BSc: ProbabilityTheory

Теория вероятностей

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а):

1. Краткая характеристика дисциплины

В курс включены все базовые определения и утверждения теории вероятностей от колмогоровской аксиоматики до многомерных предельных теорем. Курс предназначен для математиков и предполагает знание основ теории меры, комбинаторики и математического анализа.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является освоение основных современных методов теории вероятностей.

Задачами дисциплины являются

• освоение студентами базовых знаний (понятий, концепций, методов и моделей) в теории вероятностей;

• приобретение теоретических знаний и практических умений и навыков в теории вероятностей;

• оказание консультаций и помощи студентам в проведении собственных теоретических исследований в теории вероятностей.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания, включая фундаментальные понятия, законы теории вероятностей; современные проблемы соответствующих разделов теории вероятностей; понятия, аксиомы, методы доказательств и доказательства основных теорем в разделах, входящих в базовую часть цикл; основные свойства соответствующих математических объектов; аналитические и численные подходы и методы для решения типовых прикладных задач теории вероятностей.

Умения: сформированы умения понять поставленную задачу; использовать свои знания для решения фундаментальных и прикладных задач; оценивать корректность постановок задач; строго доказывать или опровергать утверждение; самостоятельно находить алгоритмы решения задач, в том числе и нестандартных, и проводить их анализ; самостоятельно видеть следствия полученных результатов; точно представить математические знания в теории вероятностей в устной и письменной форме.

Навыки (владения): сформировано владение навыками освоения большого объема информации и решения задач ( в том числе, сложных); навыками самостоятельной работы и освоения новых дисциплин;

культурой постановки, анализа и решения математических и прикладных задач, требующих для своего решения использования математических подходов и методов; предметным языком дискретной математики и навыками грамотного описания решения задач и представления полученных результатов.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Свойства вероятности при таком определении. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече, задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Порядковые статистики. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Случайное блуждание. Симметричное случайное блуждание. Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность распределения. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания. Математическое ожидание функции от случайной величины. Неравенства Маркова и Чебышёва. Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой.

4. Методические и оценочные материалы

«'Задания для практических занятий:«'

