«Математический анализ, дополнительные главы» (летний семестр)

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): О.М.Киселев

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области математического анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. Эта часть курса носит в целом дополнительный характер. В нее включены разделы, которые, как правило, не рассматриваются в стандартных курсах математического анализа для инженеров, либо частично включены в дополнительные специальные курсы.
Первый из разделов посвящен методам аппроксимации. В частности приводится и доказывается важнейшая для численного анализе теорема об Лиувилля об аппроксимации иррациональных чисел. Далее рассматриваются задачи аппроксимации полиномами как степенными, так и тригонометрическими, обсуждается явление Гиббса. Аппроксимация полиномами Чебышева. Рассматривается теория и алгоритмы построения аппроксимирующих сплайнов. Отдельный раздел посвящен аппроксимации Паде.
Еще в одном разделе курса рассматриваются ряды, сходящиеся по Чезаро и по Борелю, а так же асимптотические ряды. Доказываются теоремы об асимптотических разложениях и приводятся примеры использования расходящихся рядов в анализе и его приложениях.
В третьей части курса рассматриваются пространства дробной размерности — фракталы и анализ в пространствах дробной размерности, а также в некоторой степени связанным с ними — интегралы дробной размерности и производные дробной размерности.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является обучение студентов методам исследования специальных разделов математического анализа. Именно: методов аппроксимации, суммируемости расходящихся рядов и свойствам асимптотических рядов, свойств многообразий дробно размерности.

Задачами дисциплины являются приобретение студентами навыков исследования естественнонаучных задач методами математического анализа. А именно, применение теоретических знаний в приложениях математического анализа, в частности при аппроксимации функций с оценками погрешностей аппроксимации в различных метриках, свойств расходящихся рядов и их применении в приложениях, свойств многообразий дробной размерности и анализ, основанный на дробных производных и интегралах дробной размерности.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: после прохождения курса у студентов должны быть сформированы систематические знания теории аппроксимации, методов анализа, основанного на теории возмущений и расходящихся рядах, а также многообразий нецелой размерности.

Умения: сформированы умения использования многочленов и сплайнов для аппроксимации функциональных зависимостей, использования расходящихся рядов и свойств многообразий нецелой размерности.

Навыки (владения): в результате прохождения курса формируются навыки формализации задач естественных наук в задачи приближения частными суммами и рядами, в частности, асимптотическими рядами. После окончания курса у студентов должны быть получены навыки использования систем (библиотек) компьютерной алгебры, применяемых для исследования задач математического анализа.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Элементы теории аппроксимации.	Плотность множества рациональных чисел. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Теорема о существовании трансцендентных чисел. Интерполяционный полином Лагранжа и явление Рунге. Аппроксимация функции частичной суммой ряда Фурье. Явление Гиббса. Аппроксимация функции заданной в узлах Чебышева. Сплайны, дефект сплайна, кривые Безье. Приложения. Определение Паде аппроксимации заданного порядка. Построение Паде аппроксимации для произвольной гладкой функции. Сходимость Паде аппроксимации.
2.	Расходящиеся ряды.	Примеры расходящихся рядов. Ряды суммируемые по Чезаро. Суммирование по Борелю. Приложения рядов, суммируемых по Борелю. Калибровочная последовательность. Определение, примеры. Асимптотические ряды. Определение асимптотического ряда. Свойства асимптотических рядов. Интегрирование и дифференцирование асимптотических рядов. Теорема о единственности асимптотического разложения. Приложения асимптотических рядов.
3.	Анализ на фрактальных многообразиях.	Примеры фракталов. Определение хаусдорфовой размерности. Примеры отображений, приводящих к фрактальным многообразиям. Алгоритм вычисления размерности. Разности дробного порядка. Определение интеграла дробной размерности. Производные дробной размерности. Приложения анализа на фрактальных многообразиях.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Элементы теории аппроксимации.	Построить алгоритм для приближения рациональным числом корня полинома указанной степени с целыми коэффициентами. Рассмотреть интерполяцию заданной функции на равномерной сетке и вычислить интеграл квадрата разности значения интерполяционного полинома и интерполируемой функции. Вычислить максимальное отклонение интерполируемой функции и построенного интерполяционного полинома. Проиллюстрировать явление Рунге. Построить набор узлов Чебышева для заданной функции построить интерполяционный полином. Вычистить интеграл от квадрата разности интерполяционного полинома Чебышева и интерполируемой функции. Построить частичную сумму Фурье для заданной разрывной функции и проиллюстрировать численно феномен Гиббса. Построить сплайн для аппроксимации заданной табличной функции с заданным дефектом. Построить Паде аппроксимацию заданного порядка для экспоненты. Построить Паде аппроксимацию заданного порядка для функции синус.
2.	Расходящиеся ряды.	Методом интегрирования по частям получить частичную сумму асимптотического при больших значениях аргумента ряда для интеграла Френеля. Оценить величину остатка ряда в зависимости от количества членов ряда и от аргумента функции Френеля. Основываясь на интегральном представлении Гамма-функции получить частичную сумму асимптотического ряда при больших значениях аргумента Гамма-функции. Исследовать относительную погрешность формулы Муавра-Стирлинга. Просуммировать по Чезаро расходящийся знакопеременный ряд. Найти сумму по Борелю для расходящегося ряда. Показать, что суммирование по Чезаро и по Борелю дают одинаковые результаты, если эти сумму существуют. Указать калибровочную последовательность для функции Эйри при построении асимптотики вблизи бесконечно удаленной точки.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Вычислить фрактальную размерность жирного множества Кантора. Вычислить фрактальную размерность салфетки Серпинского. Построить алгоритм для вычисления фрактальной размерности множества Мандельброта. Построить алгоритм для вычисления фрактальной размерности множества Жулиа. Найти численное приближение.

