BSc: B1.V.DV.01.03 MFAI 2024 Theory of functions of a complex variable

Теория функций комплексного переменного

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 Информатика и вычислительная техника

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы искусственного интеллекта

Программу разработал(а): Холодов Я. А., Конюхов И. В.

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины (модуля) «Теория функций комплексного переменного» обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области аналитической математики, комплексного анализа и математического моделирования, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают аналитические функции комплексного переменного, интегралы и ряды в комплексной плоскости, специальные функции комплексного переменного, теоремы о вычетах и интегралах в комплексной плоскости. Эти знания позволяют им применять функции комплексного переменного для решения различных прикладных задач в математическом моделировании и анализе данных, что способствует формированию и развитию компетенций в области аналитической математики и комплексного анализа.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины (модуля) является формирование знаний, умений и навыков в рамках профессиональной деятельности, позволяющих успешно работать в избранной отрасли, а также обладать компетенциями, способствующими социальной мобильности, устойчивости и конкурентоспособности обучающегося в условиях современных рыночных отношений.

Задачами дисциплины являются изучение аналитических функций, уравнений Коши-Римана, гармонических функций, теоремы о единственности аналитической функции, рядов Лорана и принципа максимума модуля, интегралов по контуру, рядов Лорана и областей сходимости, вычетов и теоремы Коши о вычетах, свойств аналитических функций, зависящих от параметра, гамма-функции, бета-функции, дзета-функции Римана, функций Бесселя и Лежандра, а также применение теории вычетов для решения задач математического моделирования, уравнений в частных производных, анализа данных и статистики, задач оптимизации и численных методов.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: сформированы систематические знания предмета в полном объеме рабочей программы.

Умения: сформированы умения анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, конкретизировать и систематизировать изученный материал, выделять в нем главное: устанавливать причинно-следственные связи.

Навыки (владения): сформировано владение навыками формулировки ответов; навыками свободного чтения результатов анализов и других исследований и решения ситуационных задач повышенной сложности; навыками работы с основной литературой и методами исследования большого объема, необходимого для практической деятельности; навыками соединения теоретических аспектов предмета с задачами практического значения.