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Множество из $n$ шаров случайно раскладывают по $m$ ящикам. Найдите вероятность того, что все ящики непустые, если шары различимы. В группе 25 студентов. Считаем, что день рождения каждого студента случаен (пусть в году 365 дней). Найдите вероятность того, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадают. Некоторые жители города N считают трамвайный билет ``счастливым``, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить ``счастливый`` билет. На шахматной доске размера $n\times n$ случайно размещают $n$ ладей. Найдите вероятности следующих событий: $A=\{$ладьи не бьют друг друга$\}$; $B=\{$ладьи не бьют друг друга, и на главной диагонали нет никаких фигур$\}$. В карточной игре покер игрок получает 5 карт из колоды в 52 карты. Задача игрока --- собрать наиболее сильную комбинацию карт. Комбинации бывают следующие: пара --- две карты одного номинала; две пары --- две карты одного номинала, две карты --- другого; тройка --- три карты одного номинала; стрит --- пять последовательных по номиналу карт (предполагается, что за тузом по номиналу следует двойка); флэш --- все карты одной масти; три+два --- три карты одного номинала, две карты --- другого; каре --- четыре карты одного номинала; стрит-флэш --- пять последовательных по номиналу карт одной масти; ройал-флэш --- туз, король, дама, валет и десятка одной и той же масти. Найдите вероятность получения каждой из перечисленных комбинаций при случайной сдаче карт. Вычислите вероятность того, что не выпадет ни одна из вышеперечисленных комбинаций. В веб-поиске при решении различных задач машинного обучения часто используется статистический метод, который называется бутстрэппинг. Суть состоит в следующем. Предположим, что у нас есть $N$ веб-страниц. Мы хотим узнать, насколько наш алгоритм устойчив. Для этого выбираются случайно $N$ страниц (некоторые могут совпадать) большое количество раз (в этом случае говорят, что генерируется $M$ выборок размера $N$). Если выбор производится упорядоченно, то найдите вероятность того, что первая страница встречается в одной такой выборке $k$ раз, а вторая --- $r$ раз.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Случайная точка $A$ имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найдите вероятность того, что расстояние от точки $A$ до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит $x.$ На $n$-мерной сфере случайно выбрана $n+1$ точка. Найдите вероятность того, что их выпуклая оболочка не содержит центра сферы. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более, чем 1, можно составить треугольник. В круге радиуса $R$ случайно проводится хорда. Обозначим через $\xi$ ее длину. Найдите вероятность ${P}\left(\xi >{\sqrt {3}}R\right)$, если середина хорды равномерно распределена в круге; направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению; один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности. Случайная точка $A$ имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найдите вероятности следующих событий: расстояние от точки $A$ до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит $x$; расстояние от точки $A$ до любой стороны прямоугольника не превосходит $x$; расстояние от точки $A$ до ближайшей стороны прямоугольника меньше, чем расстояние от $A$ до ближайшей диагонали.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Брошено 3 игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала ``шестерка`` при условии, что на первой кости выпала ``шестерка``. Мимо магазина пончиков проходят юноши с частотой 0.6, девушки -- с частотой 0.3, преподаватели -- с частотой 0.1. Юноши покупают пончик с вероятностью 0.4, девушки -- с вероятностью 0.9, преподаватели -- с вероятностью 0.2. Известно, что последний человек купил пончик. Найдите условную вероятность того, что пончик приобрел преподаватель. Брошено 3 игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпала ``шестерка`` при условии, что по крайней мере на одной кости выпала ``шестерка``; по крайней мере на двух костях выпало равное количество очков. В одном ящике содержится 1 белый шар и 2 черных шара, а в другом ящике --- 2 белых шара и 3 черных шара. В третий ящик кладут два шара, случайно выбранных из первого ящика, и два шара, случайно выбранных из второго ящика. