Функциональный анализ

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): П.А. Останин

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области методов функционального анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. В ходе освоения дисциплины обучающиеся рассматривают фундаментальные вопросы, необходимые современному исследователю в области моделирования, вычислительной математики, теории вероятностей, оптимизации, машинного обучения: знакомятся с метрическими пространствами, а также с важнейшими примерами бесконечномерных линейных пространств - банаховыми и гильбертовыми пространствами, изучают их геометрические характеристики, аппроксимационные свойства этих пространств. Рассматриваются элементы теории линейных ограниченных операторов и их свойства: ограниченность, компактность. Изучаются способы исследования характеристик операторов с помощью их сопряжённых. Рассматриваются элементы спектральной теории операторов и элементы нелинейного анализа.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является изучение бесконечномерных пространств с нормой, пространств со скалярным произведением, а также линейных операторов в этих пространствах.

Задачи дисциплины:

изучение метрических пространств, свойства полноты, сепарабельности;
изучение понятия компактности и свойств компактных множеств метрического пространства;
изучение теорем о неподвижных точках, принципа сжимающих отображений;
изучение линейных нормированных пространств и их геометрических свойств (эквивалентные нормы, базисы, полные система);
изучение гильбертовых пространств и их геометрических свойств (понятия ортогональности, понятия ряда Фурье по ортогональной системе);
изучение теории линейных операторов в банаховом и гильбертовом пространстве, свойств непрерывности, ограниченности, компактности, а также методов работы с сопряжёнными операторами;
изучение слабой сходимости в банаховых и гильбертовых пространствах, понятие рефлексивности и свойства рефлексивных пространств.
изучение элементов спектральной теории операторов, спектральных свойств компактных нормальных операторов в гильбертовом пространстве.
изучение элементов нелинейного анализа, производной Фреше, оптимизации функционалов в бесконечномерных нормированных пространствах.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания:

основные примеры метрических пространств и их геометрических свойств;
свойства метрических компактов, преимущества работы с компактными метрическими пространствами;
основные примеры банаховых и гильбертовых пространств и их геометрических свойств;
основные характеристики линейных операторов и подходы к работе с ними;

Умения:

работа с метрическими пространствами;
работа с банаховыми и гильбертовыми пространствами;
анализ подходящего набора пространств для конкретной прикладной задачи;
исследование свойств линейных операторов.

Навыки (владения):

исследование полноты и сепарабельности метрического пространства, исследование множества на компактность;
исследование эквивалентности норм, полноты системы векторов, разложение вектора по ортогональной системе;
исследование отображения на сжимаемость, оценка скорости сходимости к неподвижной точке;
поиск нормы линейного оператора, исследование его компактности, вычисление его сопряжённого;
исследование слабой сходимости векторов нормированного пространства;
поиск спектра оператора, исследование существования и поиск базиса из его собственных векторов;
вычисление производной Фреше нелинейного оператора, получение условий оптимальности для нелинейного функционала.

3. Структура и содержание дисциплины

Темы, помеченные (*), планируется дать без доказательства, но показать их применение