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Элементы теории аппроксимации.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.
2.	Расходящиеся ряды.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Разработка кода для иллюстрации теоретических положений раздела.	Выбрать одну из задач для практических заданий и написать программу для решений такой задачи.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Элементы теории аппроксимации.	Определение суммирования по Чезаро. Привести пример расходящегося ряда, суммируемого по Чезаро. Определение суммирования по Борелю. Привести пример ряда, суммируемого по Борелю, но расходящегося по Чезаро. Дать определение асимптотического ряда. Дать определение калибровочной последовательности.
2.	Расходящиеся ряды.	Определение суммирования по Чезаро. Привести пример расходящегося ряда, суммируемого по Чезаро. Определение суммирования по Борелю. Привести пример ряда, суммируемого по Борелю, но расходящегося по Чезаро. Дать определение асимптотического ряда. Дать определение калибровочной последовательности.
3.	Анализ на многообразиях нецелой размерности.	Дать определение фрактальной размерности. Привести примеры многообразий нецелой размерности. Привести примеры отображений, генерирующих многообразия фрактальной размерности. Определение интеграла Дробного порядка и производной дробного порядка.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

Плотность множества рациональных чисел и мера множества рациональных чисел на интервале (0,1).
Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными.
Теорема о существовании трансцендентных чисел. Интерполяционный полином Лагранжа и явление Рунге.
Аппроксимация функции частичной суммой ряда Фурье. Явление Гиббса.
Аппроксимация функции заданной в узлах Чебышева.
Сплайны, дефект сплайна, кривые Безье. Приложения.
Определение Паде аппроксимации заданного порядка. Построение Паде аппроксимации для произвольной гладкой функции.
Сходимость Паде аппроксимации.
Примеры расходящихся рядов.
Ряды суммируемые по Чезаро.
Суммирование по Борелю.
Приложения рядов, суммируемых по Борелю.
Калибровочная последовательность. Определение, примеры.
Асимптотические ряды. Определение асимптотического ряда. Свойства асимптотических рядов. Интегрирование и дифференцирование асимптотических рядов.
Теорема о единственности асимптотического разложения.
Приложения асимптотических рядов.
Примеры фракталов.
Определение хаусдорфовой размерности.
Примеры отображений, приводящих к фрактальным многообразиям.
Алгоритм вычисления размерности. Фрактальная производная.
Определение интеграла дробной размерности.
Производные дробной размерности. Примеры

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:

А.Б. Шидловский. Трансцендентные числа. Наука, 1987, 448 с.
Н.Н. Калиткин. Численные методы. Литрес, 2015, 587 с.
Р. Эдвардс, Ряды Фурье в современном изложении. Мир, 1985, т1, 264 с.
Дж. Бейкр мл. П. Грейвс-Моррис. Аппроксимации Паде, Москва «Мир»1986, 496 с.
А.М. Ильин, А.Р. Данилин. Асимптотические методы в анализе. Физматлит, 2009, 248 с.
Г. Харди, Расходящиеся ряды. Ленанд, 2022, 504 с.
Морозов А.Д., Введение в теорию фракталов, Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с.
С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев Интгералы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.

Список дополнительной литературы:

Glebov S.G., Kiselev O.M., Tarkhanov N., Nonlinear equations with small parameter. Volume I: Oscillations and resonances De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. 2017, v. 23/1, pp.340.
Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, 2, Издательство Диалектика, 2023, ISBN 9785521805532
Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции
В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как, интерактивные лекции, поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение -- мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять изученные концепции. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy, что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты, которые требуют применения полученных компетенций в реальных сценариях. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами изученных концепций. Важный элемент курса -- смешанное обучение -- сочетание традиционное очное обучение с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание изученного материала учащимися.

BSc: MathematicalAnalysis III

Contents