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из третьего ящика шар будет белым; при выборе без возвращения двух шаров из третьего ящика один из них будет будет белым, а второй --- черным. Из урны, содержащей $a$ белых и $b$ черных шаров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти вероятность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары извлекаются по схеме равновероятного выбора с возвращением; по схеме равновероятного выбора без возвращения. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства $P(B|A)+P(B|{\overline {A}})=1,$ $P(B|A)+P({\overline {B}}|{\overline {A}})=1$ неверны. Группа из 15 человек сдает экзамен по теории вероятностей. В программе 31 билет, пять из которых студенты считают халявными. Каким по очереди нужно заходить в аудиторию, чтобы с наибольшей вероятностью вытянуть халявный билет? Во время испытаний аппарата на макаронной фабрике было установлено, что вероятность его взрыва при отсутствии помех равна 0,01, при перегреве --- 0,05, при вибрации --- 0,1, при вибрации и перегреве --- 0,2. Найти вероятность взрыва на макаронной фабрике при работе в жарких странах (вероятность перегрева равна 0,2, вероятность вибрации --- 0,1, вероятность перегрева и вибрации вместе --- 0.02). Из совокупности всех подмножеств множества $S=\{1,2,...,N\}$ по схеме выбора с возвращением выбираются множества $A_{1}$ и $A_{2}.$ Найти условную вероятность того, что множества $A_{1}$ и $A_{2}$ состоят из $l_{1}$ и $l_{2}$ элементов соответственно при условии, что они не пересекаются. Из ящика, содержащего черные и белые шары, извлекаются шары. Пусть событие $A_{k}$ означает, что на $k$-м шаге извлечен белый шар. Докажите, что события $A_{1},\ldots ,A_{n}$ независимы в совокупности, если выбор шаров производится с возвращением; зависимы, если выбор шаров производится без возвращения. Два игрока проводят серию независимых испытаний. В каждом испытании игрок $A$ подбрасывает 3 игральные кости, а игрок $B$ --- 2 кости одновременно с игроком $A$ и независимо от него. Эти испытания они проводят последовательно до первого выпадения ``шестерки`` хотя бы на одной из костей. Найдите вероятности следующих событий ${\cal {C}}=\{$впервые ``шестерка`` выпала у игрока $B$, а не у $A\}$; ${\cal {D}}=\{$впервые ``шестерка`` выпала одновременно у $A$ и $B\}$. Пусть $A,B,C$ --- попарно независимые равновероятные события, причем $A\cap B\cap C=\varnothing$. Найдите максимально возможное значение ${P}(A)$. Дано множество $S$ из $n$ элементов. Из него случайно и независимо выбираются три подмножества $A,B,C$. Каждое случайное подмножество формируется следующим образом: каждый элемент множества $S$ независимо от других с вероятностью $p$ включается в подмножество, а с вероятностью $(1-p)$ --- не включается (этот процесс повторяется три раза, сначала для множества $A$, затем для $B$ и, наконец, для $C$). Найдите вероятность события $D=\{A\cap B\subseteq C\subseteq A\cup B\}$. Пользователь социальной сети каждый день просматривает стену одного из своих 7 друзей с вероятностью $p_{i},\;i=1,\ldots ,7,$ $\nu$ --- номер первой недели, за которую он просмотрит стены всех семерых своих друзей. Найти вероятность того, что в понедельник $\nu$-той недели он просмотрит стену первого своего друга. Ребра полного графа $K_{n}$ на $n$ вершинах независимо друг от друга раскрашиваются с равной вероятностью ${\frac {1}{k}}$ в любой из $k$ цветов. Пусть $V$ --- множество вершин графа $K_{n}$, а $S\subset V$. Обозначим через $A_{S}$ следующее событие: $A_{S}=\{$все ребра $K_{n}$, обе вершины которых принадлежат $S$, покрашены в один и тот же цвет$\}$. При каких условиях на взаимное расположение подмножеств $S,T\subset V$ события $A_{S}$ и $A_{T}$ независимы?