3. Структура и содержание дисциплины

№ раздела	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Содержание дисциплины (модуля) по темам	Формируемые компетенции
1.	Аналитические функции комплексного переменного	Определение и свойства аналитических функций. Уравнения Коши-Римана. Гармонические функции. Теорема о единственности аналитической функции. Ряды Лорана и принцип максимума модуля.	ПК-2
2.	Интегралы и ряды в комплексной плоскости	Интегралы по контуру. Ряды Лорана и области сходимости. Вычеты и теорема Коши о вычетах. Свойства аналитических функций, зависящих от параметра. Теорема о вычетах и применения.
3.	Специальные функции комплексного переменного	Гамма-функция. Бета-функция. Дзета-функция Римана. Функции Бесселя. Функции Лежандра.
4.	Теоремы о вычетах и интегралах в комплексной плоскости	Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Теорема Коши о вычетах. Теорема Лиувилля. Теорема Руше.
5.	Применение функций комплексного переменного в задачах математического моделирования и анализа данных	Анализ функций комплексного переменного в задачах моделирования. Применение теории вычетов для решения задач математического моделирования. Решение уравнений в частных производных с использованием комплексного анализа. Применение комплексных функций в анализе данных и статистике. Использование комплексного анализа для решения задач оптимизации и численных методов.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Аналитические функции комплексного переменного	1. Определение и свойства аналитических функций: - Найти область аналитичности функции f(z) = z^2 + iz в комплексной плоскости. - Исследовать на сходимость ряд Тейлора функции f(z) = e^z в окрестности точки z = 0. 2. Уравнения Коши-Римана: - Найти все аналитические функции, удовлетворяющие уравнениям Коши-Римана в области D = z ∈ С : |Re(z)| < 1. - Решить уравнения Коши-Римана для функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y), где u(x, y) = x^2 - y^2 и v(x, y) = 2xy. 3. Гармонические функции: - Найти гармоническую функцию u(x, y), соответствующую вещественной части аналитической функции f(z) = z^3 + 2iz. - Исследовать свойства гармонической функции u(x, y) = x^2 - y^2 в области D = z ∈ С : |z| < 1. 4. Теорема о единственности аналитической функции: - Доказать, что если две аналитические функции f(z) и g(z) равны в некоторой области D, то они равны на всей области. - Показать, что если аналитическая функция f(z) имеет нули бесконечного порядка в точке z = a, то она тождественно равна нулю. 5. Ряды Лорана и принцип максимума модуля: - Найти разложение в ряд Лорана функции f(z) = 1/(z^2 + 1) в кольце 1 < |z| < 2. - Применить принцип максимума модуля к функции f(z) = z^2e^z в области D = z ∈ С : |z| ≤ 1.
2.	Интегралы и ряды в комплексной плоскости	1. Интегралы по контуру: - Вычислить интеграл ∫(C) z^2 dz, где C - контур, состоящий из отрезка [0, 1] и дуги окружности |z| = 1. - Найти значение интеграла ∫(C) e^(iz) dz, где C - контур, образованный полуокружностью Re(z) = 0, Im(z) ≤ 1, и отрезком [i, 1 + i]. 2. Ряды Лорана и области сходимости: - Найти разложение функции f(z) = 1/(z^2 - 4) в ряд Лорана в области |z| < 2. - Исследовать область сходимости ряда Лорана функции f(z) = e^(z)/(z^2 + 1) в комплексной плоскости. 3. Вычеты и теорема Коши о вычетах: - Найти вычет функции f(z) = 1/(z^2 - 1) в точке z = 1. - Доказать теорему Коши о вычетах для функции f(z) = sin(z)/z внутри круга |z| < R. 4. Свойства аналитических функций, зависящих от параметра: - Исследовать зависимость аналитической функции f(z, a) = z^a от параметра a. - Найти условия, при которых функция f(z, a) = e^(az) является аналитической относительно параметра a. 5. Теорема о вычетах и применения: - Применить теорему о вычетах для вычисления интеграла ∫(C) sin(z)/z dz, где C - контур, содержащий положительную действительную ось. - Использовать теорему о вычетах для вычисления интеграла ∫(C) e^(z)/(z^2 + 1) dz, где C - контур, образованный окружностью |z| = 2.
3.	Специальные функции комплексного переменного	Гамма-функция: 1. Найти значение Гамма-функции в точке z = 3/2. 2. Доказать, что Гамма-функция удовлетворяет соотношению Гюйгенса-Лиувилля: Γ(z+1) = zΓ(z). Бета-функция: 1. Вычислить значение Бета-функции B(2, 3). 2. Исследовать сходимость интеграла от Бета-функции: ∫[0, 1] x^(a-1) (1-x)^(b-1) dx. Дзета-функция Римана: 1. Показать, что для Re(z) > 1 справедливо представление дзета-функции: ζ(z) = ∑[n=1 до ∞] 1/n^z. 2. Найти нули и полюса дзета-функции Римана. Функции Бесселя: 1. Найти решение дифференциального уравнения Bessel при помощи функций Бесселя. 2. Исследовать асимптотическое поведение функций Бесселя при |z| → ∞. Функции Лежандра: 1. Найти полиномы Лежандра P_2(x) и P_3(x). 2. Доказать ортогональность функций Лежандра на интервале [-1, 1].
4.	Теоремы о вычетах и интегралах в комплексной плоскости	Теорема о вычетах: 1. Найти вычет функции f(z) = (z^2 + 1) / (z^3 - z) в точке z = 0. 2. Вычислить интеграл от функции f(z) = cos(z) / (z^2 + 1) по контуру, содержащему полупрямую Re(z) = 1 и окружность |z| = 2. Вычисление интегралов с помощью вычетов: 1. Рассчитать интеграл ∫[0, ∞] e^(iz) / (z^2 + 1) dz при помощи вычетов. 2. Найти значение интеграла ∫[0, 2π] cos(θ) / (1 + a^2 - 2a cos(θ)) dθ, где a > 1, используя метод вычетов. Теорема Коши о вычетах: 1. Доказать, что если функция f(z) аналитична внутри и на контуре C, кроме конечного числа особых точек, то ∮[C] f(z) dz = 0. 2. Используя теорему Коши о вычетах, вычислить интеграл ∫[C] z / (z^2 - 4) dz по контуру C, содержащему окружность |z| = 3. Теорема Лиувилля: 1. Доказать, что если ограниченная целая функция постоянна, то она является константой. 2. Найти все целые функции f(z), удовлетворяющие условию |f(z)| ≤ M|z|^n для всех z из комплексной плоскости. Теорема Руше: 1. Применить теорему Руше для оценки числа корней уравнения f(z) = z^3 + 2z^2 - 1 в круге |z| < 2. 2. Доказать, что если две функции f(z) и g(z) аналитичны внутри и на контуре C, и |f(z)| < |g(z)| на C, то f(z) и g(z) имеют одинаковое число нулей внутри C.
