BSc: DifferentialAndPartialDifferentialEquationsADV

Уравнения в частных производных

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): В.А.Гордин

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций для обучающихся в области прикладной математики, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают модели, использующие дифференциальные уравнения в частных производных (урчп), методы качественного и количественного анализа решений.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Цели и задачи освоения дисциплины «Уравнения в частных производных» ознакомление студентов с широким кругом задач и методов: построение моделей, основанных на урчп, качественный анализ решений, количественные численные методы и анализ полученных результатов. От студентов потребуется решение многочисленных задач, часто с применением компьютера. Обсуждаются многочисленные приложения. Дисциплина читается на 2 триместре 2 курса. В результате студент должен иметь и общее представление о разнообразии задач и методов анализа и решения, и практические навыки решения этих задач.

Пререквизиты (Предварительные знания у слушателей)

Матанализ, линейная алгебра (в объеме книги И.М.Гельфанда «Лекции по линейной алгебре» кроме главы о тензорах), начала функционального анализа, курс обыкновенных дифференциальных уравнений, методы вычислений..

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания об основных типах урчп и моделях, на них основанных, систематические знания для качественного исследования урчп и некоторые сведения и навыки по численному их решению.

Умения: сформированы умения оценивать корректность задач, использующих урчп, проводить качественный анализ решения, а в некоторых случаях находить аналитически явные решения, строить алгоритмы численного решения, проводить анализ точности полученных решений и их грубости по отношению к шумам в исходных данных.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
Тема 1.	Введение. Вывод уравнений неразрывности, диффузии, теплопроводности. Метод характеристик для урчп 1 порядка.	Понятие плотности сплошной среды. Перенос плотности потоком с заданной скоростью. Изменение плотности импульса под действием распределенных сил. Уравнения движения. Уравнение Эйлера – Хопфа. Характеристики. Градиентная катастрофа. Законы Фика и Фурье. Уравнения диффузии и теплопроводности. Начальные и граничные условия. Интенсивность движения купеческих караванов. Уравнение Блэка – Шоулза – Мертона для определения справедливой цены европейских опционов..
Тема 2.	Задача Коши. Существование, единственность, корректность. Теорема Коши – Ковалевской, которая не гарантирует корректность.	Уравнения, разрешенные (и не разрешенные) относительно старшей производной по времени. Уравнения и системы типа Коши – Ковалевской. Сколько нужно начальных условий при решении во всем пространстве. Аналитические начальные условия. Теорема Коши – Ковалевской для аналитических решений задачи Коши «в малом». Понятие корректности для задачи Коши. Преобразование Фурье для урчп с постоянными коэффициентами. Некорректность задачи Коши для уравнения теплопроводности в обратную сторону по времени. Условия на бесконечности по переменной x. Теорема Тихонова. Пример Адамара – задача Коши для уравнения Лапласа. Формула Пуассона для решения краевой задачи.
Тема 3.	Краевые и смешанные задачи. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности.	Приведение линейного ОДУ 2-го порядка к самосопряженному виду. Граничные условия 1, 2 и 3 рода. Самосопряженность дифференциального оператора $u\rightarrow d_{x}[\rho (x)d_{x}u]$. Собственные числа и функции для различных вариантов граничных условий. Самосопряженность и отрицательная определенность оператора $u\rightarrow {\text{div}}\rho ({\vec {x}}){\text{grad}}u$ в многомерных областях при различных граничных условиях. Ортогональность собственного базиса в задаче Штурма - Лиувилля. Построение функции Грина задачи по собственным числам и функциям. Оператор 4 порядка. Зависимость спектра задачи от ее параметров. Теорема Фишера – Куранта. Смешанная задача для уравнений типа $d_{t}u=Au$ и $d_{t}u=Au+f$, где А – дифференциальный оператор по пространственным переменным, f – известная функция. Метод Фурье разделения переменных. Асимптотика решения смешанной краевой задачи при $t\rightarrow +\infty$.