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Пусть $\{S_{n},\;n\in \mathbb {N} \}$ -- простейшее случайное блуждание на прямой. Найти ${P}(S_{n}=x).$ Пусть на плоскости заданы целочисленные точки $A=(a,\alpha )$ и $B=(b,\beta ),$ причем $b>a\geq 0,$ $\alpha >0,$ $\beta >0.$ Тогда число путей из $A'=(a,-\alpha )$ в $B=(b,\beta )$ равно числу путей из $A$ в $B,$ которые касаются нулевого уровня или пересекают его (иными словами, прямую $(\cdot ,0)$). (Лемма о баллотировке) Пусть $x,n\in \mathbb {N} .$ Тогда доля путей из $(0,0)$ в $(n,x),$ которые не пересекают нулевой уровень, от общего числа путей из $(0,0)$ в $(n,x)$ составляет ${\frac {x}{n}}.$ Найти вероятность того, что симметричное случайное блуждание никогда не возвратится в 0. Иными словами, найти $\lim \limits _{n\to \infty }{P}(S_{2}\neq 0,\ldots ,S_{2n}\neq 0).$ Пусть $(S_{n};n\in \mathbb {N} )$ --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя принцип отражения, докажите, что ${P}\left(\max \limits _{k\leq n}S_{k}\geq N;S_{n}<N\right)={P}(S_{n}>N).$ Пусть $(S_{n};n\in \mathbb {N} )$ --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 3, найдите распределение случайной величины $M_{n}=\max \limits _{k\leq n}S_{k}$ и найдите асимптотику ${E}M_{n}$ при $n\rightarrow \infty .$ Пусть $(S_{n};n\in \mathbb {N} )$ --- случайное блуждание с вероятностью шага вправо $p$ и шага влево $q$, $p+q=1.$ Докажите, что для $m\leq N$ выполнено ${P}\left(\max \limits _{k\leq n}S_{k}\geq N;S_{n}=m\right)=C_{n}^{u}p^{v}q^{n-v},$ где $v=(n+m)/2,u=v-N.$ Пусть $(S_{n},n\in \mathbb {N} )$ --- симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 3, докажите равенство ${P}\left(\max \limits _{k\leq n}S_{k}=N;S_{n}=m\right)={P}(S_{n}=2N-m)-{P}(S_{n}=2N-m+2).$ Пусть случайное блуждание $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i},$ где $\xi _{i},\;i=1,\ldots ,n,$ независимы в совокупности и ${P}(\xi _{i}=a)=p,\;{P}(\xi _{i}=-b)=1-p,$ $a,b\in \mathbb {N} .$ Найти ${P}(S_{n}=x).$
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Случайно бросаются два $M$-гранных кубика, на гранях которых написаны числа от 1 до $M$. Опишите вероятностное пространство, события в котором соответствуют всем возможным исходам в таком эксперименте. Найдите вероятность события $A_{i}=\{$сумма чисел, выпавших на кубиках, равна $i\}$, $i=2,3,\ldots ,2M$. Из множества $N$ объектов выбирается случайное подмножество. Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что это случайное подмножество имеет четную мощность. По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел ${1,\ldots ,N},$ $N\geq 4,$ выбираются числа $X$ и $Y.$ Что больше: $P_{2}={P}(X^{2}-Y^{2}{\text{ делится на }}2)$ или $P_{3}={P}(X^{2}-Y^{2}{\text{ делится на }}3)?$ Прежде чем сравнить вероятности, опишите вероятностное пространство и события, вероятности которых надо сравнить, в терминах этого вероятностного пространства. Из совокупности всех подмножеств множества натуральных чисел ${1,\ldots ,N}$ по схеме выбора с возвращением выбираются два множества $A_{1}$ и $A_{2}.$ Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что $A_{1}\cap A_{2}=\varnothing$. По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел $\{1,2,...,N\}$ выбираются числа $\xi$ и $\eta .$ Опишите соответствующее вероятностное пространство и найдите вероятность того, что $\xi$ и $\eta$ взаимно просты. Можно ли пару операций $\{\cup ,{\overline {A}}\}$ в определении алгебры заменить на $\{\vartriangle ,/\};$ $\{A\cup {\overline {B}},{\overline {A}}\};$ $\{\cup ,\cap \};$ $\{{\overline {A\cap B}}\}?$ Пусть ${\mathfrak {B}}_{1}$ и ${\mathfrak {B}}_{2}$ --- $\sigma -$алгебры подмножеств пространства $\Omega .$ Будут ли $\sigma -$алгебрами системы множеств ${\mathfrak {B}}_{1}\cap {\mathfrak {B}}_{2};$ ${\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2}?$ Пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},{P})$ --- вероятностное пространство. Последовательность вложенных сигма-алгебр ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}$ называется потоком или фильтрацией. Верно ли, что система множеств $\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}$ является $\sigma$-алгеброй? Поток сигма-алгебр, определенный в задаче 8, моделирует поток информации. Пусть один человек загадывает случайное число из $[0,1]$, а второй пытается его угадать. В каждый момент времени второй человек, обладая знанием о том, что число принадлежит некоторому интервалу, делит этот интервал пополам, а первый человек говорит, в каком из интервалов лежит загаданное им число. Таким образом, с каждым моментом времени мы все больше узнаем информации о случайном числе. Опишите поток сигма-алгебр в этой задаче.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Пусть $F(x)$ --- функция распределения, соответствующая распределению вероятностей ${P}$. Доказать равенство ${P}((a,b])=F(b)-F(a)$ для любых $-\infty <a<b<\infty$. Пусть $F(x)$ --- функция распределения, соответствующая распределению вероятностей ${P}$. Доказать равенства: ${P}([a,b])=F(b)-F(a-)$; ${P}((a,b))=F(b-)-F(a)$; ${P}([a,b))=F(b-)-F(a-)$; ${P}(\{x\})=F(x)-F(x-)$. Показать, что каждая из функций $G_{1}(x,y)=I(x+y\geq 0),$ $G_{2}(x,y)=[x+y],$ где $[\cdot ]$ --- целая часть числа, является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не является функцией распределения в $\mathbb {R} ^{2}$. Пусть $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ --- неотрицательные числа, $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1$. Пусть, кроме того, ${P}_{1},\ldots ,{P}_{n}$ --- распределения вероятностей на $(\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k}))$, а $F_{1},\ldots ,F_{n}$ --- соответствующие им функции распределения. Верно ли, что функция $\lambda _{1}F_{1}+\ldots +\lambda _{n}F_{n}$ является функцией распределения? Если да, то для какого распределения вероятностей? Пусть $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ --- неотрицательные числа, $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1$. Пусть, кроме того, ${P}_{1},\ldots ,{P}_{n}$ --- абсолютно непрерывные распределения вероятностей на $(\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k}))$, а $p_{1},\ldots ,p_{n}$ --- соответствующие плотности. Верно ли, что функция $\lambda _{1}p_{1}+\ldots +\lambda _{n}p_{n}$ является плотностью? Если да, то для какого распределения вероятностей? Плотность абсолютно непрерывного распределения ${P}$, заданного на $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, равна $p(x)$. Найти функцию распределения, если $p(x)={\frac {\theta }{\pi (\theta ^{2}+(x-x_{0})^{2})}}$ (распределение Коши с параметром $\theta$ и смещением $x_{0}$); $p(x)={\frac {1}{b-a}}I(a\leq x\leq b)$ (равномерное распределение на $[a,b]$); $p(x)=k(x-1)^{k-1}I(1\leq x\leq 2)$, $k\in \mathbb {N}$; $p(x)=xe^{-x}I(x>0)$ (гамма-распределение с параметрами 1, 2). Пусть ${P}$ --- дискретное распределение вероятностей на $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, $p(x)={P}(\{x\})$. Найти функцию распределения, соответствующую распределению вероятностей ${P},$ если $p(x)={\frac {1}{2N}}I(x\in \{1,\ldots ,N\}\cup \{2N+1,\ldots ,3N\})$ (равномерное распределение на множестве $\{1,\ldots ,N\}\cup \{2N+1,\ldots ,3N\}$). Найти ${P}(2\mathbb {Z} _{+})$, где $2\mathbb {Z} _{+}$ --- множество неотрицательных четных чисел, если $p(x)={\frac {\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}}I(x\in \mathbb {Z} _{+})$, где $\lambda >0$ (пуассоновское распределение с параметром $\lambda$). Найти функцию распределения, соответствующую распределению вероятностей ${P}$, и ${P}(2\mathbb {Z} _{+}),$ если $p(x)=p(1-p)^{x-1}I(x\in \mathbb {N} )$, где $p\in (0,1)$ (геометрическое распределение с параметром $p$). Метеорологическая станция при прогнозе температуры исходит из предположения, что распределение температуры --- экспоненциальное