BSc: DifferentialAndPartialDifferentialEquations

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): В.А.Гордин

1. Краткая характеристика дисциплины

Курс «Дифференциальные уравнения» включает в себя основные теоремы, аналитические методы исследования уравнений и систем, дифференциальных и разностных, основные методы численного решения начальных и краевых задач, примеры практических задач, сводящихся к качественному исследованию или численному решению дифференциальных уравнений или систем.
Данный курс должен помочь студентам воспринимать динамические модели и задачи оптимизации, изучаемые по данной специальности, а в будущем – самостоятельно разрабатывать, анализировать и обсчитывать аналогичные модели и задачи такого рода.
Студентам в дальнейшем предстоит, в частности, изучать задачи оптимизации (вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина), сводящиеся к решению обыкновенных уравнений или систем. Некоторые из методов, изучаемых в курсе, будут изучаться студентами более подробно в курсах оптимизации, численных методов и уравнений в частных производных. Данный курс должен дать для этого надлежащую подготовку.
Ко многим разделам курса будут предлагаться геометрические иллюстрации и примеры экономического, экологического, социологического и физического содержания.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем, их геометрическими интерпретациями и приложениями к прикладным задачам, методами их составления, анализа и численного определения решений.

Задачами дисциплины являются изучение методов теории дифференциальных и разностных уравнений для построения математических моделей различных явлений и их качественного и количественного анализа.

Пререквизиты (Предварительные знания у слушателей)

Изучение курса «Дифференциальные уравнения» требует предварительные знания по математическому анализу, линейной алгебре и аналитической геометрии в объеме, предусмотренном программой обучения за 1 курс, а также навыков программирования. Он читается параллельно с продолжающимися курсами математического анализа и программирования – знания и навыки, получаемый там, будут использоваться в данном курсе. Содержание программы по математике за среднюю школу предполагается безусловно известным.
Предполагается владение математическим анализом в полном объеме, линейной алгеброй в объеме книги И.М.Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» кроме главы о тензорах, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, владение вычислительной математикой в объеме обязательного курса, элементарные сведения из теории вероятностей, умение программировать в среде МАТЛАБ или на Пайтоне. Желательно владение функциональным анализом в объеме элективного курса.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания об основных типах ОДУ и моделях, на них основанных, систематические навыки качественного исследования ОДУ и некоторые сведения и навыки по численному их решению.