Тема 4.	Уравнение струны. Формула Даламбера. Метод разделения переменных для смешанной краевой задачи.	Вывод уравнения струны и граничных условий. Задача на всей прямой. Многомерное уравнение лакуны и диффузия волн – зависит от четности размерности пространства. Задача на отрезке. Разделение переменных. Колебания амплитуд. Законы сохранения. Отражение и неотражение от границ.
Тема 5.	Свойства собственных функций.	Ряд Фурье. Проекция на первые собственные функции. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Сходимость разложения функции в метриках $L^{2}$ и в $C$. Скорость сходимости и убывания коэффициентов. Явление Уилбрахама - Гиббса. Ортогонализация многочленов в $L^{2}[-1,1]$. Многочлены Лежандра. Формула Родрига. Задача Штурма - Лиувилля. Приведение к самосопряженному виду. Собственные числа и функции. Асимптотика собственных чисел при больших номерах. Простота спектра для оператора 2 порядка. Чередование нулей собственных функций. Разделение переменных для параболической и гиперболической задач на отрезке. Разностная аппроксимация задачи Штурма - Лиувилля. Компактные конечно-разностные схемы. Уравнение Бесселя нулевого порядка. Ограниченное в нуле решение и его разложение в ряд Тейлора. Отрицательность спектра при условии ограниченности на бесконечности. Оператор Лапласа на плоскости в полярных координатах. Функции Бесселя – собственные для задачи Дирихле в круге. Асимптотика ограниченного решения в начале координат. Уравнение колебаний стержня. Варианты граничных условий. Принцип наименьшего действия. Амплитуда вероятностей. Уравнение Шрёдингера.
Тема 6.	Основные свойства преобразования Фурье и его применение к задачам урчп.	Пространство $C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )$. Преобразования Фурье. Основные свойства: линейность, унитарность (теорема Планшереля – без док.). Различные нормировки преобразования. Операторы сдвига и дифференцирования. Символы дифференциального и разностного операторов. Главный символ. Формула обращения преобразования Фурье. Свертка и ее коммутативность. Интегральные уравнения Фредгольма типа свертки. Преобразование Фурье от гауссианы. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в $\mathbb {R} ^{n}$. Преобразование Фурье от убывающей экспоненты, умноженной на функцию Хэвисайда. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-k^{2}y=f(x)$,_k=const в виде свертки. Преобразование Фурье от рациональных функций без вещественных полюсов. Интеграл Лапласа. Собственные функции преобразования Фурье. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Метод стационарной фазы. Лемма Эрдейи. Убывание образа Фурье на бесконечности. Операционное исчисление. Оригиналы и изображения. Формулы для преобразования функции Хэвисайда, экспоненты, дельта-функция и ее производные. Сдвиг и дифференцирование. Изображение периодических функций. Формула обращения. Формула свертки. Оригиналы рациональных функций. Применение к задаче Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами. Z-преобразование и его применение к разностным уравнениям.
Тема 7.	Обобщенные функции и их свойства.	Пространства основных и обобщенных функций. Пример Коши и разбиение единицы. Топология в пространстве основных функций. Его неметризуемость. Обобщенные функции. Дельта-функция. Функционалы типа кусочно-непрерывной функции. Носитель и сингулярный носитель. Примеры. Топология в пространстве обобщенных функций. Дифференцирование обобщенных функций. Примеры. Дельтообразные последовательности. Примеры. Умножение обобщенной функции на гладкую. Дифференциальные уравнения с особенностями и их решения в пространстве обобщенных функций. Преобразование Фурье обобщенных функций. Фундаментальное решение для урчп с постоянными коэффициентами и свертка.