с параметром 1 и со смещением $\theta$, причем величина $\theta$ зависит от месяца, в который составляется прогноз. Пусть $\theta _{1}=0$ --- смещение температуры в апреле, а $\theta _{2}=5$ --- в мае. Найти вероятность того, что суммарная температура при одном измерении в апреле и одном в мае не превзойдет числа $c=15$, если измерения будут производиться независимо. Пусть ${P}$ --- вероятностная мера на $(\mathbb {R} ^{3},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{3}))$, определенная равенством ${P}={P}_{1}\times {P}_{2}\times {P}_{3}$, где ${P}_{1}$ и ${P}_{2}$ --- равномерные распределения на $[0,1]$, ${P}_{3}$ --- экспоненциальное распределение с параметром $\lambda >0$. Найдите ${P}(\{(x,y,z):\,\,x+y+z\leq 3\})$; ${P}(\{(x,y,z):\,\,x-y+z\geq 0\})$; ${P}(\{(x,y,z):\,\,1/2\leq xy\leq 3z\})$. Стрелок в тире стреляет в ``четверть круга», то есть в область $D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}<1,x>0,y>0\}$. Распределение вероятности попадания ${P}$ --- равномерное в области $D$. Иными словами, плотность такого распределения равна $p(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}/4}}I((x,y)\in D)$. Найдите функцию распределения и плотность маргинального распределения вероятностей ${P}_{1},$ равной проекции ${P}$ по первой координате; вероятность попадания стрелка в квадрат $[0,3/4]\times [0,3/4]$; вероятность попадания в отрезок $[1/2,3/4]$ по оси $y$. Пусть ${P}$ --- вероятностная мера на $(\mathbb {R} ^{2},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2}))$, определенная равенством ${P}={P}_{1}\times {P}_{2}$, где ${P}_{1}$ --- экспоненциальное распределение с параметром $\lambda _{1}>0$, ${P}_{2}$ --- пуассоновское распределение с параметром $\lambda _{2}>0$. Найдите ${P}(\{(x,y):\,\,x+y\leq 1\})$; ${P}(\{(x,y):\,\,x/y\geq 2\})$. Если $|\xi |$ является ${\mathcal {F}}$--измеримой, то верно ли, что $\xi$ также ${\mathcal {F}}$--измерима? Пусть $\xi ,\eta$ --- две случайные величины, заданные на $(\Omega ,{\mathcal {F}})$. Пусть, кроме того, $A\in {\mathcal {F}}$. Докажите, что функция $\zeta (\omega )=\xi (\omega )I(\omega \in A)+\eta (\omega )I(\omega \in {\overline {A}})$ также является случайной величиной. Пусть $\xi ,\eta$ --- две случайные величины, заданные на $(\Omega ,{\mathcal {F}})$. Докажите, что $\{\xi =\eta \}\in {\mathcal {F}}$ (по определению $\{\xi =\eta \}=\{\omega :\,\,\xi (\omega )=\eta (\omega )\}$). Случайная величина $\xi$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Найдите плотности распределения случайных величин $\xi ^{k}$, $k\in \mathbb {N}$, ${\frac {1}{\lambda }}\ln \xi$, $\{\xi \}$, где $\{\cdot \}$ --- дробная доля, $1-e^{-\alpha \xi }$. Случайная величина $\xi$ имеет стандартное распределение Коши. Найдите плотности распределения случайных величин ${\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}$, ${\frac {1}{1+\xi ^{2}}}$, ${\frac {2\xi }{1-\xi ^{2}}}$, ${\frac {1}{\xi }}$. Случайная величина $\xi$ равномерно распределена на интервале $(a,b)$, где $-\infty <a<b<\infty$. Найдите плотность распределения случайной величины $\xi ^{2}$. Плотность распределения случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна ${\frac {1}{\pi ^{2}/4}}I(x^{2}+y^{2}<1,x>0,y>0)$. Найдите плотности случайных величин $\xi ,\eta ,\xi +\eta$. Вебграфом $G$ называется ориентированный граф, вершины которого $1,\ldots ,N$ соответствуют страницам в Интернете, а ребра --- ссылкам. Один из самых известных факторов поиска называется PageRank. Он основывается на модели поведения пользователя, которая называется случайным блужданием. Идея PageRank основывается на следующей модели поведения пользователя. В каждый момент времени $n\in \mathbb {N}$ пользователь либо переходит по ссылке с вероятностью $0.85$ (равновероятно по каждой ссылке), либо выбирает произвольную страницу с вероятностью $0.15$ (равновероятно каждую страницу). По всем ссылкам пользователь переходит равновероятно (т.