BSc: MathematicalAnalysis III

«Математический анализ, дополнительные главы» (летний семестр))

Квалификация выпускника: бакалавр

Направление подготовки: 09.03.01 - “Информатика и вычислительная техника”

Направленность (профиль) образовательной программы: Математические основы ИИ

Программу разработал(а): О.М.Киселев

1. Краткая характеристика дисциплины

Изучение дисциплины обеспечивает формирование и развитие компетенций обучающихся в области математического анализа, их применение для решения различных прикладных задач в рамках профессиональной деятельности. Эта часть курса носит в целом дополнительный характер. В нее включены разделы, которые, как правило, не рассматриваются в стандартных курсах математического анализа для инженеров, либо частично включены в дополнительные специальные курсы.
Первый из разделов посвящен методам аппроксимации. В частности приводится и доказывается важнейшая для численного анализе теорема об Лиувилля об аппроксимации иррациональных чисел. Далее рассматриваются задачи аппроксимации полиномами как степенными, так и тригонометрическими, обсуждается явление Гиббса. Аппроксимация полиномами Чебышева. Рассматривается теория и алгоритмы построения аппроксимирующих сплайнов. Отдельный раздел посвящен аппроксимации Паде.
Еще в одном разделе курса рассматриваются ряды, сходящиеся по Чезаро и по Борелю, а так же асимптотические ряды. Доказываются теоремы об асимптотических разложениях и приводятся примеры использования расходящихся рядов в анализе и его приложениях.
В третьей части курса рассматриваются пространства дробной размерности — фракталы и анализ в пространствах дробной размерности, а также в некоторой степени связанным с ними — интегралы дробной размерности и производные дробной размерности.

2. Перечень планируемых результатов обучения

Целью освоения дисциплины является обучение студентов методам исследования специальных разделов математического анализа. Именно: методов аппроксимации, суммируемости расходящихся рядов и свойствам асимптотических рядов, свойств многообразий дробно размерности.

Задачами дисциплины являются приобретение студентами навыков исследования естественнонаучных задач методами математического анализа. А именно, применение теоретических знаний в приложениях математического анализа, в частности при аппроксимации функций с оценками погрешностей аппроксимации в различных метриках, свойств расходящихся рядов и их применении в приложениях, свойств многообразий дробной размерности и анализ, основанный на дробных производных и интегралах дробной размерности.

Общая характеристика результата обучения по дисциплине

Знания: после прохождения курса у студентов должны быть сформированы систематические знания теории аппроксимации, методов анализа, основанного на теории возмущений и расходящихся рядах, а также многообразий нецелой размерности.

Умения: сформированы умения использования многочленов и сплайнов для аппроксимации функциональных зависимостей, использования расходящихся рядов и свойств многообразий нецелой размерности.

Навыки (владения): в результате прохождения курса формируются навыки формализации задач естественных наук в задачи приближения частными суммами и рядами, в частности, асимптотическими рядами. После окончания курса у студентов должны быть получены навыки использования систем (библиотек) компьютерной алгебры, применяемых для исследования задач математического анализа.

3. Структура и содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание дисциплины по темам
1.	Элементы теории аппроксимации.	Плотность множества рациональных чисел. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Теорема о существовании трансцендентных чисел. Интерполяционный полином Лагранжа и явление Рунге. Аппроксимация функции частичной суммой ряда Фурье. Явление Гиббса. Аппроксимация функции заданной в узлах Чебышева. Сплайны, дефект сплайна, кривые Безье. Приложения. Определение Паде аппроксимации заданного порядка. Построение Паде аппроксимации для произвольной гладкой функции. Сходимость Паде аппроксимации.
2.	Расходящиеся ряды.	Примеры расходящихся рядов. Ряды суммируемые по Чезаро. Суммирование по Борелю. Приложения рядов, суммируемых по Борелю. Калибровочная последовательность. Определение, примеры. Асимптотические ряды. Определение асимптотического ряда. Свойства асимптотических рядов. Интегрирование и дифференцирование асимптотических рядов. Теорема о единственности асимптотического разложения. Приложения асимптотических рядов.
3.	Анализ на фрактальных многообразиях.	Примеры фракталов. Определение хаусдорфовой размерности. Примеры отображений, приводящих к фрактальным многообразиям. Алгоритм вычисления размерности. Разности дробного порядка. Определение интеграла дробной размерности. Производные дробной размерности. Приложения анализа на фрактальных многообразиях.