5.	Применение функций комплексного переменного в задачах математического моделирования и анализа данных	Анализ функций комплексного переменного в задачах моделирования: 1. Исследовать функцию f(z) = z^3 - 2iz + 1 на комплексной плоскости и определить её особенности для моделирования динамических систем. 2. Построить график функции g(z) = e^(iz) / (z^2 + 1) на комплексной плоскости и проанализировать её поведение для моделирования волновых процессов. Применение теории вычетов для решения задач математического моделирования: 1. Вычислить интеграл от функции f(z) = cos(z) / (z^2 + 1) по контуру, содержащему линию Re(z) = 2 и окружность |z| = 3 с использованием теории вычетов для моделирования электрических цепей. 2. Найти вычет функции f(z) = z^2 / (z^3 - 1) в точке z = 1 и использовать его для определения устойчивости системы в задаче математического моделирования. Решение уравнений в частных производных с использованием комплексного анализа: 1. Решить уравнение ∂u/∂x + i∂u/∂y = 0 с начальным условием u(x, 0) = x^2, используя метод комплексного анализа для моделирования распространения волн. 2. Найти решение уравнения Лапласа ∇^2u = 0 в круге |z| < 1 с граничным условием u(1, θ) = sin(θ), применяя комплексный анализ для моделирования теплопроводности. Применение комплексных функций в анализе данных и статистике: 1. Исследовать комплексную функцию f(z) = z^2 + iz - 1 на выборке данных и оценить её применимость для анализа зависимостей между переменными. 2. Применить комплексные числа для представления многомерных данных и провести анализ корреляции между переменными с использованием комплексного анализа. Использование комплексного анализа для решения задач оптимизации и численных методов: 1. Применить метод вычетов для оптимизации функции f(z) = z^4 - 4z^3 + 6z^2 - 4z + 1 и найти её минимум на комплексной плоскости. 2. Разработать численный метод решения уравнения f(z) = 0, где f(z) - аналитическая функция, с использованием комплексного анализа для повышения эффективности вычислений и сходимости метода.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Аналитические функции комплексного переменного	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Устный / письменный опрос: Что такое аналитическая функция в комплексном переменном и какие условия должны быть выполнены для того, чтобы функция была аналитической? Какие свойства имеют аналитические функции в комплексном переменном, и как они отличаются от действительных функций? Что такое уравнения Коши-Римана и какие связи они устанавливают между действительной и мнимой частями аналитической функции? Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы функция удовлетворяла уравнениям Коши-Римана, и как это связано с её аналитичностью? Что такое гармоническая функция в комплексном переменном и как она связана с аналитическими функциями? Какие свойства имеют гармонические функции и как они отличаются от произвольных функций в комплексной плоскости? Что означает теорема о единственности аналитической функции в комплексном переменном и какие условия необходимы для ее применения? Как формулируется утверждение о том, что две аналитические функции, совпадающие на некоторой области, равны на всей области? Какие условия необходимы для существования ряда Лорана для аналитической функции в комплексной плоскости? Что представляет собой ряд Лорана и какие его основные свойства?
2.	Интегралы и ряды в комплексной плоскости	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Устный / письменный опрос: Что такое интеграл по контуру комплекснозначной функции и как он определяется? Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы интеграл по контуру был корректно определен? Что такое ряд Лорана, и как он отличается от обычного степенного ряда? Как определить область сходимости ряда Лорана в комплексной плоскости? Что такое вычет функции в точке, и как он связан с интегралами по контуру? Как определить вычет функции в полюсе, и как это помогает вычислить интегралы с помощью теоремы Коши о вычетах? Какие свойства аналитических функций зависят от параметра, и как эти функции обычно записываются? Какие методы используются для исследования зависимости аналитических функций от параметра в комплексной плоскости? Как формулируется теорема о вычетах для функций, аналитических внутри замкнутого контура? Какие условия необходимы для применения теоремы о вычетах на контуре, содержащем особые точки функции?
3.	Специальные функции комплексного переменного	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Устный / письменный опрос: Как определяется гамма-функция для комплексных чисел? Какие свойства имеет гамма-функция, и как она связана с факториалом целого числа? Как определяется бета-функция и в каких случаях она применяется? Какие свойства имеет бета-функция, и как она связана с гамма-функцией? Что такое дзета-функция Римана и как она определяется в комплексной плоскости? Какие свойства имеет дзета-функция Римана, и какие особенности она обладает на критической линии Re(s) = 1/2? Что такое функции Бесселя и как они связаны с решением уравнения Бесселя? Как определяются функции Бесселя первого и второго рода, а также их модификации? Как определяются функции Лежандра и какие области их применения существуют в математике и физике? Каковы основные свойства функций Лежандра, включая ортогональность, рекуррентные соотношения и асимптотическое поведение?