е. с вероятностью $1/M$, где $M$ --- количество исходящих с текущей страницы ссылок), случайную страницу также выбирает равновероятно (т.е. с вероятностью $1/N$). В момент времени $n=0$ пользователь выбирает каждую страницу с вероятностью $1/N$. Пусть $\xi _{1}$ --- номер страницы, на которой пользователь оказался в момент времени $1$, $\xi _{2}$ --- в момент времени $2$. Если $G$ --- ориентированный простой цикл или полный граф с петлями, то придумайте вероятностное пространство и задайте на нем случайный вектор $(\xi _{1},\xi _{2})$. Найдите его распределение. Пусть $\xi$ --- случайная величина с непрерывной функцией распределения $F$. Каково распределение случайной величины $F(\xi )$? Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ --- бесконечная схема Бернулли, причем ${P}(\xi _{i}=1)={P}(\xi _{i}=0)=1/2$ для любого $i\in \mathbb {N}$. Придумайте вероятностное пространство с заданными на нем случайными величинами $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ и функцию $f:\mathbb {R} ^{\infty }\rightarrow \mathbb {R}$ такую, что ${P}(f(\xi _{1},\xi _{2},\ldots )=1)=1/3$.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Пусть $R_{n}=\{1,2,\ldots ,n\}$. Случайная величина $\xi$ равна количеству элементов $R_{n}$, остающихся на своих местах при случайной перестановке. Найдите ${E}\xi$ и ${D}\xi$. Случайная величина $\xi$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$. Найдите ${E}\xi ,{D}\xi$. Пусть $\xi$ --- номер веб-страницы, выбранный пользователем случайно из выдачи, в которой показано $M$ страниц (все страницы пользователь выбирает равновероятно). Найдите ${E}\xi$ и ${D}\xi$. Экипаж космического корабля, состоящий из $k$ космонавтов, отправился на освоение планет. Космонавты случайно высаживаются на $m$ планетах. Случайная величина $\xi$ равна количеству планет, на которые никто не высадился при таком случайном размещении. Найдите ${E}\xi$ и ${D}\xi$, если (а) планеты неразличимы, (b) планеты различимы. Рассматривается модель случайного графа $G(n,p)$. Найдите ${E}X$, если $X$ --- количество треугольников (циклов длины 3) в случайном графе; $X$ --- количество циклов длины $k$ в случайном графе; $X$ --- количество клик (подграфов, являющихся полными графами) мощности $k$ в случайном графе. Рассматривается модель случайного графа $G(n,p)$. Найдите ${D}X$ , если $X$ --- количество треугольников (циклов длины 3) в случайном графе; $X$ --- количество клик (подграфов, являющихся полными графами) мощности $k$ в случайном графе. Пользователь 10 раз вводил поисковый запрос. Считается, что интервалы времени между $i$-ым и $i+1$-ым запросом равны $\xi _{i}$ минут, $i\in \{0,\ldots ,9\}$, где $\xi _{0},\ldots ,\xi _{9}$ --- независимые случайные величины, распределенные экспоненциально с параметром 1. Пусть $X$ --- количество запросов, введенных в течение первых 5 минут. Найдите ${E}X$ и ${D}X$. Дана случайная величина $\xi$. Найдите математическое ожидание и дисперсию $\xi$, если она имеет биномиальное распределение с параметрами $(n,p)$; геометрическое распределение с параметром $p$ (т.е. ${P}(\xi =k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$); нормальное распределение с параметрами $(a,\sigma ^{2})$; равномерное распределение на отрезке $[a,b]$; гамма-распределение с параметрами $(\alpha ,\lambda )$; бета-распределение с параметрами $(\alpha ,\beta )$. Случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Вычислите ${E}\xi ^{k}$ и ${E}\vert \xi \vert ^{k}$ для $k\in {\mathbb {N} }$. Вычислить те же характеристики, если $\xi \sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. В случайном графе $G(n,p)$ при определенных условиях число вхождений фиксированного подграфа имеет распределение, близкое к пуассоновскому. При доказательстве этого факта вычисляют факториальные моменты случайных величин ($k$-ым факториальным моментом случайной величины $\xi$ называется ${E}\xi (\xi -1)\ldots (\xi -k+1)$). Пусть $\xi \sim \lambda$. Найдите $k$-ый факториальный момент случайной величины $\xi$.