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Элементы теории метрических пространств	фундаментальность и полнота сепарабельность пополнение неполного метрического пространства теорема Бэра о категории (*)
2.	Компактные метрические пространства	секвенциальная компактность эквивалентность компактности полноте и вполне ограниченности теорема Вейерштрасса для непрерывной функции на метрическом компакте критерии компактности для конкретных метрических пространств
3.	Компактные метрические пространства	принцип Банаха сжимающих отображений оценка скорости сходимости к неподвижной точке примеры задач, сводящихся к принципу сжимающих отображений (теорема существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ, итерационные методы решения СЛАУ, градиентный спуск, метод Ньютона, теорема о неявной функции) другие теоремы о неподвижных точках (*)
4.	Линейные нормированные пространства	понятие эквивалентных норм теорема о некомпактности сферы бесконечномерного нормированного пространства лемма о почти перпендикуляре полные системы и аппроксимации теорема Стоуна-Вейерштрасса (*)
5.	Евклидовы и унитарные пространства	тождество параллелограмма теорема о проекции теорема об ортогональном разложении полная и ортогональная система, ряд Фурье теорема Рисса-Фреше условное математическое ожидание в L_2 как ортогональная проекция на подпространство
6.	Линейные операторы в нормированных пространствах	эквивалентность непрерывности и ограниченности для линейного оператора пространство L(X, Y) как банахово пространство теорема Банаха-Штейнгауза и поточечная сходимость операторов теоремы об открытом отображении и о замкнутом графике (*) сопряжённый оператор, теоремы Фредгольма и связь с типами разрешимости операторных уравнений компактные линейные операторы, аппроксимация конечномерными операторами
7.	Слабая сходимость	теорема Хана-Банаха и её следствия сопряжённое пространство критерий слабой сходимости рефлексивные пространства двойственность в функциональном анализе аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для слабой сходимости в рефлексивном пространстве, его приложения действие компактного оператора на слабо сходящуюся последовательность
8.	Элементы спектральной теории линейных операторов	спектр оператора и его компоненты ряд Неймана и возмущения оператора оценка ошибки решения возмущённого уравнения вычисление резольвенты, вычисление аналитической функции от линейного ограниченного оператора спектральные свойства компактных операторов (), существование полных систем собственных векторов у компактных нормальных операторов (), компактность некоторых операторов, обратных к дифференциальным спектральный портрет матрицы через оценку нормы резольвенты
9.	Элементы нелинейного анализа	производная Фреше минимизация функционалов в бесконечномерных пространствах элементы теории обратных задач, сопряжённые уравнения и регуляризация

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Элементы теории метрических пространств	Исследуйте полноту данного метрического пространства. Исследуйте сепарабельность данного метрического пространства. Постройте пополнение данного неполного метрического пространства. Найдите точки прикосновения данного множества, исследуйте множество на открытость и замкнутость.
2.	Компактные метрические пространства	Исследуйте компактность данного множества в метрическом пространстве. Исследуйте функцию между двумя метрическими пространствами на непрерывность. Докажите, что функция достигает на данном множестве минимального значения. Проверьте равностепенную непрерывность семейства функций. Проверьте, что из последовательности точек данного множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
3.	Теоремы о неподвижных точках	Докажите, что отображение является сжимающим. Предложите итерационный алгоритм, сходящийся к неподвижной точке данного отображения. Исследуйте скорость сходимости построенной последовательности к неподвижной точке. [Для задач, связанных с вычислительными методами] Реализуйте алгоритм вычисления неподижной точки на компьютере.
4.	Линейные нормированные пространства	Исследуйте две нормы на эквивалентность. Является ли данное нормированное пространство банаховым? Достигает ли данная функция минимума на данном множестве нормированного пространства? Существует ли во множестве элемент наилучшего приближения для данного вектора? Является ли данная счётная система векторов полной системой? Является ли она базисом Шаудера?
5.	Евклидовы и унитарные пространства	Порождается ли данная норма скалярным произведением? Найдите элемент наилучшего приближения для данного вектора в данном множестве. Найдите ортогональное дополнение данного подпространства. Является ли данная ортогональная система полной? Можно ли разложить данный вектор в ряд Фурье по данной ортогональной системе? Вычислить это разложение. Представить данный функционал скалярным произведением с некоторым вектором.
6.	Линейные операторы в нормированных пространствах	Найти норму данного линейного оператора. Исследовать поточечную сходимость операторной последовательности. Исследовать сходимость операторной последовательности в пространстве L(X, Y). Доказать, что поточечный предел последовательности операторов является непрерывным. Найти обратный оператор для данного. Найти сопряжённый оператор для данного. Исследовать компактность оператора. Построить аппроксимирующую последовательность конечномерных операторов, если она существует. Исследовать замкнутость оператора.
7.	Слабая сходимость	Исследовать слабую сходимость последовательности. Построить продолжение с сохранением нормы данного функционала на подпространстве, исследовать единственность продолжения С помощью аналога теоремы Больцано-Вейерштраса доказать существование элемента наилучшего приближения. С помощью аналога теоремы Больцано-Вейерштраса доказать замкнутость множества. Для данной экстремальной задачи в нормированном пространстве получить двойственную задачу в сопряжённом пространстве.
8.	Элементы спектральной теории линейных операторов	Найти спектр оператора и его компоненты. Найти резольвенту оператора на множестве регулярных значений. Вычислить аналитическую функцию от данного оператора. Найти численно аналитическую функцию от данной матрицы. Найти базис из собственных векторов у данного компактного нормального оператора. Построить сингулярное разложение данного компактного оператора. Построить полярное разложение данного оператора. Построить численно спектральный портрет матрицы с помощью её резольвенты.
9.	Элементы нелинейного анализа	Вычислить производную Фреше данного нелинейного оператора. Записать условия минимальности данного функционала в бесконечномерном пространстве. Исследовать разрешимость полученной системы. Решить систему, если это возможно. Предложить алгоритм решения данной экстремальной задачи в бесконечномерном пространстве. Исследовать его сходимость. Построить конечномерную аппроксимацию задачи и реализовать численный алгоритм решения.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