4. Методические и оценочные материалы

Задания для практических занятий:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Перечень рассматриваемых тем (вопросов)
1.	Пределы последовательностей и функций.	1. Найти предел последовательности \\[S=\\sum_{n=1}^\\infty \\left(f_n-f_{n+1}\\right)\\]
2.
3.
4.
5.
...

Текущий контроль успеваемости обучающихся по дисциплине:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Форма текущего контроля	Материалы текущего контроля
1.	Пределы последовательностей и функций. Отношения порядка и непрерывные функции.	Устный опрос, Домашние работы, Письменный тест	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Тестирование (письменное или компьютерное): 1. Две задачи из разделов «Числовые ряды» которые могут быть исследованы с помощью признаков Даламбера и Коши. 2. Две задачи из раздела «знакопеременные ряды», для решения первой может быть использован признак Лейбница, для второй — теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов Коллоквиум	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: 1. Степенные ряды для исследования на сходимость рядов и почленно продифференцированных рядов. 2. Задачи разложении в ряд Тейлора элементарных функций и комбинаций элементарных функций. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье для гладких периодических функций. 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 5. Вычисление коэффициентов рядов Фурье разрывных функций.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных.	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит пять задач из соответствующих разделов: предел функции двух переменных; частные производные и производные по направлению; Геометрический смысл частных производных и дифференцируемые многообразия; экстремальные точки и условия максима или минимума; Задачи минимизации на многообразиях — функция Ланранжа.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ	Домашние работы. Письменный тест. Устный опрос по темам разделов	В домашние работы включаются задачи, нерешенные во время семинарских занятий. Письменный тест содержит четыре задачи из раздела: Криволинейные интегралы и двумерные интегралы и формула Грина; двумерные и трехмерные интегралы и формула Остроградского-Гаусса; вычисление дивергенции и вычисление ротора для заданных векторных полей.

Контрольные вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вопросы
1.	Числовые ряды, абсолютно сходящиеся ряды, условно сходящиеся ряды.	1. Определение сходящегося ряда. Определение ряда, сходящегося абсолютно. Определение ряда, сходящегося условно. 2. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости. Геометрический ряд и его использование как мажорирующего ряда. 3. Перестановка порядка суммирования в условно сходящемся ряду и приведение его суммы к заранее заданному числу.
2.	Функциональные ряды: степенные ряды и ряды Фурье.	1. Определение интервала сходимости степенного ряда. 2. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 3. Вычисление коэффициентов рядов Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 4. Гладкость функций и асимптотические свойства коэффициентов Фурье.
3.	Пределы функций многих переменных, частные производные, градиент. Дифференцируемые многообразия. Экстремумы функций нескольких переменных	1. Условие существования предела функции нескольких переменных. 2. Условие перестановки пределов функции нескольких переменных. 3. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость. 4. Дифференцируемое многообразие, карта, атлас. 5. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. 6. Алгоритм определения экстремума функции нескольких переменных на многообразии.
4.	Кратные интегралы и Векторный анализ.	1. Определение и примеры вычисления криволинейных интегралов первого и второго рода. 2. Вывод и примеры использования формулы Грина. 3. Вывод и примеры использования формулы Остроградского-Гаусса. 4. Определения ротора и дивергенции векторного поля.