«'Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:»'

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Домашние работы	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий.

«'Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:»'

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности.	Классическое (комбинаторное) определение вероятности. Свойства вероятности при таком определении. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности.
2.	Геометрические вероятности и их свойства.	Геометрические вероятности и их свойства. Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече. Задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана.
3.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.	Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
4.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе.	Понятие о случайном блуждании и случайном графе. Порядковые статистики. Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
5.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.	Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова. Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
6	Случайные величины. Распределение функций от случайных величин.	Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность аспределения. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой. Понятие о сингулярном распределении. Теорема Лебега о разложении произвольной функции распределения (б/д). Распределение функций от случайных величин.
7	Математическое ожидание. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.	Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания. Математическое ожидание функции от случайной величины. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания. Моменты. Дисперсия. Вычисление моментов для распределений из п. 7. Неравенства Маркова и Чебышёва.

«'Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:»'

1. Классическое (комбинаторное) определение вероятности. Свойства вероятности при таком определении.
2. Простейшие комбинаторные модели. Примеры комбинаторных задач, для решения которых удобно использовать классическое определение вероятности. 3. Геометрические вероятности и их свойства.
4. Примеры задач, для решения которых удобно использовать геометрические вероятности: задача о встрече. 5. Задача о минимальном и максимальном элементах в случайной выборке и пр. Парадокс Бертрана. 6. Условные вероятности, умножение вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.
7. Независимость событий: попарная независимость, независимость в совокупности, независимость события от группы событий.
8. Схема испытаний Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. 9. Закон больших чисел для схемы Бернулли.
10. Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Локальная предельная теорема и интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
11.Понятие о случайном блуждании и случайном графе. Порядковые статистики.
12.Принцип отражения. Лемма Бореля-Кантелли.
13. Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.
14. Алгебра событий. Нормировка и аддитивность вероятности. Аксиома непрерывности.
15. Общая вероятностная модель. Аксиоматика Колмогорова.
16. Случайные величины. Закон распределения, функция распределения и ее свойства.
17. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность распределения.
18. Важнейшие распределения: биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, Коши, экспоненциальное (показательное), гамма-распределение.
19. Интерпретация предельных теорем Пуассона и Муавра – Лапласа в терминах распределений случайных величин.
20. Связь между понятием распределения случайной величины и заданием вероятностной меры на прямой.
21. Понятие о сингулярном распределении. Теорема Лебега о разложении произвольной функции распределения (б/д).
22. Распределение функций от случайных величин.
23. Математическое ожидание случайной величины. Линейность математического ожидания.
24.Математическое ожидание функции от случайной величины.
25. Примеры комбинаторных задач, решаемых за счет линейности математического ожидания.
26. Моменты. Дисперсия. Вычисление моментов для распределений из п. 7.
27. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

1. Основы теории вероятностей: учебное пособие / Жуковский М. Е., Родионов И. В. - МФТИ - 2015 - 82 с.

2. Райгородский, А. М. Комбинаторика и теория вероятностей: Учебное пособие/А.М.Райгородский - Долгопрудный: Интеллект, 2013. - 104 с.

3. Вероятность [Текст] : в 2 т. Т. 1 : Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы : учебник для вузов / А. Н. Ширяев .— 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Изд-во МЦНМО, 2007, 2011 .— 552 с.

4. Курс теории вероятностей [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. П. Чистяков .— 7-е изд., испр. — М : Дрофа, 2007 .— 253 с.

Дополнительная литература

1. Задачи по теории вероятностей [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. Н. Ширяев .— М. : МЦНМО, 2006 .— 416 с.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Информационно – коммуникационная технология, Педагогика сотрудничества, Традиционные технологии, Модульная технология