(К формам текущего контроля можно отнести собеседование, коллоквиум, тест, контрольную работу, лабораторную работу, эссе, реферат и иные творческие работы.)

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Элементы теории метрических пространств	Проверка выполнения домашних заданий;	Что такое фундаментальная последовательность? Что такое полное метрическое пространство? Что такое сепарабельное метрическое пространство? Какие полные метрические пространства Вы знаете? В чем состоит теорема Бэра?в
2.	Компактные метрические пространства	Проверка выполнения домашних заданий;	Какие множества называются компактными? Какие - секвенциально компактными? Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Что такое вполне ограниченное множество? Что такое eps-сеть? Что такое равностепенная непрерывность семейства функций?
3.	Теоремы о неподвижных точках	Проверка выполнения домашних заданий;	Что такое сжимающее отображение? Как коэффициент сжатия влияет на скорость сходимости итерационных процессов к неподвижной точке?
4.	Линейные нормированные пространства	Проверка выполнения домашних заданий;	Какие нормы называются эквивалентными? Зачем исследовать эквивалентность норм? Поясните, какие трудности при решении практических задач создаёт некомпактность сферы бесконечномерного пространства. Что гарантирует теорема о почти перпендикуляре? Всегда ли существует проекция на данное линейное подпространство? Можно ли приблизить вектор элементами данной системы? Можно ли разложить его в ряд по элементам системы?
5.	Евклидовы и унитарные пространства	Проверка выполнения домашних заданий;	Как связаны тождество параллелограмма и скалярное произведение? Для каких подмножеств гильбертова пространства гарантируется существование проекции? Какие подпространства имеют ортогональные дополнения? Когда вектор можно разложить в ряд Фурье по ортогональной системе?
6.	Линейные операторы в нормированных пространствах	Проверка выполнения домашних заданий;	Как проверить непрерывность линейного оператора? Когда из поточечной сходимости операторов можно сделать вывод о непрерывности предела? Что такое открытое отображение? Что такое замкнутый оператор? Что такое сопряжённый оператор, между какими пространствами он действует? Для каких операторов существует обратный? Сформулируйте теорему Фредгольма. Какие операторы называются компактными? В чём удобство и в чем неудобство работы с компактным оператором?
7.	Слабая сходимость	Проверка выполнения домашних заданий;	Какая последовательность называется является слабо сходящейся? Что такое рефлексивные пространства? Какие Вы знаете рефлексивные пространства, а какие - не рефлексивные? В каких случаях из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность?
8.	Элементы спектральной теории линейных операторов	Проверка выполнения домашних заданий;	Что такое спектр оператора и какие у него свойства? Что такое резольвента и где она определена? В чём заключается теорема о спектре компактного оператора? Когда можно гарантировать, что данный линейный оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов? Приведите пример дифференциального оператора, обратный к которому является компактным при подходящем выборе пространств.
9.	Элементы нелинейного анализа	Проверка выполнения домашних заданий;	Что такое производная Фреше? Как с её помощью искать минимум функционала? Опишите схему вариационного подхода к решению обратной задачи. Что такое регуляризация по Тихонову?