Умения: сформированы умения оценивать корректность задач, использующих ОДУ, проводить качественный анализ решения, а в некоторых случаях находить аналитически явные решения, строить алгоритмы численного решения, проводить анализ точности полученных решений и их грубости по отношению к шумам в исходных данных.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
Тема 1.	Введение. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения.	Интегрирование – метод решения уравнения $u'=f(x)$. Стационарное течение жидкости в трубе. Ламинарный и турбулентный режимы. Формула Пуазейля. Число Рейнольдса – безразмерный параметр задачи. Проблемы граничных условий. Течение в кровеносных сосудах. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, движение материальной точки по потоку ветра или течения, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Устойчивость или неустойчивость нулевого решения. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка. Примеры. Итерационные процессы (рекуррентные формулы): банковский процент, последовательность Фибоначчи, метод Герона. Метод Ньютона, его модификации и обобщения. Бассейны притяжения в случаях квадратного и кубического уравнений.
Тема 2.	Задача Коши. Существование, единственность, корректность.	Сведение дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерры. Сжимающее отображение в пространстве функций. Примеры решения дифференциального уравнения итерационным методом Пикара – Линделефа. Теорема Пеано существования решения задачи Коши «в малом» (без док.). Примеры неединственности решения задачи Коши. Теорема существования и единственности, если правая часть липшиц-непрерывна «в малом»; корректность задачи Коши (без док.). Уравнения в вариациях. Пример несуществования решения «в большом». Решение задачи Коши для дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной, с помощью рядов Тейлора. Примеры. Ряд Тейлора для решения уравнения Бесселя.
Тема 3.	Метод разделения переменных.	Теорема об обратной функции. Метод разделения переменных для решения уравнения ${\frac {dy}{dx}}=f(y)$ и для уравнения ${\frac {dy}{dx}}=f(y)\cdot g(x)$. Примеры. Истечение воды из воронки переменного сечения. Вывод уравнения и его решение. Ограничения модели. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Логистическое уравнение Ферхюльста. Разностный вариант. Бифуркации в периодический и хаотический режимы. Жесткий и мягкий планы лова рыбы. .
Тема 4.	Линейные уравнения и системы с постоянными и переменными коэффициентами.	Приведение линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Общее решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных – подпространство и плоскость. Принцип суперпозиции. Сведение уравнения с постоянными коэффициентами к системе. Всегда ли возможно обратное? Характеристический многочлен. Неоднородные дифференциальные уравнения. Экспонента, синус и гиперсинус в правой части. Возможность резонанса. Жорданова клетка в правой части системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Функции от матрицы. Решение в виде экспоненты оператора. Введение в операционное исчисление (преобразование Лапласа). Показание измерительного прибора с учетом его инерции. Динамика показаний инерционного прибора при синусоидальном воздействии. Модели войны армий и орд. Условие в модели войны орд неединственности стационарной точки. Существование и отсутствие первого интеграла. Сепаратриса. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение ОДУ. Формула Эйлера. Классификация линейных двумерных систем ОДУ. Фундаментальная система решений (ФСР) для произвольных линейных уравнения или системы. Теория Вронского. Метод Лагранжа вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем.
Тема 5.	Первые интегралы и фазовые портреты.	Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты завершения процесса. Интегрирование системы. Пружинный маятник. Физический маятник без трения. Фазовые портреты. Первый интеграл. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки. Колебательный и вращательный режимы. Автономные нелинейные уравнения второго порядка «без трения». Первый интеграл и фазовый портрет. Возможные типы стационарных (критических) точек первого интеграла. Лемма Морса (без док.). Маятник с трением. Убывание интеграла механической энергии. Фазовый портрет. Неустойчивость и асимптотическая устойчивость стационарной точки. Маятник с трением и форсингом. Фазовый портрет. Предельный цикл. Примеры систем с устойчивыми и неустойчивыми предельными циклами. Сечение Пуанкаре для проверки устойчивости предельных циклов. Мультипликаторы. Зависимость амплитуды периодического решения от частоты гармонического форсинга. Связь коэффициента трения и ширины резонансной кривой. Дифференциальное уравнение с разрывной правой частью. Пружинный маятник с трением о стол. Определение аттрактора этой системы. Понятие системы в общем положении; примеры. Аттрактор системы в общем положении для динамических систем размерности 2 и 3.
Тема 6.	Простейшие экологические модели.	Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова. Модель Лотки – Вольтера. Стационарные точки и исследование их устойчивости. Первый интеграл системы (два способа построения). Сравнение теории с экспериментальными данными. Ограничения модели. Задача о двух видах, конкурирующих за общий ресурс.
Тема 7.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения и системы. Пространство решений линейного конечно-разностного уравнения n-го порядка n-мерно. Общее решение для уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Матрица Лесли и предельное распределение популяции по возрастам. Игра с конечной суммой (блуждание частицы). Марковские цепи. Пример нелинейного конечно-разностного уравнения. Метод Герона и метод Ньютона. Метод Ньютона и сверхсжатие для некратных корней.
Тема 8.	Устойчивость и неустойчивость стационарных точек систем.	Устойчивость положения равновесия при t→+∞ для дифференциальных и разностных систем с постоянными коэффициентами. Теория Ляпунова – исследование устойчивости стационарных точек нелинейных систем (без док.). Примеры, когда спектральный метод бессилен. Метод функции Ляпунова.
Тема 9.	Введение в разностные схемы для решения задачи Коши.	Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности схемы.
Тема 10.	Семейства траекторий и решение типа бегущей волны.	Уравнение в вариациях. Гомотопия. Метод стрельбы (пристрелки) для решения краевой задачи. Изменение фазового объема в окрестности траектории. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля, спектр матрицы системы и разбегание траекторий. Вывод уравнения неразрывности. Характеристики. Уравнение переноса и решение типа бегущей волны. Неоднородное уравнение переноса и изменение решения вдоль характеристики. Применение фундаментальной системы решений к интегрированию неоднородных систем – метод Лагранжа вариации постоянных.
Тема 11.	Специальные типы систем ОДУ.	Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры. Принцип наименьшего действия.
Тема 12.	Сингулярные возмущения и релаксационные колебания.	Системы вида $\varepsilon dt{\overrightarrow {X}}^{\varepsilon }={\vec {g}}({\vec {X}}^{\varepsilon },{\vec {Y}}^{\varepsilon },\varepsilon )$, $dt{\overrightarrow {Y}}^{\varepsilon }={\vec {f}}({\vec {X}}^{\varepsilon },{\vec {Y}}^{\varepsilon },\varepsilon )$, где $0<\varepsilon \ll 1$.Поверхность вырождения: устойчивые и неустойчивые участки. Фазовый портрет. Чередование быстрых и медленных движений. Периодические режимы. Уравнение Ван дер Поля.
Тема 13.	Конечно-разностные уравнения и системы.	Формула Тейлора. Интерполяционный полином Лагранжа. Численная производная двухточечная и четырехточечная формулы для численной производной. Численное интегрирование. Оценки погрешностей численной производной и интеграла. Определение неподвижной точки. Теорема о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Сжимающее отображение. Определение. Теорема Банаха о неподвижной точке. Доказательство, примеры. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Условия сходимости метода. Примеры.
Тема 14.	Системы с несколькими первыми интегралами.	Центральная сила. Примеры. Секториальная скорость и доказательство второго закона Кеплера. Эффективная потенциальная энергия. Сохранение энергии радиального движения. Определение фазы. Апоцентр и перицентр. Условие периодичности орбиты. Первый и третий законы Кеплера, Бертрана и Кенига – без док. Сохранение импульса для замкнутой системы. Движение центра масс. Сохранение момента импульса замкнутой системы. Случай сохранения проекции момента импульса в некоторых незамкнутых системах. Сохранение энергии в задаче N-тел. Полная интегрируемость в задаче 2 тел.
Тема 15.	Обобщенные функции.	Основные функции (варианты пространства). Пример Коши и разбиение единицы.Топология в пространстве основных функций. Неметризуемость этой топологии.Умножение обобщенной функции на гладкую.Дельта-функция.Обобщенные функции типа функции и другие.Носитель и сингулярный носитель. Примеры.Слабое дифференцирование обобщенных функций. Примеры.Решение ОДУ в пространстве обобщенных функций. Сравнение с классическим решением. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Тема 16.	Простейшие задачи вариационного исчисления.	Задача согласования информации о координате и скорости. Задача Дидоны. Цепная линия. Катеноид. Брахистохрона. Геодезические. Принцип Ферма и рефракция. Непрерывные и гладкие функционалы. Первая вариация. Необходимое условие экстремума гладкого функционала – равенство нулю первой вариации. Примеры недостаточности этого условия. Вывод уравнения Эйлера. Граничные условия трансверсальности. Условный экстремум и множители Лагранжа. Вторая вариация. Задачи со старшими производными, несколькими функциями и в частных производных. Принцип наименьшего действия. Примеры.