4.	Теоремы о вычетах и интегралах в комплексной плоскости	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Устный / письменный опрос: Что такое теорема о вычетах и как она формулируется для функций, аналитических в области с выколотой точкой? Какие условия необходимы для применения теоремы о вычетах и какие шаги следует выполнить при её доказательстве? Какие основные шаги необходимо выполнить для вычисления определенного интеграла с помощью теоремы о вычетах? Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы функция имела конечное число вычетов внутри контура интегрирования? Как формулируется теорема Коши о вычетах и какие выводы можно сделать из этой теоремы? Как можно использовать теорему Коши о вычетах для вычисления интегралов по контуру в комплексной плоскости? Как формулируется теорема Лиувилля о функциях, голоморфных во всей комплексной плоскости, и какие выводы можно сделать из этой теоремы? Какие условия должны быть выполнены для применения теоремы Лиувилля к функции, определенной на всей комплексной плоскости? Как формулируется теорема Руше и какие условия должны быть выполнены для её применения к функциям, определённым на области в комплексной плоскости? Какие выводы можно сделать из теоремы Руше о количестве нулей функции внутри контура, основываясь на изменении числа нулей при добавлении малого возмущения функции?
5.	Применение функций комплексного переменного в задачах математического моделирования и анализа данных	Проверка выполнения домашних заданий; Устный / письменный опрос; Коллоквиум	Устный / письменный опрос: Какие методы анализа функций комплексного переменного могут быть применены для моделирования поведения системы в комплексной плоскости? Какие преимущества предоставляет использование функций комплексного переменного при анализе данных и построении математических моделей? Как можно использовать теорию вычетов для нахождения интегралов от комплексных функций и какие преимущества это дает при решении задач математического моделирования? Какие методы анализа функций комплексного переменного основаны на понятии вычетов, и как они могут быть применены для моделирования поведения системы в комплексной плоскости? Как можно использовать методы комплексного анализа для решения уравнений в частных производных в области математического моделирования? Какие преимущества предоставляет комплексный анализ при решении уравнений в частных производных по сравнению с классическими методами? Как можно использовать комплексные функции в анализе данных для представления многомерных данных и выявления закономерностей? Какие методы комплексного анализа могут быть применены для анализа временных рядов и прогнозирования данных? Как комплексные функции могут быть использованы для поиска минимума или максимума функции в задачах оптимизации? Какие численные методы на основе комплексного анализа могут быть применены для решения систем нелинейных уравнений? Объясните, каким образом аналитические функции комплексного переменного могут быть применены в задачах математического моделирования для оптимизации работы систем машинного обучения, включая глубокое обучение и различные подходы к обучению? Приведите конкретные примеры использования комплексного анализа для улучшения работы алгоритмов машинного обучения. (ПК-2) Как можно использовать специальные функции комплексного переменного в задачах анализа данных, связанных с временными рядами, обработкой естественного языка и другими типами информации? Объясните, какие преимущества могут быть получены при применении функций комплексного переменного в моделировании и анализе данных по сравнению с классическими методами, такими как ARIMA, нейронные сети и диффузионные модели. (ПК-2) Какие основные принципы комплексного анализа могут быть применены при создании и анализе нейросетевых моделей для оптимизации работы систем машинного обучения? Объясните, как использование функций комплексного переменного может помочь в подборе гиперпараметров, оптимизации моделей и повышении их эффективности. (ПК-2) Каким образом функции комплексного переменного могут быть использованы для анализа и оптимизации структур нейронных сетей, включая процесс обучения и выбор оптимальных архитектур? Приведите конкретные примеры применения комплексного анализа в работе с нейронными сетями и объясните, как это способствует улучшению производительности моделей и достижению наилучших результатов. (ПК-2) Какие современные методы и инструменты, основанные на функциях комплексного переменного, могут быть применены для оптимизации работы нейросетевых моделей в задачах машинного обучения? Объясните, как использование функций комплексного анализа может помочь в выборе оптимальных гиперпараметров, архитектур и алгоритмов обучения нейронных сетей. (ПК-2) Какие современные технологии и методологии разработки в области искусственного интеллекта могут воспользоваться применением функций комплексного переменного для улучшения производительности и эффективности моделей? Приведите конкретные примеры использования комплексного анализа в задачах математического моделирования и анализа данных, связанных с машинным обучением, и объясните, как это способствует достижению лучших результатов при разработке систем искусственного интеллекта. (ПК-2)