Вопросы/Задания к промежуточной аттестации в устной/письменной форме:

1. Определения абсолютной и условной сходимости ряда и чем они отличаются? Можете ли вы привести пример ряда, который является условно сходящимся, но не абсолютно сходящимся?
2. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости.
3. Геометрический ряд и его использование как мажорирующего ряда.
4. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
5. Перестановка порядка суммирования в условно сходящемся ряду и приведение его суммы к заранее заданному числу.
6. Что такое степенной ряд и как определяется его радиус сходимости? Можете ли вы привести пример степенного ряда и его радиуса сходимости?
7. Что такое дифференциальное уравнение и как построить степенной ряд для заданного дифференциального уравнения.
8. Что такое ряд Фурье и как он используется для аппроксимации периодических функций? Можете ли вы привести пример периодической функции и ее ряда Фурье?
9. Привести и обосновать формулы для рядов Фурье четных и нечетных функций. Привести примеры.
10. Что такое дифференцируемое многообразие и каково его касательное пространство? Можете ли вы привести пример дифференцируемого многообразия и его касательного пространства?
11. Что такое градиент функции и как он используется для решения задач оптимизации? Можете ли вы привести пример того, как найти градиент функции и использовать его для решения задачи оптимизации?
12. Что такое метод множителя Лагранжа и как он используется для нахождения экстремумов функции на многообразиях? Можете ли вы привести пример того, как использовать этот метод для решения задачи оптимизации?
13. Определение двойного интеграла. Суммы Дарбу. Теорема о мере границы.
14. Свойства двойных интегралов. Теорема о среднем значении. Примеры.
15. Приложения двойного интеграла. Объем, фильтры, масса плоской фигуры, центр масс плоской фигуры. Примеры.
16. Теорема Фубини, доказательство. Примеры.
17. Геометрический смысл двойных интегралов. Вектор нормали для поверхности. Примеры.
18. Критерии Дарбу для существования меры для данного трехмерного тела. Примеры.
19. Изменение переменных в двойных интегралах. Якобиан. Полярные координаты в качестве примера.
20. Изменение переменных в тройных интегралах. Якобиан. Примеры.
21. Сферические координаты и использование сферических координат для вычисления тройных интегралов. Примеры.
22. Преобразование Фурье. Определение. Набросок доказательства. Примеры.
23. Свойства преобразования Фурье. Гладкие функции и асимптотическое поведение образа Фурье.
24. Вычисление двойных интегралов и оценка погрешности.
25. Плоская кривая. Касательный вектор, вектор нормали, кривизна, длина кривой. Примеры.
26. Кривая в трехмерном пространстве. Бинормаль, плоскость соприкосновения, кручение. Пример.
27. Криволинейный интеграл. Работа потенциальной силы вдоль заданной траектории. Центр масс заданной кривой.
28. Определение скалярного поля и векторного поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Примеры.
29. Формы представления криволинейного интеграла. Примеры использования.
30. Теорема Гирина. Вывод формулы Грина. Следствие теоремы Грина для кругового интеграла градиента.
31. Двумерные многообразия. Ориентированные и неориентированные многообразия. Примеры. Локальные карты и атлас. Примеры
32. Интеграл по поверхности для векторного поля. Различные формы поверхностных интегралов, такие как интеграл по проекциям и интегралы по локальной системе координат. Примеры.
33. Формула Остроградского-Гаусса. Доказательство формулы. Физическая интерпретация формулы. Примеры.
34. Ротор и дивергенция как предел циркуляции потока и обтекания поверхности для данного объема. Теорема о расходимости ротора.

Перечень учебно-методического обеспечения дисциплины

Список основной литературы:
1. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2023. — 703 с. — ISBN 978-5-9916-1807-6.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т1. Издательство Лань, 2023, --444 с. -- ISBN 978-5-8114-7583-4, 978-5-8114-5337-5
3. Зорич В.А. Математический анализ, Часть 1, Издательство МЦНМО, 2019, --564 с. --ISBN 978-5-4439-4029-8.
4. Демидович Б. П. . Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов Издательство АСТ, 2005. 558 с.