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Элементы теории метрических пространств	Известные полные и неполные пространства Пример неполного пространства и его пополнения Известные сепарабельные и несепарабельные пространства Сепарабельно ли пополнение сепарабельного неполного пространства? Множества первой и второй категории Бэра
2.	Компактные метрические пространства	Компакт Секвенциальный компакт eps-сеть Вполне ограниченность Теорема Вейерштрасса
3.	Теоремы о неподвижных точках	Сжимающее отображение Теорема Банаха о сжимающих отображениях
4.	Линейные нормированные пространства	Эквивалентные нормы Некомпактность сферы Известные примеры полных систем в пространстве непрерывных функций.
5.	Евклидовы и унитарные пространства	Примеры норм, порождённых скалярным произведением, и норм, которые не порождаются никаким скалярным произведением Проекция точки на множество Ортогональное разложение евклидова (унитарного) пространства Ортогональная система Ряд Фурье
6.	Линейные операторы в нормированных пространствах	Норма оператора Поточечная сходимость и сходимость по операторной норме Теорема Банаха-Штейнгауза Сопряжённый оператор Компактный оператор
7.	Слабая сходимость	Слабая сходимость Рефлексивное пространство Примеры рефлексивных и нерефлексивных пространств
8.	Элементы спектральной теории линейных операторов	Точечный, непрерывный и остаточный спектр оператора Резольвента оператора Теорема о спектре компактного оператора Пример оператора с ортонормированным базисом из собственных векторов
9.	Элементы нелинейного анализа	Производная Фреше Условия оптимальности функционала Решение регуляризованного операторного уравнения

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

Первый триместр

Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Полные и сепарабельные пространства Критерий полноты метрического пространства (принцип вложенных шаров).
Пополнение метрического пространства.
Связь компактности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности.
Теорема Вейерштрасса для непрерывной функции на метрическом компакте.
Равностепенная непрерывность. Теорема Арцела-Асколи.
Принцип Банаха сжимающих отображений.
Примеры задач, сводящихся к сжимающим отображениям.
Примеры эквивалентных и неэквивалентных норм. Эквивалентность норм конечномерного пространства.
Лемма о почти перпендикуляре и некомпактность сферы бесконечномерного пространства.
Теорема Рисса о проекции и об ортогональном разложении.
Полные и ортогональные системы. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Критерий полноты ортогональной системы.
Теорема Рисса-Фреше.

Второй триместр

Эквивалентность непрерывности и ограниченности линейного оператора. теорема Банаха-Штейнгауза.
Обратный оператор. Критерий существования. Теорема об открытом отображении (без доказательства). Теорема о замкнутом графике.
Сопряжённый оператор. Равенство норм оператора и его сопряжённого. Связь спектров оператора и его сопряжённого.
Теорема Хана-Банаха.
Следствия из теоремы Хана-Банаха.
Свойства канонического вложения X во второе сопряжённое X**. Рефлексивное пространство.
Ряд Неймана и непрерывность операции обращения оператора.
Спектр оператора и его свойства.
Резольвента и её связь с вычислениями аналитических функций от оператора.
Спектральные свойства компактных операторов. Пример дифференциального оператора с компактным обратным.
Операторы в гильбертовом пространстве, имеющие ортонормированный базис из собственных векторов.
Сингулярное и полярное разложение операторов.
Производная Фреше.
Вариационный подход к решению обратных задач.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] : учебник для вузов / А. Н. Колмогоров, С. В.Фомин .— 7-е изд. — М. : Физматлит, 2004, 2006, 2009, 2012 .— 572 с.
Дерр, В. Я. Функциональный анализ : учебное пособие для бакалавров / В. Я. Дерр. — Москва : Издательство Юрайт, 2012. — 464 с.
Треногин, В. А. Функциональный анализ : учебник / В. А. Треногин. — 4-е, изд. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 488 с.

Список дополнительной литературы:

Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика : учебное пособие / В. И. Лебедев. — 4-е изд. перераб. и доп. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2000.
P. D. Lax, “Functional Analysis,” John Wiley & Sons Inc., New York, 2002
J. B. Conway, “A Course in Functional Analysis,” Springer-Verlag Inc., New York, 1985
J. Muscat, “Functional analysis: an introduction to metric spaces, Hilbert spaces, and Banach algebras”, Springer Inc., New York, 2014.

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

(Выберите соответствующие виды учебных занятий, которые используются при изучении Вашей дисциплины)

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как, интерактивные лекции, поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение -- мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять изученные концепции. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Планируется предложить совместные проекты, которые требуют применения полученных компетенций в реальных сценариях. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами изученных концепций. Важный элемент курса -- смешанное обучение -- сочетание традиционного очного обучения с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание изученного материала учащимися.

BSc: IntroductionToFunctionalAnalysis

Contents