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Вопросы
1.	Аналитические функции комплексного переменного	Как можно представить аналитическую функцию в виде степенного ряда, и какие свойства имеет этот ряд? Какие методы используются для определения аналитической функции по её ряду Тейлора или Лорана? Какие теоремы существуют для аналитических функций в комплексном переменном, и как они могут быть использованы для исследования поведения функций? Как можно использовать уравнения Коши-Римана для исследования свойств аналитических функций в комплексном переменном? Какие методы решения уравнений Коши-Римана существуют, и как они могут быть применены для нахождения аналитических функций? Как уравнения Коши-Римана связаны с гармоническими функциями и как это отражается на свойствах комплексных функций? Каково определение гармонической функции в декартовых и полярных координатах, и как эти определения соотносятся друг с другом? Как можно использовать гармонические функции для решения задач математической физики, например, уравнения Лапласа или уравнения теплопроводности? Какие методы существуют для построения гармонических функций и какие свойства они обладают в контексте комплексного переменного? Как можно использовать теорему о единственности аналитической функции для доказательства существования или отсутствия решений уравнений в комплексной плоскости? Как связана теорема о единственности аналитической функции с понятием аналитического продолжения и его уникальностью? Какие примеры применения теоремы о единственности аналитической функции можно привести из различных областей математики и физики? Как можно вычислить коэффициенты ряда Лорана для аналитической функции с помощью формулы Коши-Адамара? Какой принцип лежит в основе принципа максимума модуля для аналитических функций в комплексной плоскости? Каким образом принцип максимума модуля может быть использован для доказательства теорем о нулях аналитических функций или об оценке их поведения на границе области?
2.	Интегралы и ряды в комплексной плоскости	Какие свойства имеют интегралы по контуру, аналогичные свойствам интегралов вещественных функций? Как можно вычислить интеграл по контуру с помощью параметризации контура и замены переменной? Какой принцип лежит в основе вычисления интегралов по контурам в комплексной плоскости, и как он используется для решения задач? Какие методы можно использовать для определения области сходимости ряда Лорана, если она не является кругом или кольцом? Как связаны коэффициенты ряда Лорана с вычислением вычетов функции в комплексной плоскости? Какие свойства имеют ряды Лорана, и как они используются для анализа функций в комплексной плоскости? Какие условия должны быть выполнены для применения теоремы Коши о вычетах к вычислению интегралов по контуру? Какие типы особых точек могут быть у функции, и какие методы используются для вычисления вычетов в этих точках? Как связаны вычеты функции с её аналитичностью в области, и как это отражается на её поведении в комплексной плоскости? Какие результаты можно получить, исследуя аналитическую функцию, зависящую от параметра, с помощью ряда Лорана или ряда Тейлора? Какие свойства у аналитических функций с переменным параметром могут быть использованы для вычисления интегралов в комплексной плоскости? Какие приложения имеют аналитические функции, зависящие от параметра, в математике и физике, и какие особенности их поведения могут быть выявлены при изучении? Как можно вычислить интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру с помощью теоремы о вычетах? Какие свойства вычетов функции могут использоваться для вычисления интегралов с помощью теоремы о вычетах? Какие практические применения имеет теорема о вычетах в физике и инженерии, и какие результаты можно получить, используя эту теорему?
3.	Специальные функции комплексного переменного	Как можно выразить гамма-функцию через интеграл, и какие условия должны быть выполнены для существования этого интеграла? Какой является область сходимости гамма-функции, и какие особенности она имеет на вещественной оси и в комплексной плоскости? Какие приложения имеет гамма-функция в математике, физике и других областях, и какие свойства этой функции используются для решения задач? Как можно выразить бета-функцию через интеграл, и какие условия должны быть выполнены для существования этого интеграла? Какой является область сходимости бета-функции, и какие особенности она имеет на вещественной оси и в комплексной плоскости? Какие приложения имеет бета-функция в математике, физике и других областях, и какие свойства этой функции используются для решения задач? Как связана дзета-функция Римана с простыми числами и распределением простых чисел? Какие методы используются для аналитического продолжения дзета-функции Римана за пределы области сходимости? Какие важные гипотезы связаны с дзета-функцией Римана, и какие результаты из теории чисел зависят от этих гипотез? Каковы основные свойства функций Бесселя, такие как рекуррентные соотношения, асимптотическое поведение и графики? Как функции Бесселя используются в физике и инженерии, например, в задачах математической физики или в теории управления? Как можно выразить функции Бесселя через другие специальные функции, такие как функции Лагерра или гипергеометрические функции, и какие связи между ними существуют? Как можно выразить функции Лежандра через другие специальные функции, такие как функции Бесселя или гипергеометрические функции, и какие связи между ними существуют? Как решаются дифференциальные уравнения, содержащие функции Лежандра, и какие методы используются для нахождения их решений? Как функции Лежандра используются в приложениях, таких как теория потенциала, квантовая механика или теория электромагнитного поля, и какие интересные свойства они обладают в этих контекстах?