Список дополнительной литературы:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1. Издательство Интеграл-Пресс, 2002, --416 с. --ISBN 5-89602-012-0
2. Лутц М., Изучаем Python: Т. 1, Издательство Диалектика, 2023, --824 c. --ISBN 9785521805532
3. Beazley D., Jones B.K. Python Cookbook, 3rd Edition by 2013 Publisher(s): O'Reilly Media, Inc. ISBN: 9781449357351

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Вид учебных занятий/деятельности	Деятельность обучающегося
Лекция	Написание конспекта лекций: кратко, схематично, последовательно фиксировать основные положения лекции, выводы, формулировки, обобщения; помечать важные мысли, выделять ключевые слова, термины. Обозначить вопросы, термины или другой материал, который вызывает трудности, пометить и попытаться найти ответ в рекомендуемой литературе. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия.
Практическое (семинарское) занятие	При подготовке к семинарскому (практическому) занятию необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме. На основании обработанной информации постараться сформировать собственное мнение по выносимой на обсуждение тематике. Обосновать его аргументами, сформировать список источников, подкрепляющих его. Во время семинарского (практического) занятия активно участвовать в обсуждении вопросов, высказывать аргументированную точку зрения на проблемные вопросы. Приводить примеры из источниковой базы и научной и/или исследовательской литературы.
Устный/письменный опрос	Отвечать, максимально полно, логично и структурировано, на поставленный вопрос. Основная цель – показать всю глубину знаний по конкретной теме или ее части.
Реферат	Поиск источников и литературы, составление библиографии. При написании реферата рекомендуется использовать разнообразные источники, монографии и статьи из научных журналов, позволяющие глубже разобраться в различных точках зрения на заданную тему. Изучение литературы следует начинать с наиболее общих трудов, затем следует переходить к освоению специализированных исследований по выбранной теме. Могут быть использованы ресурсы сети «Интернет» с соответствующими ссылками на использованные сайты. Если тема содержит проблемный вопрос, следует сформулировать разные точки зрения на него. Рекомендуется в выводах указать свое собственное аргументированное мнение по данной проблеме. Подготовить презентацию для защиты реферата.
Эссе	Написание прозаического сочинения небольшого объема и свободной композиции, выражающего индивидуальные впечатления и соображения по конкретному поводу или вопросу и заведомо не претендующего на определяющую или исчерпывающую трактовку предмета. При работе над эссе следует четко и грамотно формулировать мысли, структурировать информацию, использовать основные понятия, выделять причинно-следственные связи. Как правило эссе имеет следующую структуру: вступление, тезис и аргументация его, заключение. В качестве аргументов могут выступать исторические факты, явления общественной жизни, события, жизненные ситуации и жизненный опыт, научные доказательства, ссылки на мнение ученых и др.
Подготовка к промежуточной аттестации	При подготовке к промежуточной аттестации необходимо проработать вопросы по темам, которые рекомендуются для самостоятельной подготовки. При возникновении затруднений с ответами следует ориентироваться на конспекты лекций, семинаров, рекомендуемую литературу, материалы электронных и информационных справочных ресурсов, статей. Если тема вызывает затруднение, четко сформулировать проблемный вопрос и задать его преподавателю.
Практические (лабораторные) занятия	Практические занятия предназначены прежде всего для разбора отдельных сложных положений, тренировки аналитических навыков, а также для развития коммуникационных навыков. Поэтому на практических занятиях необходимо участвовать в тех формах обсуждения материала, которые предлагает преподаватель: отвечать на вопросы преподавателя, дополнять ответы других студентов, приводить примеры, задавать вопросы другим выступающим, обсуждать вопросы и выполнять задания в группах. Работа на практических занятиях подразумевает домашнюю подготовку и активную умственную работу на самом занятии. Работа на практических занятиях в форме устного опроса заключается прежде всего в тренировке навыков применять теоретические положения к самому разнообразному материалу. В ходе практических занятий студенты работают в группах для обсуждения предлагаемых вопросов.
Самостоятельная работа	Самостоятельная работа состоит из следующих частей: 1) чтение учебной, справочной, научной литературы; 2) повторение материала лекций; 3) составление планов устных выступлений; 4) подготовка видеопрезентации. При чтении учебной литературы нужно разграничивать для себя материал на отдельные проблемы, концепции, идеи. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Видеопрезентация	Подготовка видеопрезентаций по курсу. Видеопрезентации могут быть сделаны на любую тему, затронутую в ходе курса. Темы должны быть заранее согласованы с преподавателем. Видеопрезентации продолжительностью около 5 минут (300 секунд) должны быть подготовлены в группах, определяемых преподавателем. Несмотря на то, что это групповая работа, должен явно присутствовать вклад каждого члена группы.
Доклад	Публичное, развернутое сообщение по определенной теме или вопросу, основанное на документальных данных. При подготовке доклада рекомендуется использовать разнообразные источники, позволяющие глубже разобраться в теме. Учебную литературу можно найти в электронных библиотечных системах, на которые подписан АНО Университет Иннополис.
Дискуссия	Публичное обсуждение спорного вопроса, проблемы. Каждая сторона должна оппонировать мнение собеседника, аргументируя свою позицию.
Контрольная работа	При подготовке к контрольной работе необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме.
Тестирование (устное/письменное)	При подготовке к тестированию необходимо проработать материалы лекций, семинаров, основной и дополнительной литературы по заданной теме. Основная цель тестирования – показать уровень сформированности знаний по конкретной теме или ее части.
Индивидуальная работа	При выполнение индивидуальной работы необходимо взять задание у преподавателя, ознакомиться с требованиями к выполнению работы, изучить поставленную проблему, найти решение проблемы. Если самостоятельно не удается разобраться в материале, необходимо сформулировать вопрос и задать преподавателю на консультации, во время семинарского (практического) занятия. Оформить результаты работы.
Разработка отдельных частей кода	Разработать часть кода, исходя из поставленной задачи и рекомендаций преподавателя. При выполнении работы рекомендуется обращаться к материалам лекций и семинарских (практических) занятий. Если возникают затруднения, необходимо проконсультироваться с преподавателем.
Выполнение домашних заданий и групповых проектов	Для выполнения домашних заданий и групповых проектов необходимо получить формулировку задания от преподавателя и убедиться в понимании задания. При выполнение домашних заданий и групповых проектов необходимо проработать материалы лекций, основной и дополнительной литературы по заданной теме.