4. Методические и оценочные материалы

Формы контроля: Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде коротких контрольных работ в начале многих занятий и контрольной работы в середине триместра. Кроме того, будет выдано несколько домашних работ, которые должны выполняться студентом в течение одной недели. Если она сделана в течение второй недели, оценка за нее делится пополам. После второй недели 10-балльная оценка за сданную работу - нулевая. Итоговый контроль осуществляется в виде двух экзаменов, один из которых теоретический, а второй – обсуждение письменной работы и решение задач на компьютере. Веса обоих экзаменов равные. Итоговая оценка по 100-балльной шкале формируется по формуле ${\text{О}}{\text{итог}}=0.3\times {\text{О}}{\text{предв}}+0.2\times {\text{О}}{\text{контр}}+0.5\times {\text{О}}{\text{экз}}$. Округление происходит только для итоговой отметки. Кроме того на протяжении курса студентам выдаются домашние задания, где решение требует комбинированного подхода: аналитические соображения + численная компьютерная реализация. Задачи, как правило, содержат индивидуальный параметр Y или параметры.

Задания для практических занятий:

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации: Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008. Несколько тысяч задач имеется в тексте книг: 1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002. 2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016. 3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013. 4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024. |}

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Основная литература

Тема 1.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, УРСС 2012.
   
3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука - Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, ЛитРес, 2022.