4.	Теоремы о вычетах и интегралах в комплексной плоскости	Какие свойства имеют вычеты функции в комплексной плоскости и как они связаны с интегралами по контуру? Как можно использовать теорему о вычетах для вычисления определенных интегралов, связанных с функциями, имеющими особенности в комплексной плоскости? В каких областях математики и физики наиболее часто применяется теорема о вычетах, и какие результаты она позволяет получить в этих областях? Как связаны вычеты функции с её особенностями в комплексной плоскости и как это позволяет упростить вычисление интегралов? Какие методы можно использовать для нахождения вычетов функции в случае, если они не являются простыми? Как можно применить теорему о вычетах для вычисления интегралов с особенностями в виде полюсов или устранимых особенностей?Как классифицируются вычеты функции в комплексной плоскости и какие свойства у них имеются? Какие основные шаги необходимо выполнить для применения теоремы Коши о вычетах к вычислению интегралов с особенностями? Как связана теорема Коши о вычетах с теоремой о вычетах и какие преимущества дает её использование при решении задач на интегрирование в комплексной плоскости? Какие свойства имеют функции, удовлетворяющие условиям теоремы Лиувилля, и как можно использовать эту теорему для доказательства некоторых утверждений о функциях в комплексной плоскости? Как теорема Лиувилля связана с понятием ограниченности голоморфных функций в комплексной плоскости и как это свойство может быть полезно при решении задач на анализ функций? Какие методы можно применить для доказательства теоремы Лиувилля и какие примеры функций можно привести в контексте этой теоремы? Как доказывается теорема Руше и какие методы используются для установления соответствующих условий, необходимых для её применения? Как теорема Руше используется для вычисления интегралов по контурам и какие примеры интегралов можно рассмотреть в контексте этой теоремы? Какие свойства функций могут быть выявлены с помощью теоремы Руше, и как это помогает в анализе поведения функций в комплексной плоскости?
5.	Применение функций комплексного переменного в задачах математического моделирования и анализа данных	Как можно использовать теоремы о голоморфности и аналитичности функций для решения задач математического моделирования в комплексной плоскости? Какие методы численного моделирования основаны на функциях комплексного переменного, и как они применяются в решении практических задач? Какие конкретные примеры задач математического моделирования можно рассмотреть, используя функции комплексного переменного, и какие результаты можно получить с их помощью? Каким образом теория вычетов помогает в решении задач нахождения собственных значений и собственных векторов линейных операторов в комплексном пространстве? Как можно использовать вычеты для анализа устойчивости динамических систем и какие результаты можно получить с их помощью при построении математических моделей? Какие конкретные примеры задач математического моделирования можно рассмотреть, используя теорию вычетов, и какие выводы можно сделать на основе полученных результатов? Каким образом можно применить теорию вычетов для нахождения решений уравнений в частных производных с комплексными коэффициентами? Какие методы комплексного анализа могут быть использованы для анализа устойчивости решений уравнений в частных производных в задачах математического моделирования? Какие конкретные задачи математического моделирования можно успешно решить, используя комплексный анализ для уравнений в частных производных, и какие результаты можно получить с помощью этих методов? Каким образом комплексные функции могут быть использованы для решения задач классификации и кластеризации данных? Какие преимущества предоставляет применение комплексных функций в статистике при сравнении различных моделей и оценке их качества? Как можно использовать комплексный анализ для анализа больших объемов данных и оптимизации процессов обработки информации в современных информационных системах? Как можно использовать комплексный анализ для улучшения сходимости и эффективности численных методов оптимизации? Как комплексные функции помогают в решении задач численного интегрирования и дифференцирования? Какие преимущества предоставляет применение комплексного анализа в численных методах по сравнению с классическими методами оптимизации и численного анализа?