Тема 8.	Примеры корректных и некорректных задач Коши.	Оценка убывания нормы решения для уравнения теплопроводности. Некорректность для задачи в обратную сторону: норма решения может расти быстрее экспоненты с любым инкрементом. Пример Адамара: задача Коши для уравнения Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
Тема 9.	Квазилинейные уравнения и системы.	Уравнение Эйлера – Хопфа и пересечение характеристик. Условие Гюгонио – Рэнкина: связь амплитуды скачка и скорости его перемещения. Системы квазилинейных уравнений. Задача Римана и распад разрыва. Первые интегралы. Интегралы Эртеля. Инвариант Хопфа.
Тема 10.	Система уравнений газовой динамики. Задача прогноза погоды. Уравнение гидростатики. Уравнения Эйлера и Навье – Стокса.	История наблюдения солитона. Цунами. Решения типа бегущей волны. ОДУ и их фазовые портреты. Стационарные точки этих ОДУ. Решения солитонного типа. Взаимодействие солитонов.
Тема 11.	Уравнения Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова и Кортевега – де Фриса. Автомодельные решения.	Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры. Принцип наименьшего действия.
Тема 12.	Введение в разностные схемы для решения задачи Коши.	Схемы центральных разностей для ОДУ. Введение в разностные схемы для решения задачи Коши для урчп.Схемы Эйлера, явная и неявная. Схема Эйлера с пересчетом. Схема Кранка – Николсон. Аппроксимации Паде – Эрмита для экспоненты и разностные схемы для линейных эволюционных уравнений. Оценка спектра пространственного оператора. Схема leap-frog (чехарды). Проблема дополнительных начальных условий. Векторная аппроксимация Паде– Эрмита и многослойные схемы. Порядок аппроксимации. Оценка устойчивости схемы с помощью преобразования Фурье. Метод формирования дополнительных начальных условий для многослойных разностных схем. Полунеявные схемы. Многошаговые схемы. Проблема аппроксимации граничных условий. Применение Z-преобразования для оценки корректности смешанной краевой задачи. Граничные условия, имитирующие задачу Коши. Аппроксимация разрывных решений. Схема Годунова.
Тема 13.	Компактные разностные аппроксимации.	Компактная аппроксимация линейных дифференциальных операторов. Пары тестовых функций. Порядок аппроксимации. Локальная и глобальная СЛАУ. Применение теоремы Гершгорина для анализа обратимости операторов. Компактная аппроксимация для линейного уравнения диффузии. Аппроксимация граничных условий. Компактные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. Компактная аппроксимация дифференциальных соотношений и возможность решения нелинейных урчп. Метод Ньютона. Примеры.
Тема 14.	Вариационное исчисление.	Простейшие задачи вариационного исчисления: согласование информации о координате и скорости, Дидоны, о цепной линии, о брахистохроне, о рефракции. Непрерывность и гладкость интегральных функционалов в различных нормах. Первая вариация и необходимое условие экстремума гладкого функционала. Уравнение Эйлера и метод понижения его порядка. Условия трансверсальности. Функционалы со старшими производными. Условия трансверсальности. Функционалы от нескольких функций. Метод множителей Лагранжа для условных экстремумов. Задачи с дифференциальными связями. Вариационное согласование наблюдаемых полей. Вторая вариация. Квадратичные интегральные функционалы и достаточное условие их положительной определенности. Уравнение Якоби. Необходимое условие Лежандра. Достаточное условие Лежандра и его ошибочность. Принцип наименьшего действия для системы материальных точек. Принцип наименьшего действия для распределенных систем. Примеры.
Тема 15.	Эллиптические уравнения.	Связь с задачей случайного блуждания. Инвариантность оператора Лапласа относительно ортогональных замен координат. Оператор Коши – Римана. Физические модели для операторов Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Определение эллиптических операторов (по символу) для 2 и высшего порядка операторов. Принцип максимума. Интегральные формулы для решения краевых задач. Оператор Лапласа на сфере. Сферические функции и их свойства. Компактные схемы для уравнения Пуассона и Гельмгольца. Уравнения со слабой нелинейностью. Компактная схема для случая разрывных коэффициентов.