Тема 2.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука - Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, ЛитРес, 2022.
   

Тема 3.

1. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука - Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, ЛитРес, 2022.
   
3. Г.М.Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 1. М., Физматгиз, 1963, Лань 2023.
   
4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир, 2001.
   

Тема 4.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. Оболенский А. Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений — М.; Ижевск, 2006.
   
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука - Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, ЛитРес, 2022.
   

Тема 5.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010, 2013.
   
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука - Физматлит, 1970, Изд. МГУ, 1984. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, ЛитРес, 2022.
   
5. Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.
   

Тема 6.

1. В.И. Арнольд, «Жесткие и мягкие математические модели», М., МНЦМО, 2000.
   
2. В.Вольтерра: Математическая теория борьбы за существование.} М., ``Наука", 1976.
   
3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
4. А.А.Самарский, А.П.Михайлов: Математическое моделирование. Физматлит, М., 2002.
   
5. Ю.М.Свирежев, Д.О.Логофет: Устойчивость биологических сообществ. ``Наука, М., 1978.
   

Тема 7.

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, УРСС 2012.
   
2. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.
   
3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   

Тема 8.

1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, , УРСС 2012.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука, 1981.
   
4. Зайцев В.Ф., Полянин A.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Факториал, 1997.
   
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань, 2003.
   

Тема 9.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука, М., 1987.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.
   

Тема 10.

1. Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ 2010, 2013.
   

Тема 11.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   

Тема 12.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, М. «Факториал Пресс», 2005.
   
2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.
   

Тема 13.

1. Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975.
   

Тема 14.

1. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.
   
2. В.А.Гордин. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. Изд. Дом ВШЭ, М., 2016.
   
3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика, ``Наука, М., 1965, 1988.
   

Тема 15.

1. М.С.Агранович. Обобщенные функции. М.: МЦНМО, 2008.
   
2. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
   
3. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
   
4. Л.Шварц. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.
   
5. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Второй спецкурс. М.: Наука, 1965.
   

Тема 16.

1. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.: Изд. ЛГУ, 1980.
   
2. И.М.Гельфанд, С.В.Фомин Лекции по вариационному исчислению. М.: Физматгиз, 1961
   
3. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
   

Дополнительная литература

Тема 1.

1. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.
   

Тема 2.

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979.
   
2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.
   

Тема 3.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань, 2003.
   
2. Зайцев В.Ф., Полянин A.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Факториал, 1997.
   

Тема 5.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, М. «Факториал Пресс», 2005.
   
2. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука, 1981.
   
3. В.И.Арнольд, Ю.С.Ильяшенко: Обыкновенные дифференциальные уравнения. В сб. Динамические системы. т.1. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., ВИНИТИ, 1985.
   
4. Зайцев В.Ф., Полянин A.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Факториал, 1997.
   
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань, 2003.
   
6. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика, ``Наука, М., 1965, 1988.
   

Тема 6.

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.
   
2. А.С.Братусь, С.В.Дрожжин, Т.С.Якушкина. Математические модели эволюции и динамики репликаторных систем. М., Ленанд, 2022.
   

Тема 7.

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.
   
2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.
   

Тема 8.

1. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.
   

Тема 9.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань, 2003.
   
2. Р.П.Федоренко: Лекции по вычислительной физике. М., МФТИ, 1994, 2008.
   

Тема 10.

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.
   
2. И.М.Гельфанд. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. № 2, С.87-158.
   

Тема 11.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, М. «Факториал Пресс», 2005.
   
2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука, М., 1989.
3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука, М., 1965, 1988.
   

Тема 12.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; СПб.: "Лань, 2003.
   

Тема 14.

1. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин: Теория колебаний, М., Физматгиз, 1959, ``Наука, 1981.
   
2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука, М., 1989.
   

Тема 16.

1. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Иностранная литература, 1950.
   
2. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.--Л.: ГИТТЛ, 1950.
   

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Основное содержание лекции излагается устно + на презентациях + дополняется записями на доске. Презентации, как правило, рассылаются студентам перед очередной лекцией. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата, владения техникой программирования, умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте. В начале лекционного занятия, как правило, проводится письменная блиц-контрольная. После того, как студенты сдают работы ассистенту, я разбираю решения задач. Потом начинается основная лекция.