеству симметричных диаграмм Юнга веса Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .


\istar Какие натуральные числа можно разбить в сумму нескольких (больше одного) подряд идущих натуральных чисел?

6 Формальные степенные ряды и производящие функции Рассмотрим множество последовательностей Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots)} (здесь Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i} берутся из множества чисел Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} или Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \C} ) и введём на них операции сложения и умножения следующим образом:



Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_0,a_1,\ldots) \cdot (b_0,b_1,\ldots) = (c_0, c_1,\ldots) \text{, где } c_n = \sum_{j=0}^n a_j\cdot b_{n-j};}


\vspace*{-3mm}


\begin{itemize}

\item а) Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1= (1,0,0,\ldots,0,\ldots)} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = (0,1,0,\ldots,0,\ldots)} .

\begin{itemize}

\item 1) Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^2,t^3,\ldots,t^n} .

\item 2) Покажите, что любая последовательность Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots,)} единственным образом представляется в виде Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots} .

\end{itemize}

\item б) Выражения Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots} ( с введёнными операциями сложения и умножения) называют формальными степенными рядами. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0} называют свободным членом ряда.

\begin{itemize}

\item 1) Покажите, что все свойства многочленов (коммутативность по сложению/умножению, ассоциативность, дистрибутивность) переносятся на формальные степенные ряды.

\item 2) Пусть дан ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t)} . Корректна ли операция подстановки вместо Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(t)} ? Ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(t)} без свободного члена?

\end{itemize}

\item в) Определим производную формального степенного ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot t + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots} как ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A' = a_1 + 2a_2 t + \ldots + n a_n t^{n-1} + \ldots} . Производную можно брать несколько раз подряд, через Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{(n)}} обозначается Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ая производная ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .

\begin{itemize}

\item 1) Производная линейна, то есть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\alpha A + \beta B)' = \alpha A' + \beta B'} (здесь Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\beta \in \R} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B} --- формальные степенные ряды).

\item 2) Выполнено тождество Лейбница, то есть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (AB)' = A'B + AB'} .

\item 3) (Ряд Тейлора в нуле). Докажите, что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} --- свободный член ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A^{(n)}}{n!}} .

\end{itemize}

\end{itemize}


\begin{itemize}

\item г) Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=1+t+t^2+\dots} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=1-t+t^2-t^3+\dots} . Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+G} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\cdot G} .

\begin{itemize}

\item 1) Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}t^k} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}t^k} . Найдите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \cdot G} и .

\end{itemize}

\item д) Существует ли два таких ненулевых степенных ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F,G} , что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\cdot G = F+G} ?

\begin{itemize}

\item Ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} называется обратимым, если существует такой ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \cdot G = 1} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} называется рядом, обратным к Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} и обозначается так: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = G^{-1}} .

\end{itemize}

\item е) Докажите, что ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = a_0+ a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3+ \dots} обратим тогда и только тогда, когда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0 \neq 0} , причём обратный ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{-1}} единственен.

\item ё) Найдите коэффициенты ряда $\frac{1}{1-t}$; $\frac1{2-t}$; $\frac1{3+4t}$; $\frac1{(1-t)^{2}}$; $\frac1{(1-t)^{m}}$.

\item ж) Верно ли равенство $\left(\frac{1}{1-t}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{1+t}\right)^2 = \left(\frac{1}{1-t^2}\right)^2$ для формальных степенных рядов?

\begin{itemize}

\item Сформулируйте комбинаторное тождество, получаемое при приравнивании коэффициентов в этих рядах.

\end{itemize}

\item з) При каких условиях на степенной ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} его можно разделить на степенной ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} (то есть уравнение Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \cdot X = F} разрешимо относительно неизвестного степенного ряда )?

\begin{itemize}

\item 1) При каких условиях на степенной ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} разрешимо уравнение Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^2=F} ?

\item 2) Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = \sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k t^k} ---- степенной ряд, задаваемый уравнением Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^2=1+t} . Найдите коэффициенты Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3} .

\end{itemize}

\item и) Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in \R} . Положим Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{\alpha}^n = \frac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n!}} .

\begin{itemize}

\item 1) Если Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in \N, \alpha \geq n} , то Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{\alpha}^n} совпадает с биномиальным коэффициентом.

\item 2) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{\alpha + \beta }^n = \sum_{j=0}^n C_{\alpha}^j \cdot C_{\beta}^{n-j}} .

\item 3) Определим ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+t)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} C_{\alpha}^n t^n} . Покажите, что при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\in \N} определения согласованы.

\item 4) Покажите, что Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+t)^{\alpha} \cdot (1+t)^{\beta} = (1+t)^{\alpha+\beta}} .

\item 5) Используя определение, найдите коэффициенты ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+t)^{\frac{1}{2}}} . Сравните ответ с ответом в задаче предыдущей задаче пункте в.

\end{itemize}

\end{itemize}


  • Вычислите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2 C_n^k {(\frac{1}{17})}^k} .
  • Вычислите Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{F_n}{2^n}} (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n} --- числа Фибоначчи).


Задача

  • Как выглядит производящая функция для числа способов набрать Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} рублей монетами достоинством Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} и Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5} рублей?
  • Тот же вопрос, при условии, что есть всего три 5-рублёвые монеты.


Задача

Найдите производящую функцию для числа

  • упорядоченных разбиений числа Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ;
  • неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ;
  • неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на нечётные слагаемые;
  • неупорядоченных разбиений Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} на попарно различные слагаемые.

Докажите, что функции в последних двух пунктах совпадают.


Задача

  • Докажите тождество Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4^n = \sum\limits_{i=0}^n C_{2i}^{i} \cdot C_{2(n-i)}^{n-i}} .
  • Вычислите сумму Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C_n^0)^2-(C_n^1)^2+\ldots+(-1)^n(C_n^n)^2} .

Теорема Коши-Адамара. Пусть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1R = {\overline{\lim\limits_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_n|}}} . Тогда ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nt^n} сходится при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |t|<R} и расходится при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |t|>R} , таким образом функция Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nt^n} определена в каждой точке множества Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{t \mid |t| < R\}} . Число Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} называется радиусом сходимости ряда.


Найдите радиус сходимости ряда Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} t^n} , \pu Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot t^n} , \pu Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n t^n} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{1-t^2}} .



Приведите пример, когда на границе ряда (то есть при Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |t|=R} ) есть Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle сходимость в обеих точках; \sum_{n=0}^{\infty} расходимость в обеих точках; \sum_{n=0}^{\infty} сходимость в одной точке и расходимость в другой точке} .



Найдите производящую функцию для последовательности Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n} . \pu Какой у неё радиус сходимости?



В каких точках действительной прямой сходится ряд Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n} , где задано следующим образом?

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=\begin{cases} 3 \cdot (-6)^n + 4\cdot 3^n, & n=3k, k \in \N; \\ 5 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^n + 2 \cdot 2^n, & n=3k+1, k \in \N; \\ 6 \cdot (-3)^n, & n=3k+2, k \in \N. \end{cases}}


Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№
п/п 		Наименование раздела
дисциплины 		Форма текущего контроля
 Материалы текущего контроля

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№
п/п 		Наименование
раздела дисциплины 		Вопросы

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1.
2.
3.
...
48.
49.
50.
...

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

Список дополнительной литературы:

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных
занятий/деятельности 		Деятельность обучающегося

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
 
Retrieved from "https://eduwiki.innopolis.university/index.php?title=BSc:_IntroductionToCombinatoricsAndDiscreteMathematics&oldid=9331"