4. Методические и оценочные материалы

Формы контроля: Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде коротких контрольных работ в начале многих занятий и контрольной работы в середине триместра. Кроме того будет выдано несколько домашних работ, которые должны выполняться студентом в течение одной недели. Если она сделана в течение второй недели, оценка за нее делится пополам. После второй недели 10-балльная оценка за сданную работу - нулевая. Итоговый контроль осуществляется в виде двух экзаменов, один из которых теоретический, а второй – обсуждение письменной работы и решение задач на компьютере. Веса обоих экзаменов равные. Итоговая оценка по 100-балльной шкале формируется по формуле ${\text{О}}{\text{итог}}=0.3\times {\text{О}}{\text{предв}}+0.2\times {\text{О}}{\text{контр}}+0.5\times {\text{О}}{\text{экз}}$. Округление происходит только для итоговой отметки.

Задания для практических занятий:

1.Рассмотрим пространство гладких функций, которые сами и все их производные убывают на бесконечности быстрее, чем $\left|x\right|^{-N}$ при любом N со скалярным произведением: $\left(u,v\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }u(x)v(x)dx$.

Рассмотрим в этом пространстве оператор $x{\frac {d}{dx}}$. Является ли он нормальным?

2.Вычислить размерность пространства кососимметричных k-форм (т. е. кососимметричных (относительно перемены мест любых двух аргументов) функций от k векторов, линейных по каждому аргументу) на пространстве $\mathbb {R} ^{n}$.

3.Найти и исправить пробел в следующих построениях.

• Преобразование Фурье $F_{x\rightarrow \xi }$ функции $u(x)={\begin{cases}e(-px)&\Longleftarrow \ x>0\\0&\Longleftarrow \ x\leq 0\end{cases}}$, где константа р >0, равно $\psi (\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{p+i\xi }}$.
• Производная u'=-pu.
• При преобразовании Фурье операция дифференцирования переходит в умножение на i\xi.
• Во что переходит производная u’ при преобразовании Фурье: в функцию $-p\psi$ или $i\xi \psi$?

4.Вычислите преобразование Фурье от функции ${\frac {20}{x+24i}}$.

5.Рассмотрим ОДУ $y''+ky'+4y=\sin(pt),\quad p\in \mathbb {R} +$. Докажите, что со временем решение при любых начальных данных выйдет на периодический режим. При каком значении р амплитуда этого периодического решения будет максимальной?

6.На комплексной плоскости рассмотрим квадрат с центром в начале координат с длиной сторон 2(k+1), т.е. вершины квадрата находятся в точках $(k+1)(\pm 1\pm i)$. В какую фигуру переходит квадрат при отображении $z\mapsto e^{z}$?

7. Вычислите преобразование Фурье от функции ${\begin{cases}x^{2}&{\text{если }}|x|<1\\0&{\text{если }}|x|\geq 1\end{cases}}$. и ее производной.

8. Рассмотрим ОДУ $y''+\sin ^{2}(ky)=0$. Есть ли у него устойчивые стационарные точки? Постройте фазовый портрет.

9. Тот же вопрос для $y''-\sin ^{2}(ky)=0$

10. Вычислить изображение (образ преобразования Лапласа) функции $\chi (t)\sin(kt)$ если это оригинал.

11. Вычислить свертку константы и гауссианы.

12. Дать определение стационарной точки системы ОДУ типа фокус. Возможен ли первый интеграл у системы с такой стационарной точкой? Нужен или пример такой системы ОДУ, или доказательство несуществования у нее первого интеграла.

13. Рассмотрим уравнение $d_{t}^{4}u+d_{x}^{4}u=0$ в полуплоскости $\langle x,t\rangle$, t>0. Сколько начальных условий нужно поставить, чтобы определить решение при малых t согласно теореме Коши – Ковалевской? Сколько граничных условий нужно поставить, чтобы обеспечить корректность краевой задачи в этой же области?

14. Матрицы второго порядка ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ образуют пространство размерности 4. Опишите поверхность в этом пространстве, составленную из матриц, у которых только один собственный вектор. Другими словами, из матриц, эквивалентных жордановой клетке. Является ли эта поверхность гладкой?

15. Вывести формулу для преобразования Лапласа функций с периодом Т.

16. Функция $(x^{2}-b)e({-{\frac {x^{2}}{2}}})$ - собственная для преобразования Фурье. Определите число b.

17. Найти общее решение ОДУ $x^{2}y'''=0$ в пространстве обобщенных функций.