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

Методы и технологии обучения, способствующие формированию компетенции

В курсе планируется использовать несколько технологий обучения. Таких как: интерактивные лекции , поощряющие участие студентов посредством сессий вопросов и ответов, живых демонстраций концепций квантовых вычислений или групповых дискуссий. Проблемно-ориентированное обучение – мероприятия по решению проблем, которые побуждают студентов применять концепции квантовых вычислений в практических ситуациях. Этот метод может улучшить навыки критического мышления и закрепления знаний. Будут применяться программные библиотеки для аналитических и численных методов: SymPy, NumPy, и SciPy , что позволит использовать компьютер как инструмент для изучения свойств аналитических функции, изучать теорию аппроксимаций и получить опыт использования компьютерных вычислений в задачах математического анализа. Планируется предложить совместные проекты , которые требуют применения концепций квантовых вычислений в реальных сценариях или создания новых квантовых алгоритмов. Такой подход может способствовать командной работе, навыкам общения и креативности, одновременно углубляя понимание студентами концепций квантовых вычислений. Важный элемент курса – смешанное обучение : сочетание традиционного очного обучения с онлайн-учебными ресурсами, такими как видео, симуляторы или интерактивные викторины. Такой подход может учитывать различные стили обучения и предпочтения, одновременно улучшая понимание учащимися концепций квантовых вычислений.