BSc: AnalyticGeometry

Аналитическая геометрия

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): Конюхов И.В.

1. Краткая характеристика дисциплины

Вводный курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Во время изучения курса студенты знакомятся с фундаментальными принципами векторной алгебры и ее приложениями при решении геометрических задач, различными типами уравнений прямых и плоскостей, конических сечений и квадратичных поверхностей, преобразованиями в плоскости и в пространстве. Также приводится введение в матрицы и определители как фундаментальные понятия линейной алгебры. Отличительной особенностью курса является наглядная демонстрация изучаемых концепций с помощью исходных кодов программ на языке Python с одновременной визуализацией результатов с использованием библиотеки Matplotlib. Материалы курса оформлены в виде интерактивных презентаций Jupyter Notebooks.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является:

• формирование базовых знаний аналитической геометрии и линейной алгебры для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания;
• формирование математической культуры, исследовательских навыков и способности применять эти знания на практике.

Задачами дисциплины являются:

• формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
• формирование умений логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;
• формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.
• формирование умений и навыков записи и обработки базовых математических выражений с помощью языка программирования Python.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания:

• основных определений векторной алгебры;
• видов систем координат, способов перехода от одной системы координат к другой;
• скалярного, векторного, смешанного произведения;
• уравнений прямых на плоскости и в пространстве, уравнений плоскости в пространстве;
• канонические уравнения кривых второго порядка;
• канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Умения:

• решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат;
• использовать векторную алгебру для решения задач;
• использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
• определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
• исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

Навыки (владения):

• математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов,
• записи и обработки математических выражений, визуализации результатов расчетов с использованием языка Python.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Векторная алгебра	- Направленные отрезки и векторы, линейные операции над ними. Свойства линейных операций. - Коллинеарность и компланарность векторов. - Линейно зависимые и независимые системы векторов. Связь линейной зависимости с коллинеарностью и компланарностью векторов. - Базис, координаты вектора в базисе. - Действия с векторами в координатах.
2.	Матричная алгебра	- Матрицы и алгебраические операции с матрицами. Элементарные преобразования матриц. - Обратная матрица. - Определитель матрицы и его свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Определитель произведения матриц. - Критерий обратимости. Формула для элементов обратной матрицы.
3.	Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве	- Определения общей декартовой и прямоугольной(ортонормированной) системы координат. Матрица перехода и ее основное свойство. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой. - Скалярное произведение и его свойства.Ортогональные проекции. Выражение скалярного произведения в координатах, выражение в ортонормированном базисе. Формулы для определения расстояния между точками и угла между векторами. - Ориентация на плоскости и в пространстве. Смешанное и векторное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного и векторного произведений через координаты векторов. Условия коллинеарности и компланарности векторов.
4.	Прямые и плоскости	- Векторные и координатные формы уравнения прямой на плоскости в пространстве. - Условия параллельности (или совпадения), перпендикулярности прямых на плоскости, заданных в координатной форме. - Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. - Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. - Векторные и координатные формы уравнения плоскости. - Условия параллельности (или совпадения) плоскостей, заданных в координатной форме. - Расстояние от точки до плоскости в пространстве и расстояние между параллельными плоскостями. - Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. - Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
5.	Кривые второго порядка	- Алгебраические линии второго порядка на плоскости, их классификация. - Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. - Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. - Ортогональные инварианты
6.	Поверхности второго порядка	- Эллипс,гипербола и парабола,их свойства. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. - Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. - Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка, их основные свойства. Прямолинейные образующие. Сечения.
7.	Преобразования на плоскости и в пространстве	- Отображения и преобразования плоскости. Произведение(композиция) отображений. Взаимно однозначное отображение, обратное отображение. - Линейные преобразования плоскости. Координатное представление линейных преобразований плоскости. - Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Векторная алгебра
2.	Матричная алгебра
3.	Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
4.	Прямые и плоскости
5.	Кривые второго порядка
6.	Поверхности второго порядка
7.	Преобразования на плоскости и в пространстве

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Векторная алгебра	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Тестирование (письменное или компьютерное) - Как включить поддержку OpenMP в проекте? - Как определить, поддерживает ли GPU OpenCL или нет? - Как собрать информацию о CPU? - Как собрать информацию о GPU? - Как выполнять код параллельно с использованием OpenMP? - Как выполнять код параллельно на GPU?
2.	Матричная алгебра	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Тестирование (письменное или компьютерное): - Что такое разреженные матрицы? - Опишите особенности умножения разреженных матриц - Объясните прямой и обратный путь разложения Гаусса - Как составить схему решения метода прогонки? - Как организовать итерации для приближенного решения СЛАУ? - Как понять, нужно ли останавливать итерационный процесс или нет? - Как оптимизировать алгоритмы умножения матриц с точки зрения затрат памяти и времени?
3.	Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Тестирование (письменное или компьютерное): - Что такое волновое уравнение? - Что такое уравнение теплопроводности? - Как задача теплопроводности связана с задачей диффузии? - Как описать такие задачи с помощью дифференциальных уравнений? - Что такое "преобразование" с точки зрения математики? - Какие типы преобразований вы знаете для решения дифференциальных уравнений? - Как численно решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений?
4.	Прямые и плоскости	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Тестирование (письменное или компьютерное): - Что такое нейронная сеть? - Какова структура однослойного и многослойного перцептрона? - Как переформулировать задачу Коши с начальным значением в терминах задачи оптимизации? - Как оценить погрешность алгоритма PINN? - В чем плюсы и минусы подхода PINN по сравнению с классическими численными методами? - Как ускорить процедуру обучения с помощью параллельного программирования?
5.	Кривые второго порядка	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Тестирование (письменное или компьютерное): - Что такое определенный интеграл? - Каковы классические формулы квадратур? - Что такое равномерное распределение? - Что такое нормальное распределение? - Как использовать распределения при построении генераторов случайных величин? - Как использовать статистический подход для оценки определенного интеграла? - Как вычислить число Пи с помощью метода Монте-Карло?
6.	Поверхности второго порядка	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Темы докладов: - Тестирование (письменное или компьютерное):	7.	Преобразования на плоскости и в пространстве	Проверка выполнения домашних заданий; Тестирование (письменное или компьютерное); Проверка разработки отдельных частей кода программного продукта	Темы докладов: - Тестирование (письменное или компьютерное):

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Вопросы
1.	Векторная алгебра
2.	Матричная алгебра
3.	Системы координат, ориентация на плоскости и в пространстве
4.	Прямые и плоскости
5.	Кривые второго порядка
6.	Поверхности второго порядка
7.	Преобразования на плоскости и в пространстве

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

(Указываются ВСЕ ЗАДАНИЯ/ВОПРОСЫ для промежуточной аттестации.)

1.
2.
3.
...
48.
49.
50.
...

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

1. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: МФТИ, 2011. 544 с.
2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 10-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2005. – 304 с.
3. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, Д. В. Беклемишев, А. Ю. Петрович, И. А. Чубаров. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-8114-0861-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/97281 (дата обращения: 25.03.2024). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Список дополнительной литературы:

1. Шарипов Р.А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии. Учебное пособие для вузов / Издание Башкирского университета - Уфа, 1996. - 146 с.
2. Кайгородов. В.Р. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Казань. 201 с.

Необходимое программное обеспечение:

1. Интегрированная среда разработки с поддержкой языка Python, например, Microsoft VS Code.
2. Jupyter Notebooks

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка презентаций. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Информационно-коммуникационная технология, проектная технология, технология проблемного обучения, кейс-технология, традиционные технологии, модульные технологии