18. Привести пример линейного ОДУ с особой точкой, у которого существует решение, разлагающийся в ряд по степеням $x^{1/2+k}$ $k\in \mathbb {Z} +$, а у второго решения во втором члене асимптотики появляется логарифм.

19. Определить коэффициенты разностной аппроксимации соотношения $d_{x}^{3}u=f$. Классическая аппроксимация: функция u на 5-точечном шаблоне, f – в центральной точке.

20. Для линейного оператора $d_{x}^{2}$ в пространстве гладких функций на отрезке $[0,k$], удовлетворяющих однородному условию Дирихле на левом краю и Неймана – на правом, вычислить два первых собственных числа.

21. На том же отрезке при тех же граничных условиях оценить асимптотику решения при $t\rightarrow +\infty$ для урчп $d_{t}u=kd_{x}^{2}u$ при начальном условии $u_{0}(x)={\begin{cases}1&\Longleftarrow \ x<{\frac {k}{2}}\\0&\Longleftarrow \ x>{\frac {k}{2}}\end{cases}}$.

22. Каким соотношением связаны преобразования Лапласа функций $t^{s}$ и $t^{s+1}$ при s>-1?

23. Пусть амплитуда функция $\varphi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}\right)&\Longleftarrow \ |x|\leq 1\\0&\Longleftarrow \ |x|>1\end{cases}}$ - «шапочка», а фаза имеет в нуле единственную стационарную точку: $S=\pm x^{2}$ или $S=\pm x^{3}$. Оценить главный член асимптотики интеграла $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda S(x)}\varphi (x)dx$ при $\lambda \rightarrow \infty$

24. Для этого же интеграла при $\lambda =10$ и 100 сделать оценку по формулам: трапеций, Симпсона, Буля с разным числом узлов. Построить графики зависимости отклонений от главного члена асимптотики, полученного в предыдущей задаче.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в задачнике Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.

Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука, 1984, 2002.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М. Издательский Дом ВШЭ. 2016.

3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.

4. Гордин В.А. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Основная литература

Тема 1.

1. В.И.Арнольд. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений. «Наука», М.: 1978, Геометрическая теория обыкновенных

дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2002.

1. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. №2, С.87-158.
2. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
3. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
4. Уизем Г.Б. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977

Тема 2.

1. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
2. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: ГИФМЛ, 1961, Физматлит, 2009.
3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2001.

Тема 3.

1. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
2. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: ГИФМЛ, 1961, Физматлит, 2009.
4. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2001.

Тема 4.

1. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
2. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: ГИФМЛ, 1961, Физматлит, 2009.
4. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2001.

Тема 5.

1. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
2. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. М.: ГИФМЛ, 1961, Физматлит, 2009.
4. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2001.

Тема 6.

1. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
2. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Zпреобразования. М., Наука, 1971.

Тема 7.

1. М.С.Агранович. Обобщенные функции. М.: МЦНМО, 2008.
2. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
3. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
4. Л.Шварц. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.
5. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Второй спецкурс. М.: Наука, 1965.

Тема 8.

1. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
2. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Второй спецкурс. М.: Наука, 1965.
3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2001

Тема 9.

1. В.И.Арнольд. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений. «Наука», М.: 1978, Геометрическая теория обыкновенных

дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2002.

1. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. №2, С.87-158.
2. Уизем Г.Б. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

Тема 10.

1. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. №2, С.87-158.
2. В.А.Гордин. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические аспекты. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1987.
3. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.

Тема 11.

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. №2, С.87-158.
3. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.

Тема 12.

1. Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы. Введение в теорию. 1973, «Наука», М.
2. В.А.Гордин. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические аспекты. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1987.
3. В.А. Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.
4. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М., «Наука», 1989.

Тема 13.

1. В.А. Гордин. Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.
2. В.А. Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.
3. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.

Тема 14.

1. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.: Изд. ЛГУ, 1980.
2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Лекции по вариационному исчислению. М.: Физматгиз, 1961.
3. В.А. Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.

Тема 15.

1. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. М. «Наука», 1964.
2. В.А. Гордин. Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.
3. В.А. Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., ФИЗМАТЛИТ. 2010, 2013.
4. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики, М., Высшая школа, 1970.