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

Выберите правильный вариант ответа.

1. Что означает условие аналитичности функции в точке z = x + iy?

A) Функция является дифференцируемой в точке z

B) Функция удовлетворяет уравнениям Коши-Римана в точке z

C) Функция голоморфна в окрестности точки z

D) Функция имеет сходящийся степенной ряд в окрестности точки z

Правильный ответ: A,B,C,D

2. Какие функции являются аналитическими на всей комплексной плоскости?

A) $f(z) = e^(1/z)

B) $f(z) = sinz

C) $f(z) = log z

D) $f(z) = 1/z

Правильный ответ: B

3. Какое условие должна удовлетворять функция $f(z), чтобы она была аналитической в области $D?

A) Функция непрерывна в области $D

B) Функция удовлетворяет уравнениям Коши-Римана в области $D

C) Функция имеет непрерывные частные производные в области $D

D) Функция имеет пределы в каждой точке области $D

Правильный ответ: B

4. Какие из перечисленных функций не являются голоморфными на всей комплексной плоскости?

A) $f(z) = z^2 + 1

B) $f(z) = e^iz

C) $f(z) = cos z

D) $f(z) = √(z)

Правильный ответ: D

5. Какие функции являются решениями уравнений Коши-Римана?

A) $u(x, y) = x^2 - y^2, $v(x, y) = 2xy

B) $u(x, y) = e^xcos y, $v(x, y) = -e^xsiny

C) $u(x, y) = x^2 - y^2, $v(x, y) = x^2 + y^2

D) $u(x, y) = sin x cosh y, $v(x, y) = cosx sinhy

Правильный ответ: B,D

6. Какая функция является гармонической?

A) $u(x, y) = x^2 - y^2

B) $u(x, y) = e^xcos y

C) $u(x, y) = sinx coshy

D) $u(x, y) = log(x^2 + y^2)

Правильный ответ: A,B,C,D.

7. Какое утверждение верно для гармонической функции?

A) Гармоническая функция удовлетворяет уравнению Лапласа Δ u = 0

B) Гармоническая функция имеет комплексную производную в каждой точке

C) Гармоническая функция всегда имеет изолированные особые точки

D) Гармоническая функция не может быть представлена в виде степенного ряда

Правильный ответ: A

8. Какое утверждение верно относительно ряда Лорана?

A) Ряд Лорана представляет аналитическую функцию в окрестности особой точки

B) Ряд Лорана сходится равномерно на всей комплексной плоскости

C) Ряд Лорана всегда имеет конечное число слагаемых

D) Ряд Лорана сходится только в точке разложения

Правильный ответ: A

9. Какой принцип утверждает, что максимум модуля аналитической функции достигается на границе области?

A) Принцип максимума модуля

B) Принцип максимума модуля для ряда Лорана

C) Принцип единственности аналитической функции

D) Принцип непрерывности аналитической функции

Правильный ответ: A

10. Какое утверждение верно относительно ряда Лорана?

A) Ряд Лорана представляет аналитическую функцию в окрестности особой точки

B) Ряд Лорана сходится равномерно на всей комплексной плоскости

C) Ряд Лорана всегда имеет конечное число слагаемых

D) Ряд Лорана сходится только в точке разложения

Правильный ответ: A

11. Какое свойство имеют особые точки функции, разложенной в ряд Лорана?

A) Они являются полюсами функции

B) Они являются изолированными особенностями

C) Они являются существенными особенностями

D) Они не влияют на поведение функции в окрестности

Правильный ответ: A, B

12. Что такое вычет функции в точке?

A) Это значение функции в данной точке

B) Это значение производной функции в данной точке

C) Это интеграл функции вдоль контура, содержащего данную точку

D) Это коэффициент при степени (z - z_0)^-1 в разложении функции в ряд Лорана в точке $z_0

Правильный ответ: D

13. Какая теорема утверждает, что интеграл по замкнутому контуру аналитической функции равен сумме вычетов функции внутри контура?

A) Теорема Коши

B) Теорема Римана

C) Теорема Фубини

D) Теорема Лагранжа

Правильный ответ: A

14. Как изменится вычет функции, если точка вычета сдвинется на некоторое расстояние?

A) Вычет останется тем же

B) Вычет увеличится в два раза

C) Вычет уменьшится в два раза

D) Вычет изменится, но не всегда можно однозначно определить изменение

Правильный ответ: A

15. Какая формула определяет гамма-функцию через интеграл?

A) Γ(z) = ∫_0^∞e^-tt^z-1 dt

B) Γ(z) = ∫_0^1 e^-tt^z-1 dt

C) Γ(z) = ∫_-∞^∞e^-tt^z-1 dt

D) Γ(z) = ∫_-∞^0 e^-tt^z-1 dt

Правильный ответ: A

16. Что утверждает теорема Лиувилля?

A) Если функция голоморфна внутри и на контуре, то ее интеграл по контуру равен нулю

B) Если функция голоморфна на всей комплексной плоскости и ограничена, то она постоянна

C) Если функция имеет конечное число полюсов, то ее вычеты равны нулю

D) Если функция имеет конечное число нулей, то она постоянна

Правильный ответ: B

17. Что такое теорема о вычетах?

A) Это теорема, утверждающая равенство количеств нулей и полюсов функции внутри контура

B) Это теорема, утверждающая равенство интегралов по контуру для двух функций

C) Это теорема, утверждающая равенство интеграла по контуру и суммы вычетов функции внутри контура

D) Это теорема, утверждающая равенство значения функции в одной точке и суммы вычетов функции в этой точке

Правильный ответ: C

18. Какие вычеты необходимо учитывать при вычислении интеграла по контуру с помощью теоремы о вычетах?

A) Только нулевые вычеты

B) Только полюса первого порядка

C) Все вычеты внутри контура

D) Только особые точки на контуре

Правильный ответ: C

19. Для каких задач математического моделирования часто применяются методы комплексного анализа?

A) Решение уравнений в частных производных

B) Анализ данных и статистика

C) Оптимизация и численные методы

D) Все перечисленное

Правильный ответ: D

20. Какие задачи оптимизации можно решать с использованием комплексного анализа?

A) Минимизация функций в комплексной плоскости

B) Поиск глобального экстремума функций

C) Решение систем линейных уравнений

D) Определение распределения случайных величин

Правильный ответ: A

21. Какие методы комплексного анализа применяются в анализе данных и статистике?

A) Преобразование Фурье и преобразование Лапласа

B) Метод конечных элементов и метод конечных разностей

C) Метод наименьших квадратов и метод Гаусса

D) Метод Эйлера и метод Рунге-Кутты

Правильный ответ: A

22. Какие типы задач численных методов могут быть решены с применением комплексного анализа?

A) Решение дифференциальных уравнений

B) Решение интегральных уравнений

C) Решение систем линейных уравнений

D) Решение задач оптимизации

Правильный ответ: A

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Основная литература:

1. Бернштейн, Т. В. Теория функций комплексной переменной: учебное пособие / Т. В. Бернштейн, Д. А. Прокудин. — Новосибирск: Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2017. — 64 c. — Режим доступа: https://www.iprbookshop.ru/78153.html — ЭБС «IPRbooks».

2. Гусак, А. А. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова, Г. М. Гусак. — Минск: ТетраСистемс, 2002. — 208 c. — Режим доступа: https://www.iprbookshop.ru/28246.html — ЭБС «IPRbooks».

Дополнительная литература:

1. Каибханов, К. Э. Теория функций комплексного переменного: учебное пособие / К. Э. Каибханов, В. В. Ершов, Е. В. Тетруашвили. — Саратов: Ай Пи Эр Медиа, 2019. — 123 c. — Режим доступа: https://www.iprbookshop.ru/83816.html — ЭБС «IPRbooks».

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.