Дополнительная литература

Тема 1.

1. В.И.Арнольд. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений. «Наука», М.: 1978, Геометрическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2002.
2. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. Успехи математических наук, 1959. Т.14. №2, С.87-158.
3. В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010; 2013.
4. В.А.Гордин. Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений. Готовится к изданию в М. Издательский Дом ВШЭ. 2024.
5. Уизем Г.Б. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

Тема 3.

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.
   

Тема 4.

1. Гордин В.А. О смешанной краевой задаче, имитирующей задачу Коши. Успехи математических наук, 1978, Т. 33, №5, С.181-182.
   

Тема 5.

1. Ч.Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М., Издательство ИЛ, часть 1, 1960, часть 2, 1961.
   

Тема 6.

1. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т.1., М., Наука, 1969.
2. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: ``Наука, 1976.
3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного, М.: ``Наука", 1976.
4. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ``Наука, 1983.
5. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.
6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-3. М., Наука, 1969, Спб., Лань, 2002.
7. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.
8. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.
   

Тема 9.

1. В.И.Арнольд, Б.А.Хесин. Топологические методы в гидродинамике. МЦНМО, М.: 2007.
2. В.А.Гордин. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды.Аналитические аспекты. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1987.
3. В.А.Гордин, В.И.Петвиашвили. Нелинейная устойчивость МГД-равновесия плазмы с ненулевым давлением. Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1989, Т.95, С.1711-1722.
   

Тема 10.

1. Л.А.Дикий. Теория колебаний земной атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1969.
2. Л.А.Дикий. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.:Гидрометеоиздат, 1976.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, М.: Наука, 1986.
   

Тема 11.

1. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега - де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система. Функциональный анализ и его приложения, 1971, Т.5, №4, С.18-27.
2. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: ``Наука, 1980.
3. В.Е. Захаров, Е.А.Кузнецов. Солитоны и коллапсы: два сценария эволюции нелинейных волновых систем. Успехи физических наук, 2012, Т. 182, №6, С.569-592.
   

Тема 12.

1. Бэйкер Дж.мл., Грейвис-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: ``Мир, 1986.
2. Гордин В.А. Применение векторной аппроксимации Паде к численному решению эволюционных прогностических уравнений. Метеорология и гидрология, 1982, №11, С. 24- 37, 1982.
3. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. Годунова С.К., М.: ``Наука, 1976.
4. V.A.Gordin, A.A.Shemendyuk. “Transparent" Boundary Conditions for the Equation of Rod Transverse Vibrations. Applied Mathematical Modelling. 2020. V.88, P.550-572.
   

Тема 13.

1. В.А.Гордин, Е.А.Цымбалов. Разностная схема 4-го порядка точности для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Математическое моделирование. 2017, Т.29, №7, С.3-14.
2. В.А.Гордин Е.А.Цымбалов. Компактная разностная схема для дифференциального уравнения с кусочно-постоянным коэффициентом. Математическое моделирование. 2017, Т.29, №12, С.16-28.

Тема 14.

1. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Иностранная литература, 1950.
2. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика, М.: Наука, 1965.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, М.: Наука, 1967.
   

Тема 15.

1. В.А.Гордин, Д.А.Шадрин. Компактная аппроксимация двумерной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с разрывным коэффициентом. 2023, Математическое моделирование. 35, №4, с.88-119.
2. О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1967.
3. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: ``Наука", 1990.
4. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., 1990, Т. 37, С.3-87.
5. Скрыпник И.В., Г.Гаевски. О единственности решения нелинейных эллиптических и параболических задач, Труды МИАН, 2002, Т.236, С.318-327.
   

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Основное содержание лекции излагается устно + на презентациях + дополняется записями на доске. Презентации, как правило, рассылаются студентам перед очередной лекцией. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата, владения техникой программирования, умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте. В начале лекционного занятия, как правило, проводится письменная блиц-контрольная. После того, как студенты сдают работы ассистенту, я разбираю решения задач. Потом начинается основная лекция.